Stammfunktion von f(x)=1/x < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Sa 03.07.2004 | | Autor: | Mathegod |
hallo ersmal
wie die überschrifft schon verrät geht es mir um die Stammfunktion von f(x)=1/x.
ich soll in der schule ein referat über uneigentliche integrale halten; unteranderm auch über diese funktion. so im grossen und ganzen hab ich das alles kapiert, doch nun haperts an der begründung für diese stammfunktion. ich hab auch schon in büchern nachgeschaut und dort gab es 2verschiede möglichkeiten:
F(x)= log x oder auch
F(x)= ln x
wenn ich mit der herkömmlichen methode rangehe müsste ja
f(x)= x^-1 und die stammfunktion dann
F(x)= [mm] (x^0)/0 [/mm] sein
das macht ja keinen sinn und deshalb würde ich um eine begründung dafür bitten, falls diese überhaupt relevant ist.
ich bedanke mich schon mal im vorraus
mfg
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Sa 03.07.2004 | | Autor: | andreas |
hi
eine stammfunktion von [m] f(x) = \frac{1}{x} [/m] ist [m] F(x) = \ln|x| [/m], wobei [m] \ln [/m] den natürlichen logarithmus - also die umkehrfunktion der exponenetialfunktion [m] e^x [/m] bezeichnet. die allgemeine stammfunktionen ist dann [m] F_c(x) = \ln|x| + c [/m] mit [m] c \in \mathbb{R} [/m] .die betragsstriche brauchst du, da der logarithmus für negative zahlen - zumindest im reellen - nicht definiert ist.
die andere möglichkeit die du angegeben hast [m] \log|x| [/m] wird von manchen autoren auch als notation für den natürlichen logarithmus verwandt, ist aber meiner meinung nach etwas irreführend, da man damit auch den logarithmus zu einer beliebigen basis bezeichnet.
für die herleitung würde ich zeigen, dass die ableitung von [m] \ln(x) [/m]
genau [m] \frac{1}{x} [/m] ist, woraus direkt die behauptung folgt.
ich würde das mit der regel zur ableitung der umkehrfunktion machen - sagt dir das was? darüber hinaus muss man nur noch wissen, dass die ableitung von [m] e^x [/m] wieder [m] e^x [/m] ist, aber das wird dir ja bekannt sein.
also melde dich am besten nochmal, ob dir diese regel bekannt ist.
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 So 04.07.2004 | | Autor: | Mathegod |
danke für diese detaillierte antwort.
Die ableitung mittels umkehrfunktion konnte ich mir durch google erschliessen. damit haben sich meine fragen geklärt. danke noch einmal.
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