Stammfunktion einer e-funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Sa 22.03.2008 | | Autor: | crazy1 |
| Aufgabe | | Gesucht ist die Stammfunktion von [mm] f(x)=4xe^{-0,5x^2}. [/mm] |
und zwar können wir freiwillig mal eine eigenständige kurvendiskussion machen mit flächenberechnung und volumenberechnung beim rotationskörper.
mit der kruvendiskussion bin ich auch klar gekommen. wollte nun die flächenberechnung anfangen doch irgendwie komme ich mit der aufleitung der e-funktion nicht klar.
wird aus der 4 dann x und aus dem x eine 1/2 [mm] x^2 [/mm] ?? und bei der e-funktion sehe ich erst recht nicht durch.
vielleicht könnte mir ja mal jemand erklären, wie das funktioniert mit dem aufleiten von e-funktionen.
das wäre echt nett.
DANKESCHÖN !!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Crazy,
> Gesucht ist die Stammfunktion von [mm]f(x)=4xe^{-0,5x^2}.[/mm]
> nun die flächenberechnung anfangen doch irgendwie komme ich
> mit der aufleitung der e-funktion nicht klar.
> wird aus der 4 dann x und aus dem x eine 1/2 [mm]x^2[/mm] ?? und
> bei der e-funktion sehe ich erst recht nicht durch.
also bei e-Funktionen geht man meistens immer sehr intuitiv vor
ich leite mir immer zuerst einmal die e-Funktion ab,
und zwar nur die e-Funktion:
[mm] e(x)=e^{-0,5x^2}
[/mm]
[mm] e'(x)=-0,5*2x*e^{-0,5x^2}=-x*e^{-0,5x^2}
[/mm]
Wie du siehst ist, das schon fast das was ich haben will.
Ich möchte als Vorfaktor nur eine 4 statt einer -1 haben.
Dies erreiche ich in dem ich meine Funktion mal (-4) nehme.
Ich vermute also, dass [mm] F(x)=-4*e^{-0,5x^2} [/mm] meine Stammfunktion ist
diese Vermutung kann ich bestätigen indem ich mir F'(x) anschaue
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Sa 22.03.2008 | | Autor: | crazy1 |
aber muss ich denn nicht die e-funktion aufleiten und nicht ableiten ?? und was passiert mit dem 4x ?? das müsste man doch auch noch aufleiten oder ??
ich brauche doch die aufleitung der gesamten e-funktion um eine volumenberechnung bzw. flächenberechnung vornehmen zu können.
ich bin jetzt irgendwie voll verwirrt.
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e-Funktionen haben die (besondere) Eigenschaft, dass wenn man sie ableitet, eigentlich nur ein Faktor davor zusätzlich "entsteht". Einige Beispiele:
[mm]f(x) = e^{2x}[/mm]
[mm]\left(e^{2x}\right)' = 2*\underbrace{e^{2x}}_{f(x)}[/mm]
[mm]f(x) = e^{x^{2}}[/mm]
[mm]\left(e^{x^{2}}\right)' = 2x*\underbrace{e^{x^{2}}}_{f(x)}[/mm]
[mm]f(x) = e^{\bruch{3}{4}x^{2}}[/mm]
[mm]\left(\bruch{3}{4}x^{2}}\right)' = \bruch{3}{2}x*\underbrace{e^{\bruch{3}{4}x^{2}}}_{f(x)}[/mm]
Diese Eigenschaft existiert natürlich wegen [mm]\left(e^{x}\right)' = e^{x}[/mm].
Andi hat sich diese Eigenschaft zunutze gemacht und gesagt: Ich habe eine Funktion der Form
[mm]f(x) = 4x*e^{-\bruch{1}{2}*x^{2}}[/mm],
also muss dessen Stammfunktion doch ebenfalls schon
[mm]e^{-\bruch{1}{2}*x^{2}}[/mm]
beinhaltet haben. Den Vorfaktor (die Stammfunktion hatte sicher noch irgendeinen) ignorieren wir mal.
So, nun leiten wir unsere potentielle Stammfunktion
[mm]F(x) = e^{-\bruch{1}{2}*x^{2}}[/mm]
mal ab:
[mm]F'(x) = \left(e^{-\bruch{1}{2}*x^{2}}\right)' = -x*e^{-\bruch{1}{2}*x^{2}[/mm]
Und wir sehen: Um soviel unterscheidet sich die Ableitung unserer potentiellen Stammfunktion F(x) gar nicht von f(x)! Es fehlt nur ein Vorfaktor: Die Funktion f(x) sah so aus: (4)*..., und nicht so: (-1)*... .
Wir müssen also noch den Vorfaktor (-4) ergänzen, dann wird unsere potentielle Stammfunktion von f(x),
[mm]F(x) = e^{-\bruch{1}{2}*x^{2}}[/mm]
zu einer richtigen Stammfunktion von f(x):
[mm]F(x) = (-4)*e^{-\bruch{1}{2}*x^{2}}[/mm]
Wenn ich diese nun nämlich ableite, ergibt sich wirklich:
[mm]F'(x) = \left((-4)*e^{-\bruch{1}{2}*x^{2}}\right)' = \left((-4)*(-1)*x*e^{-\bruch{1}{2}*x^{2}} = 4x*e^{-\bruch{1}{2}*x^{2}} = f(x)[/mm].
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