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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Sa 10.04.2010 | | Autor: | pittster |
Wie kommt es, dass [mm] $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} [/mm] = arsinh(x) + C$ ist. Ich hätte das jetzt mit Substitution bearbeitet und einen algebraischen Ausdruck daraus zu gewinnen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Sa 10.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Wie kommt es, dass [mm]\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} = arsinh(x) + C[/mm]
> ist. Ich hätte das jetzt mit Substitution bearbeitet und
> einen algebraischen Ausdruck daraus zu gewinnen.
Na, dann substituiere mal.
Du kannst natürlich auch [mm]\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} = arsinh(x) + C[/mm] als eine dir vorliegende Behauptung annehmen und diese Behauptung durch Ableiten bestätigen. Benötigt wird dafür die Ableitungsregel für das Ableiten von Umkehrfunktionen.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Sa 10.04.2010 | | Autor: | pittster |
Sorry, war eine blöde Frage. Das IST ja die arcsinh-Funktion!
Aber leider habe ich noch einen kleinen Fehler beim Substituieren gemacht und ich komm grad nicht drauf, wo da drt Wurm drin ist.
So bin ich vorgegangen:
[mm] $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx [/mm] = [mm] \int \frac{1}{u} [/mm] du$ mit $u = [mm] \sqrt{x^2+1}$
[/mm]
[mm] $u'=\frac{du}{dx}=\frac{1}2 \cdot \sqrt{x^2+1} \cdot [/mm] 2x= [mm] \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}du=\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2}}=\sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }$
[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{u}du [/mm] = ln(u) +C = ln [mm] \left(\sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }\right) [/mm] + C$
Was habe ich falsch gemacht?
grüße, Dennis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Sa 10.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Sorry, war eine blöde Frage. Das IST ja die
> arcsinh-Funktion!
>
> Aber leider habe ich noch einen kleinen Fehler beim
> Substituieren gemacht und ich komm grad nicht drauf, wo da
> drt Wurm drin ist.
>
> So bin ich vorgegangen:
>
> [mm]\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx = \int \frac{1}{u} du[/mm] mit [mm]u = \sqrt{x^2+1}[/mm]
>
> [mm]u'=\frac{du}{dx}=\frac{1}2 \cdot \sqrt{x^2+1} \cdot 2x= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/mm],
> also
> [mm]dx=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}du=\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2}}\red{du}=\sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }\red{du}[/mm]
>
> [mm]\int \frac{1}{u}du = ln(u) +C = ln \left(\sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }\right) + C[/mm]
Zunächst heißt es [mm] \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx [/mm] = [mm] \int \frac{1}{u} [/mm] dx= [mm] \int \frac{1}{u} \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }\red{du}.
[/mm]
Damit bekonnst du das x, das du raussubstituieren wolltest, wieder hinein.
Gruß Abakus
>
> Was habe ich falsch gemacht?
>
> grüße, Dennis
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Sa 10.04.2010 | | Autor: | pittster |
Danke Abakus!
Und wie geht es dann weiter? Kann ich das dann zur Stammfunktion "überführen"? Also $= ln(u) [mm] \cdot \sqrt{1+\frac{1}^{x^2}}$? [/mm] Tut mir leid, aber im Moment bin ich etwas verwirrt...
lg, Dennis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Sa 10.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Danke Abakus!
>
> Und wie geht es dann weiter?
Gar nicht. dein Ansatz war gut germeint, führt aber nicht (jedenfalls nicht ohne weitere aufwändige Substitutionen) zum Ziel.
Verfolge den Hinweis von eXeQteR.
Gruß Abakus
> Kann ich das dann zur
> Stammfunktion "überführen"? Also [mm]= ln(u) \cdot \sqrt{1+\frac{1}^{x^2}}[/mm]?
> Tut mir leid, aber im Moment bin ich etwas verwirrt...
>
> lg, Dennis
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Hi,
versuche es mal mit der Substitution x=tan(u) .
danmit kommst du zum ziel :)
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 So 11.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
noch netter ist hier eigentlich eine andere Substitution. Wenn man die Identitäten für cosh und sinh kennt, dann weißt du, dass aus [mm] cosh^2(x)-sinh^2(x)=1 [/mm] folgt dass [mm] cosh^2(x)=1+sinh^2(x) [/mm] deshalb kannst du hier auch wunderbar x=sinh(u) subsitutieren, dann ist dx=cosh(u)du das Integral ist also [mm] \integral{du}=u [/mm] u ist bekanntlich arcsinh(x) und schwupps bist du am ziel.
lg
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