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| Aufgabe | [mm] \integral [/mm] {f(x) dx}
f(x)= [mm] \bruch{\wurzel{1+x^2}}{x} [/mm] |
Hi Leude,
dieses unbestimmte Integral soll ich lösen, ich hab n bisschen rumprobiert in dem ich x durch verschiedene trigonometrische Funktionen substituiert habe... was allerdings nichts gebracht hat.
Hat vllt. einer mal ne Idee zu nem Lösungsansatz mit dem man da auf ne Stammfunktion kommt?
Vielen Dank für eure Hilfe,
grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 12:56 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Janyary |
hi du,
hier mal ne loesung, hab aber keine probe gemacht. also einfach nochmal durchschaun.
[mm] u=x^{2}+1
[/mm]
u'=2x
[mm] \bruch{du}{dx}=2x [/mm] --> [mm] dx=\bruch{1}{2x}du
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{\wurzel{u}}{2x^{2}}du}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3}u^{ \bruch{3}{2}}*\bruch{1}{2x^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3x^{2}}*(1+x^{2})^{1.5}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Mi 08.02.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo janyary,
bei deiner substitution geht einiges durcheinander. Sinn des ganzen ist es ja, eine variablen-transformation (hier von $x$ nach $u$) durchzuführen, dazu muß dann auch das differential $dx$ transformiert werden.
nach deiner substitution stehen noch $x$ und $u$ im integral, das darf nicht sein! du mußt alle $x$ terme und $dx$ durch terme in $u$ bzw. $du$ ersetzen!
VG
Matthias
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Hallo,
versuchs mal mit der substitution [mm] $z=\wurzel{x^2+1}$. [/mm] Ich habe die rechnung mal angefangen, und ich denke, so kommst du durch.
VG
Matthias
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Janyary |
also wenn ich [mm] \wurzel{1+x^{2}} [/mm] substituiere, komme ich auf ne stammfunktion von:
[mm] \bruch{(1+x^{2})^{1.5}}{2x^{2}}
[/mm]
also ist der unterschied zur ersten substitution lediglich der Faktor vorm [mm] x^{2}
[/mm]
an sich ist es doch egal was ich substituiere. hab jetzt auch schon hin und her gerechnet und die ergebnisse sollten uebereinstimmen. wenn jetzt also die stammfunktion der 2. variante richtig ist. hast du vielleicht ne idee wo ich bei der ersten nen fehler gemacht haben koennte?
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wenn ich $ [mm] z=\wurzel{x^2+1} [/mm] $ substituiere dann erhalte ich doch folgendes Integral:
[mm] \integral{z^2/x^2 dz}
[/mm]
oder sehe ich das falsch? Damit habe ich ja immernoch ein x in der funktion
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:56 Do 09.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen phys.student!
> oder sehe ich das falsch?
Völlig richtig so! Aber nun forme die Substitution $z \ = \ [mm] \wurzel{x^2+1}$ [/mm] nach [mm] $x^2 [/mm] \ = \ ...$ um und ersetze in Deinem Integral (Nenner).
Anschließend musst Du eine Partialbruchzerlegung durchführen ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Cherub |
Man sollte nach meiner Meinung das Ausgangsintegral erst etwas anders hinschreiben.
[mm] \integral \bruch{\wurzel{1+x^2}}{x} [/mm] dx = [mm] \integral \bruch{\wurzel{1+x^2}*\wurzel{1+x^2}}{x*\wurzel{1+x^2}} [/mm] dx = [mm] \integral \bruch{x^2+1}{x*\wurzel{1+x^2}} [/mm] dx = [mm] \integral ({\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}} [/mm] + [mm] {\bruch{1}{x*\wurzel{1+x^2}}}) [/mm] dx.
Dass [mm] \integral {\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}} [/mm] dx = [mm] {\wurzel{1+x^2}} [/mm] + C gilt, ist (so denke ich) nicht das Problem.
Schwieriger ist [mm] {\bruch{1}{x*\wurzel{1+x^2}}} [/mm] dx.
Da muss man dann substituieren. Näher würde ich das dann aber nicht erläutern. Nur so viel: Ich habe z = [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] gewählt und habe [mm] -\integral \bruch{1}{1-z^2} [/mm] dz erhalten. Das Integral kann man dann in einer Tafel nachschlagen.
Hoffentlich bringt Dich das weiter und mir ist kein Fehler unterlaufen.
Mit besten Grüßen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 Do 09.02.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo,
wenn man am anfang schon [mm] $z=\wurzel{x^2+1}$ [/mm] substituiert, läuft das ganze auch auf [mm] $\integral \bruch{1}{1-z^2} [/mm] $ hinaus. dieses integral muß man allerdings nicht auf einer tafel nachschauen, sondern kann man relativ leicht mit partialbruchzerlegung berechnen.
VG
Matthias
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