Stammfunktion gesucht < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Löse folgendes Integral [mm] \integral{\bruch{x^4+3x^2+x+1}{(x+1)(x^2+1)^2}dx} [/mm] |
Hat jemand eine Idee wie man an ein solches Integral herangeht?
Substitution?
Ich habe schon probiert es durch Polynomdivision zu vereinfachen, gind aber auch nicht :-(
|
|
| |
|
Hallo,
überzeuge Dich davon, daß -1 keine Nullstelle des Zählers ist, man also nicht kürzen kann, und mach eine Partialbruchzerlegung.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Ich muss also eine Partíalbruchzerlegung vornehmen:
[mm] \bruch{x^4+3x^2+x+1}{(x+1)(x^2+1)^2}=(\bruch{A}{x+1})+(\bruch{B}{(x^2+1)^2}
[/mm]
Dann steht im Zähler : [mm] A(x^2+1)^2+B(x+1)
[/mm]
Ausmultipliziert ergibt sich: [mm] Ax^4+2Ax^2+A+Bx+B
[/mm]
beim Koeffizientvergleich führt es dann aber zum falschen Ergebnis :
A=1
2A=3
B=1
A+B=1
Ist der Fehler in der Partialbruchzerlegung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 So 18.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Ich muss also eine Partíalbruchzerlegung vornehmen:
>
> [mm]\bruch{x^4+3x^2+x+1}{(x+1)(x^2+1)^2}=(\bruch{A}{x+1})+(\bruch{B}{(x^2+1)^2}[/mm]
>
> Dann steht im Zähler : [mm]A(x^2+1)^2+B(x+1)[/mm]
> Ausmultipliziert ergibt sich: [mm]Ax^4+2Ax^2+A+Bx+B[/mm]
> beim Koeffizientvergleich führt es dann aber zum falschen
> Ergebnis :
> A=1
> 2A=3
> B=1
> A+B=1
>
> Ist der Fehler in der Partialbruchzerlegung?
Ja.
Du brauchst für die PBZ sowohl einen VBruch mit dem Nenner [mm] (x^2+1)^2 [/mm] (hast du) als auch einen Bruch mit dem Nenner [mm] (x^2+1)^1 [/mm] (hast du nicht).
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Ok, ist die Struktur dann so
[mm] \bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x^2+1}+\bruch{C}{(x^2+1)^2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 So 18.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo photonendusche,
das ist reine Rumraterei, die Du da machst. Schaue Dir mal in Deinen Unterlagen den Partialbruchansatz an, wenn die Nullstellen des Nenners komplex sind und dies ist ja beim Term [mm] x^2 + 1 [/mm] der Fall.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
Die Existenz einer komplexen Nullstelle war mir bekannt, ich habe den ansatz falsch gemacht.
Das Ergebnis habe ich inzwischen.
Nochmals danke.
|
|
|
|
