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Forum "Integrationstheorie" - Stammfunktion gesucht
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Stammfunktion gesucht: Idee oder Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:31 Sa 08.07.2017
Autor: Frisco

Aufgabe
gesucht ist das Wegintegral auf dem Intervall [mm][t_1 ; t_2][/mm] zu der Funktion f mit [mm]f(x)=S-be^{kx} ; x \in \IR[/mm].

Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.




Das Wegintegral wird doch mit der Formel
[mm]\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{1+(f'(x))^2} dx}[/mm]
berechnet (Anwendung vom Satz des Pythagoras)
Wenn ich nun dies auf die obige Funktion loslasse, dann erhalte ich mit [mm]f'(x)=-kbe^{kx}[/mm] den folgenden Ausruck:
[mm]\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{1+(-kbe^{kx})^2} dx}=\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{1+b^2k^2e^{2kx}} dx}[/mm]
Nun weiß ich nicht wie ich zu diesem Integral eine Stammfunktion bilden soll.
Kann mir bitte jemand helfen, mit welchem Verfahren ich die bilden kann, beziehungsweise mir auch zeigen wie sich diese berechnen lässt.

Danke :-)

        
Bezug
Stammfunktion gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Sa 08.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> gesucht ist das Wegintegral auf dem Intervall [mm][t_1 ; t_2][/mm]
> zu der Funktion f mit [mm]f(x)=S-be^{kx} ; x \in \IR[/mm].

>

> Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum
> gestellt.

>
>

> Das Wegintegral wird doch mit der Formel
> [mm]\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{1+(f'(x))^2} dx}[/mm]
> berechnet
> (Anwendung vom Satz des Pythagoras)
> Wenn ich nun dies auf die obige Funktion loslasse, dann
> erhalte ich mit [mm]f'(x)=-kbe^{kx}[/mm] den folgenden Ausruck:
> [mm]\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{1+(-kbe^{kx})^2} dx}=\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{1+b^2k^2e^{2kx}} dx}[/mm]

>

> Nun weiß ich nicht wie ich zu diesem Integral eine
> Stammfunktion bilden soll.
> Kann mir bitte jemand helfen, mit welchem Verfahren ich
> die bilden kann, beziehungsweise mir auch zeigen wie ich
> diese berechnen lässt.

Das geht mit einer geeigneten Substitution. Probiere mal ein wenig herum, das solltest du selbst hinbekommen.


Gruß, Diophant

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Stammfunktion gesucht: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Sa 08.07.2017
Autor: Frisco

Soll ich den Ausdruck [mm] \sqrt{1+b^2k^2e^{2kx}} [/mm] substituieren?
Wolframalpha wirft mir zwar eine Stammfunktion raus, dort steht aber etwas mit tanh^-1
und ich würde gerne dies verstehen.

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Stammfunktion gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Sa 08.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Soll ich den Ausdruck [mm] \sqrt{1+b^2k^2e^{2kx}} [/mm] substituieren?

Das ergibt ja eher wenig Sinn.

> Wolframalpha wirft mir zwar eine Stammfunktion raus, dort
> steht aber etwas mit tanh^-1
> und ich würde gerne dies verstehen.

Dann hast du nicht genau genug hingesehen. Wolframalpha gibt zwei alternative Darstellungen aus, wobei die zweite ohne Arkustangens auskommt.

Substituiere

[mm] u=1+b^2k^2e^{2kx} [/mm]

und schau dir mal an, auf was das führt.


Gruß, Diophant

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Stammfunktion gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Sa 08.07.2017
Autor: Frisco

Lieber Diophant,

vielen Dank ich komme auf die Lösung mit dem ln, nach zweimaligen Substituieren und anschließender Partialbruchzerlegung :-)
Eine Frage habe ich dennoch, wie kommt die andere Lösung mit dem tanh^-1 zustande?
Ich will kein Lösungsweg... mich interessiert nur welche Idee dahinter steckt.

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Stammfunktion gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Sa 08.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Lieber Diophant,

>

> vielen Dank ich komme auf die Lösung mit dem ln, nach
> zweimaligen Substituieren und anschließender
> Partialbruchzerlegung :-)

Und? Ging doch, oder? ;-)

> Eine Frage habe ich dennoch, wie kommt die andere Lösung
> mit dem tanh^-1 zustande?
> Ich will kein Lösungsweg... mich interessiert nur welche
> Idee dahinter steckt.

Die []Areatangensfunktion ist durch Logarithmen darstellbar. Dann muss man bedenken, dass das symbolische Integrieren beim Programmieren eines CAS sicherlich zu den anspruchsvolleren Aufgaben gehört und das Wolframalpha ja nicht die ganze Rechenpower von Mathematica zur Verfügung stellt. Von daher ist es zumindest nachvollziehbar, dass die Darstellung von Integralen in WA oft ziemlich holprig ist. Ich weiß nicht, wie das in Mathematica aussehen würde, aber ich kenne diese Problematik bspw. aus Mathcad Prime auch, wo ja immerhin das deutsche CAS MuPAD unter der Oberfläche werkelt.


Gruß, Diophant

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Stammfunktion gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:57 Sa 08.07.2017
Autor: Frisco

Danke für die Infos. Ich werde mir den Wikibeitrag direkt mal durchlesen.

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Stammfunktion gesucht: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Sa 08.07.2017
Autor: Frisco

Noch kurz zur Lösung mit dem tanh^-1.

Ist es richtig, dass man das Integral nach Substitutionen (man erhält etwas der Form [mm] \int{\frac{s^2}{s^2-1} ds}[/mm])
dies mittels partielle integration berechnet?
Denn [mm]tanh^{-1}(x)[/mm] abgeleitet ergibt [mm] \frac{1}{1-x^2}[/mm]
Das heißt man würde dann wie folgt weiter rechnen:
[mm] \int{\frac{s^2}{s^2-1} ds}= \int{-s^2 \cdot\frac{1}{1-s^2} ds}=...[/mm]

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Stammfunktion gesucht: hat sich erledigt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 Sa 08.07.2017
Autor: Frisco

der Nulltrick hat mir geholfen...
dennoch danke für alles :-)

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