Stammfunktion gesucht < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Fabi-O |
Hallo MatheRaum-Mitglieder!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Im Rahmen meiner Facharbeit brüte ich seit längerem über einem Integral und komme leider nicht auf den grünen Zweig. Ich bin mir sicher, dass ich die Lösung finden müsste, aber irgendwie scheine ich auf dem Schlauch zu sitzen! Ich hoffe ihr könnt mir helfen...
Es geht um folgendes (Berechnung der Fourierkoeffizienten von [mm]cos^{2} (wt)[/mm]):
[mm] A_{k}= \bruch{2}{T} \integral_{-T/2}^{T/2} {cos^{2} (wt) * cos (kwt) dt} [/mm] (mit k [mm] \in \IN [/mm] und [mm]w[/mm]= Omega = Kreisfrequenz)
Durch partielle Integration hab ich das ganze zu
[mm] A_{k}= \bruch{2}{T} \{ [t*cos^{2} (wt) * cos (kwt)]_{-T/2}^{T/2}- \integral_{-T/2}^{T/2} {t(-2cos (wt) *sin (wt) * cos (kwt) - cos^{2} (wt) * sin (kwt)) dt} \}
[/mm]
umgeformt. Der erste Teil ist nun klar, aber wie bekomme ich
[mm]\integral{t(-2cos (wt) *sin (wt) * cos (kwt) - cos^{2} (wt) * sin (kwt)) dt}[/mm]??
Ich würde mich wirklich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
Vielen Dank schon im Voraus!
viele Grüße
Fabi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo Fabi!
Du kannst doch einfach vor dem Einsetzen in die Formel für die Fourier-Koeffizienten die Identität
[mm] cos^{2}(wt) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*cos(2wt)
[/mm]
benutzen. Dann stehen die Koeffizienten schon da.
Gruß Clemens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Fabi-O |
Hallo Clemens!
Vielen Dank für deine Antwort.
Das Problem ist nur, dass ich durch die Fourierzerlegung gerade auf diese Form, die in der Formelsammlung steht, kommen möchte (zumindest hätte ich mir das gewünscht).
Langsam fürchte ich, dass die Stammfunktion doch komplizierter ist, als ich dachte... Ich habe die Funktion auch auf ![[]](/images/popup.gif) dieser Seite eingegeben und einen ellenlangen Term erhalten. Leider kann ich nicht prüfen, ob dieser stimmt (davon abgesehen, dass er zu unhandlich wäre).
MfG
Fabi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Fabi!
> Es geht um folgendes (Berechnung der Fourierkoeffizienten
> von [mm]cos^{2} (wt)[/mm]):
> [mm]A_{k}= \bruch{2}{T} \integral_{-T/2}^{T/2} {cos^{2} (wt) * cos (kwt) dt}[/mm]
> (mit k [mm]\in \IN[/mm] und [mm]w[/mm]= Omega = Kreisfrequenz)
Viel kann ich dir im Moment leider auch nicht helfen, nur hier noch ein kleiner Hinweis:
(Ich hoffe, ich vertue mich hiermit jetzt nicht wieder...)
cos ist doch eine gerade Funktion, und [mm] cos^2 [/mm] sowieso. Das heißt, es gilt doch:
[mm] \integral_{-\bruch{T}{2}}^{\bruch{T}{2}}{cos^{2} (wt) * cos (kwt) dt} [/mm] = [mm] 2\integral_{0}^{\bruch{T}{2}}{cos^{2} (wt) * cos (kwt) dt}
[/mm]
kennst du das schon oder soll ich das noch erklären, warum das so ist?
Ich weiß allerdings nicht, ob dir das bei deinem Problem hier im Moment weiterhilft...
Wann musst du denn die Facharbeit fertig haben? Und was mich noch interessieren würde: Ist das Thema deiner Facharbeit Fourierreihen oder so? Das ist aber nich so einfach, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
P.S.: gerade ist mir noch eine Idee gekommen: vielleicht hilft es, wenn man [mm] \cos^2 [/mm] durch [mm] 1-\sin^2 [/mm] ersetzt (es gilt ja [mm] \sin^2+\cos^2=1 [/mm] - kennst du das? müsste aber in jeder Formelsammlung zu finden sein), dann erhält man einmal nur noch cos und das zweite Mal [mm] cos*sin^2, [/mm] das könntest du dann als zwei Integrale schreiben, und vielleicht ist das Zweite dann einfacher zu lösen (?)...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 So 09.01.2005 | | Autor: | Fabi-O |
> Hallo Fabi!
Hi Bastiane, und vielen Dank für deine Antwort!
> Viel kann ich dir im Moment leider auch nicht helfen, nur
> hier noch ein kleiner Hinweis:
> (Ich hoffe, ich vertue mich hiermit jetzt nicht
> wieder...)
> cos ist doch eine gerade Funktion, und [mm]cos^2[/mm] sowieso. Das
> heißt, es gilt doch:
> [mm]\integral_{-\bruch{T}{2}}^{\bruch{T}{2}}{cos^{2} (wt) * cos (kwt) dt} = 2\integral_{0}^{\bruch{T}{2}}{cos^{2} (wt) * cos (kwt) dt}
[/mm]
>
> kennst du das schon oder soll ich das noch erklären, warum
> das so ist?
Nein, das war mir noch nicht bekannt, ist aber logisch, falls ich dich richtig verstehe: Da es eine gerade Funktion ist, ist die Fläche rechts und links der 0 gleich groß und kann daher auch auf einer Seite berechnet werden und dann mit 2 multipliziert werden, oder?
Das werde ich mal versuchen - danke!
> Ich weiß allerdings nicht, ob dir das bei deinem Problem
> hier im Moment weiterhilft...
Ich fürchte fast nicht...
> Wann musst du denn die Facharbeit fertig haben? Und was
> mich noch interessieren würde: Ist das Thema deiner
> Facharbeit Fourierreihen oder so? Das ist aber nich so
> einfach, oder?
Der Abgabetermin ist der 28.1. Im Prinzip bin ich auch schon (fast) fertig - es fehlen nur noch ein paar Änderungen und der Feinschliff ;)
Das Thema war ursprünglich recht allgemein als "Akustik" gestellt (für Mathe ein eigentlich unübliches Thema finde ich). Da es aber aus mathematischer Sicht nicht so ergiebig war, hab ich dann diese ganze Fourier-Geschichte mit einbezogen. Also Fourier-Reihen, Fourier-Transformation und schließlich FFT. Mit einem Program, das letztere verwendet, habe ich dann verschiedene Instrumente verglichen.
Da hast du Recht! Richtig durchgestiegen bin ich bei der (für mich) hohen Mathematik nicht!
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
> P.S.: gerade ist mir noch eine Idee gekommen: vielleicht
> hilft es, wenn man [mm]\cos^2[/mm] durch [mm]1-\sin^2[/mm] ersetzt (es gilt
> ja [mm]\sin^2+\cos^2=1[/mm] - kennst du das? müsste aber in jeder
> Formelsammlung zu finden sein), dann erhält man einmal nur
> noch cos und das zweite Mal [mm]cos*sin^2,[/mm] das könntest du dann
> als zwei Integrale schreiben, und vielleicht ist das Zweite
> dann einfacher zu lösen (?)...
Oh, das klingt gut! Ich mache mich gleich mal ans durchrechnen und melde mich, wenn etwas dabei herauskommt...
Wenn nicht, werde ich mir einfach ein anderes Beispiel suchen müssen. Aber langsam bin ich am verzweifeln - es ist schon mein 5. Anlauf, und immer ist etwas mit dem übrigen Integral nicht lösbar :( Und bei diesem Beispiel hätte ich eben wunderbar [mm]cos^2(x)= \bruch{1}{2}+ \bruch{1}{2} cos(2x)[/mm] verwenden können...
Naja, ich gebe die Hoffnung nicht auf.
Vielen Dank nochmal!
Gruß,
Fabi
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Hallo Fabi!
> > cos ist doch eine gerade Funktion, und [mm]cos^2[/mm] sowieso.
> Das
> > heißt, es gilt doch:
> > [mm]\integral_{-\bruch{T}{2}}^{\bruch{T}{2}}{cos^{2} (wt) * cos (kwt) dt} = 2\integral_{0}^{\bruch{T}{2}}{cos^{2} (wt) * cos (kwt) dt}
[/mm]
>
> >
> > kennst du das schon oder soll ich das noch erklären,
> warum
> > das so ist?
>
> Nein, das war mir noch nicht bekannt, ist aber logisch,
> falls ich dich richtig verstehe: Da es eine gerade Funktion
> ist, ist die Fläche rechts und links der 0 gleich groß und
> kann daher auch auf einer Seite berechnet werden und dann
> mit 2 multipliziert werden, oder?
Schön, jetzt konntest du hier von mir sogar noch was lernen (diese Sache habe ich nämlich auch erst vor ein paar Monaten und auch genau hier im Matheraum gelernt!  ) - es ist genau so, wie du sagst!
> Der Abgabetermin ist der 28.1. Im Prinzip bin ich auch
> schon (fast) fertig - es fehlen nur noch ein paar
> Änderungen und der Feinschliff ;)
Oje - 28.1. ist ja wirklich schon bald. In der Regel müsste dir diese Frage hier aber noch beantwortet werden - werde mal einen Spezi in der Sache fragen, ob er deine Frage noch nicht bemerkt hat oder warum er sich nicht mal dran versucht hat...
> Das Thema war ursprünglich recht allgemein als "Akustik"
> gestellt (für Mathe ein eigentlich unübliches Thema finde
> ich). Da es aber aus mathematischer Sicht nicht so ergiebig
> war, hab ich dann diese ganze Fourier-Geschichte mit
> einbezogen. Also Fourier-Reihen, Fourier-Transformation und
> schließlich FFT. Mit einem Program, das letztere verwendet,
> habe ich dann verschiedene Instrumente verglichen.
> Da hast du Recht! Richtig durchgestiegen bin ich bei der
> (für mich) hohen Mathematik nicht!
Mmh - das hört sich aber interessant an. Würde mich ja später mal interessieren, wie das bewertet wurde und wie kompliziert du es machen solltest (ich habe beispielsweise in Mathe eine Facharbeit über Zahlensysteme geschrieben, die fand die Lehrerin zwar sehr toll, aber im Nachhinein fand ich das alles ziemlich einfach, was ich da geschrieben hatte, bzw. es war ein Recht niedriges Niveau). Aber dein Thema scheint ja nahezu unmöglich für einen Durchschnittsmensch. Und auch im fünften Semester habe ich da glaube ich noch nicht alles verstanden.
> > P.S.: gerade ist mir noch eine Idee gekommen: vielleicht
>
> > hilft es, wenn man [mm]\cos^2[/mm] durch [mm]1-\sin^2[/mm] ersetzt (es gilt
>
> > ja [mm]\sin^2+\cos^2=1[/mm] - kennst du das? müsste aber in jeder
>
> > Formelsammlung zu finden sein), dann erhält man einmal
> nur
> > noch cos und das zweite Mal [mm]cos*sin^2,[/mm] das könntest du
> dann
> > als zwei Integrale schreiben, und vielleicht ist das
> Zweite
> > dann einfacher zu lösen (?)...
> Oh, das klingt gut! Ich mache mich gleich mal ans
> durchrechnen und melde mich, wenn etwas dabei
> herauskommt...
Mmh - hat's denn funktioniert? Ich bin leider nicht mehr dazu gekommen, mir das nochmal anzugucken...
Viele Grüße und viel Erfolg beim Weiterprobieren.
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Di 11.01.2005 | | Autor: | Fabi-O |
Hi Bastiane,
entschuldige bitte, dass ich erst jetzt schreibe... Ich war etwas im Stress wegen dem Schulanfang und der Facharbeit!
> Mmh - das hört sich aber interessant an. Würde mich ja
> später mal interessieren, wie das bewertet wurde und wie
> kompliziert du es machen solltest (ich habe beispielsweise
> in Mathe eine Facharbeit über Zahlensysteme geschrieben,
> die fand die Lehrerin zwar sehr toll, aber im Nachhinein
> fand ich das alles ziemlich einfach, was ich da geschrieben
> hatte, bzw. es war ein Recht niedriges Niveau). Aber dein
> Thema scheint ja nahezu unmöglich für einen
> Durchschnittsmensch. Und auch im fünften Semester habe
> ich da glaube ich noch nicht alles verstanden.
Also prinzipiell denke ich ist das Thema fast unerschöpflich und wirklich komplitziert, aber auf dem Niveau, auf dem ich schreibe, ist es dann nicht sooo schwer. Immerhin soll es auch für normalsterbliche Mitschüler verständlich sein (und für mich).
> Mmh - hat's denn funktioniert? Ich bin leider nicht mehr
> dazu gekommen, mir das nochmal anzugucken...
Nein, hat bisher leider nicht geklappt. Egal welche Funktion ich benutze: Immer bleibe ich an diesem Integral hängen, dass sich nicht lösen lassen will. Aber ich gebe nicht auf! ;)
Vielen Dank für deine Antworten! finde ich wirklich super, dass einem hier so bereitwillig geholfen wird!
Viele Grüße,
Fabi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Mo 10.01.2005 | | Autor: | corni |
Hallo Fabi,
zuerst habe ich [mm] cos(w*t)^2 [/mm] durch [mm] \bruch{1}{2}(1+cos(2*w*t) [/mm] ersetzen.
Daraus folgt:
[mm] A_{k}=\bruch{2}{T} \integral{cos(w*t)^2*cos(k*w*t) dt}=\bruch{2}{T} \integral{\bruch{1}{2}(1+cos(2*w*t))*cos(k*w*t) dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{T} \integral{cos(k*w*t)+cos(2*w*t)*cos(k*w*t) dt}.
[/mm]
Zur Vereinfachung habe ich die Grenzen jetzt weggelassen. Der 1. Teil des Ingrals sollte jetzt kein Problem mehr darstellen.
Das zweite folgt nun (ich integriere zweimal partiell).
[mm] I=\integral{cos(2*w*t)*cos(k*w*t) dt}=cos(2*w*t)*\bruch{sin(k*w*t)}{k*w}+\bruch{2}{k}\integral{sin(2*w*t)*sin(k*w*t) dt}
[/mm]
[mm] =cos(2*w*t)*\bruch{sin(k*w*t)}{k*w}+\bruch{2}{k}(sin(2*w*t)*\bruch{-cos(k*w*t)}{k*w}+\bruch{2}{k}\integral{cos(2*w*t)*cos(k*w*t) dt}).
[/mm]
Wie nun zu sehen ist, entspricht das letzte Intgral dem Ausgangsintegral also I. Ich habe nun alle Klammern aufgelöst das Intgral durch I substituiert und nach I umgestellt. Dann steht folgender Ausdruck da(ist schon zusammengefasst):
[mm] I=\bruch{cos(2*w*t)*sin(k*w*t)-\bruch{2}{k}*sin(2*w*t)*cos(k*w*t)}{k*w*(1-\bruch{4}{k^2})}.
[/mm]
Das ist die Stammfunktion des zweiten Teiles.
Die Lösung ist nun
[mm] A_{k}=\bruch{1}{T}(\bruch{1}{k*w}*sin(k*w*t)+\bruch{cos(2*w*t)*sin(k*w*t)-\bruch{2}{k}*sin(2*w*t)*cos(k*w*t)}{k*w*(1-\bruch{4}{k^2})}).
[/mm]
Beim einsetzen der Grenzen und mit [mm] w=\bruch{2*\pi}{T} [/mm] erhält man [mm] A_{k}=0.
[/mm]
Ein weitern Ansatz ist indem man folgende Beziehung einsetzt:
[mm] cos(x_{1})*cos(x_{2})*cos(x_{3})=\bruch{1}{4}*(cos(x_{1}+x_{2}-x_{3})+cos(-x_{1}+x_{2}+x_{3})+cos(x_{1}-x_{2}+x_{3})+cos(x_{1}+x_{2}+x_{3})).
[/mm]
Den habe ich im Bartsch (Ein Taschenbuch der Mathematik) gefunden.
Das ganze dürfte jetzt verständlicher sein als gestern Abend.
Viele Grüße
Corni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Di 11.01.2005 | | Autor: | Fabi-O |
Hi Corni!
Vielen herzlichen Dank für deine ausführliche Antwort!
Bei dem ersten Tipp bin ich jetzt auf die schnelle nicht durchgestiegen, den werde ich mir morgen noch genauer ansehen. Was mich aber stutzig macht: du schreibst als Ergebnis [mm]A_{k}=0[/mm] - bei verwendung der Identität [mm]cos^2(x)=\bruch{1}{2}(1+cos(2x))[/mm] müsste aber zumindest [mm] A_{2}=\bruch{1}{2} [/mm] herauskommen.
Die 2. Möglichkeit klingt sehr verheißungsvoll. Aber auch das werde ich mir morgen Nachmittag in Ruhe ansehen. Hast du diese Formelsammlung zufällig zur Hand und könntest du mir dann ggf. die bibiographischen Angaben zukommen lassen, damit ich sie als Quelle zitieren kann? In der örtlichen Uni-Bibliothek ist dieses Buch leider noch bis nach Abgabetermin vergriffen... Das wäre super!
Aber jetzt werde ich zunächst einmal prüfen, ob ich mit deinen Hinweisen auf die gewünschte Lösung komme ;)
Viele Grüße,
Fabi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Mi 12.01.2005 | | Autor: | corni |
Hallo Fabi
Angaben zur Formelsammlung:
Titel: Taschenbuch Mathematischer Formeln
Autor: Hans-Jochen Bartsch
erschienen 2001 im Fachbuchverlag Leipzig in der 19. Auflage.
Es gibt inzwischen schon die 20. überarbeitete Auflage.
Bei dem Integral kommt für [mm] A_{k}=0 [/mm] raus. Das habe ich per Hand und mit Taschenrechner raus. Die Stammfunktion stimmt auch, da ich diese auch nochmal überprüft habe. Wo nun der Fehler bei der Fouriertransformation steckt weiß ich nicht, und mir fällt auf Anhieb jetzt nichts ein. Ich denk im Laufe des Tages nochmal drüber nach.
Bis dahin Corni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Fabi-O |
Hallo Corni,
ich bin nun einmal deinem 2. Hinweis gefolgt und auf folgendes gekommen:
[mm]A_k = \bruch{2}{T} \integral_{-T/2}^{+T/2} {cos^2(wt)*cos(kwt)dt} = \bruch{4}{T} \integral_{0}^{+T/2} {cos^2(wt)*cos(kwt)dt}[/mm]
dann habe ich deine Formel verwendet:
[mm]A_k = \bruch{1}{T} \integral_{0}^{T/2} {(cos(2wt+kwt)+2cos(kwt)+cos(2wt-kwt))dt} = \bruch{1}{T} [\bruch{1}{2w+kw} sin(kwt+2wt)+\bruch{2}{kw} sin(kwt)+\bruch{1}{2w-kw} sin(kwt-2wt)]_{0}^{T/2}[/mm]
Damit wird [mm]A_k[/mm] für alle [mm]k[/mm] den Wert [mm]0[/mm] annehmen, wie du ja bereits sagtest, da nach dem Einsetzen immer ein Vielfaches von [mm] \pi [/mm] das Argument der Sinus-Funktionen darstellt.
Jetzt fange ich aber langsam an, an der Fourier'schen Formel zu zweifeln... :( Naja, ich habe ja noch 2 Wochen Zeit und wenn gar nichts mehr hilft, dann muss ich die Beispiele eben weg lassen.
MfG
Fabi
PS: Vielen Dank nochmals für deine Hinweise! Das waren bisher die aussichtsreichsten und evtl. ist die Lösung ja korrekt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fabi-O,
wenn Du mit Deiner Stammfunktion nicht sicher bist, kannst Du ja immer noch die Probe machen: ABLEITEN ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") !!!
Schließlich sollte dann Deine ursprüngliche Funktion entstehen ...
Grüße
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Fr 14.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hi
Da es sich um ein bestimmtes Integral handelt,das über eine ganze Periode geht für cos( [mm] \omega*t)
[/mm]
und mehrere Perioden von cos(k* [mm] \omega*t) [/mm] kann man die FLäche direkt berechnen.
mit
[mm] \integral_{0}^{T72} {cos^{2}(x) dx}= \integral_{0}^{T72} {sin^{2}(x) dx} [/mm] kommst du weiter.
Am besten find ich immer Skizzen oder Plots,also skizier die Funktion mal mit [mm] sin^{2}(x)*cos(kx) bzwcos^{2}(x)*cos(kx) [/mm] k=2 oder 3 und denk an [mm] sin^{2}x+cos^{2} [/mm] =1
Ich hoffe das hilft
Viel Erfolg
leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Fabi-O |
Vielen Dank für diesen Tip!
Ich werde ihn gleich testen ;)
Gruß,
Fabi
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