Stammfunktion bilden < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Sa 30.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die bestimmten Integrale
[mm] a)\integral_{-1}^{0}{(\wurzel{-2x+2}) dx}
[/mm]
[mm] b)\integral_{a}^{b}{lxl dx}
[/mm]
[mm] c)\integral_{-1}^{1}{lx-x^{2}l dx}
[/mm]
[mm] d)\integral_{2}^{4}{\bruch{2x^{2}-8}{x-2} dx} [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich bräuchte mal Hilfe bei diesen Aufgaben.
Zu a):Gibts denn eine allgemeine Formel wie man Wurzelfunktionen ableitet oder kann man das einfach machen,indem man die Wurzel einfach in die Potenzschreibweise schreibt?
b) und c): Ich weiß leider nicht was die Ableitung und die Stammfunktion der Betragsfunktion sind,hab echt keine Ahnung wie man das macht?
d) Also ich weiß wie ich die Stammfunktion einer gebrochen rationalen Funktion bilde,wenn im Nenner nur ein einziges [mm] x^{...} [/mm] steht aber wenn da noch +... steht dann weiß ich leider nicht wie man das macht.Könnt ihr mir da helfen?
Danke,
lg
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Hallo Mandy,
> Berechnen Sie die bestimmten Integrale
>
> [mm]a)\integral_{-1}^{0}{(\wurzel{-2x+2}) dx}[/mm]
>
> [mm]b)\integral_{a}^{b}{lxl dx}[/mm]
>
> [mm]c)\integral_{-1}^{1}{lx-x^{2}l dx}[/mm]
>
> [mm]d)\integral_{2}^{4}{\bruch{2x^{2}-8}{x-2} dx}[/mm]
> Hallo
> zusammen^^
>
> Ich bräuchte mal Hilfe bei diesen Aufgaben.
>
> Zu a):Gibts denn eine allgemeine Formel wie man
> Wurzelfunktionen ableitet oder kann man das einfach
> machen,indem man die Wurzel einfach in die
> Potenzschreibweise schreibt? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist hier ein guter Weg, weil der Term unter der Wurzel linear ist.
Da hilt die Schreibweise [mm] $\sqrt{(...)}=(...)^{\frac{1}{2}}$ [/mm] weiter, du kannst nach der "normalen" Potenzregel integrieren
(Vll. hilft es auch, wenn du den linearen Term vorher noch "wegsubstituierst" mit $u:=-2x+2$)
Probier mal, wie weit du kommst ...
>
> b) und c): Ich weiß leider nicht was die Ableitung und die
> Stammfunktion der Betragsfunktion sind,hab echt keine
> Ahnung wie man das macht?
Mache eine Fallunterscheidung für den Betrag [mm] $|x|=\begin{cases} x, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x<0 \end{cases}$
[/mm]
Bei (c) schreibe mal mit der Additivität der Integrale:
[mm] $\int\limits_{-1}^1{|x-x^2| \ dx}=\int\limits_{-1}^0{|x-x^2| \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \int\limits_{0}^{-1}{|x-x^2| \ dx}$ [/mm] und schaue, wie du die Beträge in den Bereichen/Intervallen $[-1,0]$ und $[0,1]$ auflösen kannst ...
>
> d) Also ich weiß wie ich die Stammfunktion einer gebrochen
> rationalen Funktion bilde,wenn im Nenner nur ein einziges
> [mm]x^{...}[/mm] steht aber wenn da noch +... steht dann weiß ich
> leider nicht wie man das macht.Könnt ihr mir da helfen?
Faktorisiere mal den Zähler, klammere 2 aus, dann siehst du's schon ...
>
> Danke,
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 31.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,danke ich habs mal versucht.
a) [mm] \integral_{-1}^{0}{\wurzel{-2x+2} dx}=[\bruch{2}{3}*(-2x+2)^{\bruch{2}{3}} [/mm] ?
b)Wenn ich eine Falluntescheidung mache,hab ich ja 2 Stammfunktionen,also
[mm] \integral_{-3}^{1}{lxl dx}=[\bruch{1}{2}x^{2},-\bruch{1}{2}x^{2}
[/mm]
das heißt doch dann auch,dass wenn ich die Integrale berechne,dass ich dann 2 verschiedene Integrale und somit 2 verschiedene Ergebnisse hab oder?
[mm] c)\integral_{-1}^{1}{lx-x^{2}l dx}=\integral_{-1}^{0}{lx-x^{2}l dx}+\integral_{0}^{-1}{lx-x^{2}l dx}
[/mm]
Ich hab das Integral mal für +x berechnet,ich denke bei -x ist es dasselbe nur mit anderem Vorzeichen.
[mm] \integral_{-1}^{0}{lx-x^{2}l dx}
[/mm]
[mm] F(x)=\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{3}x^{3}
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{2}*(0)^{2}-\bruch{1}{3}*(0)^{3})-(\bruch{1}{2}*(-1)^{2}-\bruch{1}{3}*(-1)^{3})=0
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{-1}{lx-x^{2}l dx}
[/mm]
[mm] F(x)=\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{3}x^{3}
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{2}*(-1)^{2}-\bruch{1}{3}*(-1)^{3})-(\bruch{1}{2}*(0)^{2}-\bruch{1}{3}*(0)^{3})=\bruch{5}{6}
[/mm]
Jetzt beide Ergebnisse addieren; [mm] 0+\bruch{5}{6}=\bruch{5}{6}
[/mm]
d) Ich krieg irgendwie nicht den Zähler faktorisiert,wie kann man denn da vorgehen ?
lg
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Hallo Mandy_90,
> ok,danke ich habs mal versucht.
>
> a) [mm]\integral_{-1}^{0}{\wurzel{-2x+2} dx}=[\bruch{2}{3}*(-2x+2)^{\bruch{2}{3}}[/mm]
> ?
Das stimmt leider nicht ganz.
[mm]\left[\bruch{\red{1}}{3}*(-2x+2)^{\bruch{2}{3}}\right]_{-1}^{0}[/mm]
>
> b)Wenn ich eine Falluntescheidung mache,hab ich ja 2
> Stammfunktionen,also
>
> [mm]\integral_{-3}^{1}{lxl dx}=[\bruch{1}{2}x^{2},-\bruch{1}{2}x^{2}[/mm]
>
> das heißt doch dann auch,dass wenn ich die Integrale
> berechne,dass ich dann 2 verschiedene Integrale und somit 2
> verschiedene Ergebnisse hab oder?
Du hast hier ein Integral, das sich von -3 (x <0) bis 1 (x>0) erstreckt.
Demzufolge setzt sich der Wert dieses Integrals aus den Werten der entsprechenden Teilintegrale zusammen.
>
> [mm]c)\integral_{-1}^{1}{lx-x^{2}l dx}=\integral_{-1}^{0}{lx-x^{2}l dx}+\integral_{0}^{-1}{lx-x^{2}l dx}[/mm]
>
> Ich hab das Integral mal für +x berechnet,ich denke bei -x
> ist es dasselbe nur mit anderem Vorzeichen.
Ist aber nicht so, da die Funktion [mm]x-x^{2}[/mm] nicht symmetrisch zu x=0 ist.
>
> [mm]\integral_{-1}^{0}{lx-x^{2}l dx}[/mm]
>
> [mm]F(x)=\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{3}x^{3}[/mm]
>
> [mm]=(\bruch{1}{2}*(0)^{2}-\bruch{1}{3}*(0)^{3})-(\bruch{1}{2}*(-1)^{2}-\bruch{1}{3}*(-1)^{3})=0[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{0}^{-1}{lx-x^{2}l dx}[/mm]
>
> [mm]F(x)=\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{3}x^{3}[/mm]
>
> [mm]=(\bruch{1}{2}*(-1)^{2}-\bruch{1}{3}*(-1)^{3})-(\bruch{1}{2}*(0)^{2}-\bruch{1}{3}*(0)^{3})=\bruch{5}{6}[/mm]
>
> Jetzt beide Ergebnisse addieren;
> [mm]0+\bruch{5}{6}=\bruch{5}{6}[/mm]
>
>
> d) Ich krieg irgendwie nicht den Zähler faktorisiert,wie
> kann man denn da vorgehen ?
Mache da mal zuerst eine Polynomdivision.
>
> lg
Gruß
MathePower
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Hallo zusammen,
> Hallo Mandy_90,
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> > ok,danke ich habs mal versucht.
> >
> > a) [mm]\integral_{-1}^{0}{\wurzel{-2x+2} dx}=[\bruch{2}{3}*(-2x+2)^{\bruch{2}{3}}[/mm]
> > ?
>
>
> Das stimmt leider nicht ganz.
>
> [mm]\left[\bruch{\red{1}}{3}*(-2x+2)^{\bruch{2}{3}}\right]_{-1}^{0}[/mm]
Hmm, was ist mit der inneren Ableitung? Außerdem stimmt doch der Exponent nicht ..
Ich meine, es sollte [mm] $\blue{-}\frac{1}{3}\cdot{}\left(-2x+2\right)^{\blue{\frac{3}{2}}}$ [/mm] lauten
> > d) Ich krieg irgendwie nicht den Zähler faktorisiert,wie
> > kann man denn da vorgehen ?
>
>
> Mache da mal zuerst eine
> Polynomdivision.
Ich dachte daran, im Zähler die 2 auszuklammern und die 3.binomische Formel zu benutzen, das erspart doch die PD?!
> > lg
>
>
> Gruß
> MathePower
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 So 31.08.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Oder klammere im Zähler eine 2 aus und wende eine binomische Formel an!
(a²-b²)=(a+b)(a-b)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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siehe oben ... 
LG
schachuzipus
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Hi,
a) ist leider falsch, zum Einen hast Du einen falschen Exponenten hingeschrieben, zu Anderen die 'innere Ableitung' vergessen. Du kannst das Prüfen, indem Du Deine Lösung ableitest.
Wenn Du das nicht sieht könntest Du auch eine Substitution machen:
[mm]u=2-2x[/mm]
[mm]\frac{du}{dx}=-2[/mm]
[mm]dx=-\frac{1}{2}du[/mm]
[mm]\int_{ }^{ } (2-2x)^{\frac{1}{2}} = \int_{ }^{ } u^{\frac{1}{2}} \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int_{}^{} u^{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}[/mm]
u aus der Substitution einsetzen, fertig
mfg nschlange
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hi Mandy !
Vorbemerkung zu den Absolutstrichen: dafür
solltest du nicht den Buchstaben "l" verwenden,
obwohl der in gewissen Fonts auch einfach ein
vertikaler Strich ist - in anderen aber nicht !
Das richtige Zeichen findest du auf der Tastatur
wohl auch bei "alt 7".
Die Funktion f(x)=|x| hat als stetige Funktion
eine Stammfunktion bzw. Stammfunktionen,
nämlich:
[mm] F(x)=\bruch{1}{2}*x*|x|+C
[/mm]
Das kannst du leicht durch Ableiten überprüfen.
LG
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