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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 So 06.04.2008 | | Autor: | Vader |
| Aufgabe | | 2 * [mm] (1+e^{1-x})^{-1} [/mm] |
Hi,
bereite mich gerade aufs ABI vor und komme gerade nicht weiter. Kann mir mal bitte jemand obengenannte Funktion aufleiten bzw. die Stammfunktion der Funktion bilden? Wenn es geht in einzelnen Schritten mit Kommentaren versehen, da ich die Lösung ja besitze, diese aber nicht ganz nachvollziehen kann und auch auf das Ergebnis nicht komme.
Danke schonmal im voraus!
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Hallo!
Zu berechnen ist [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{1+e^{1-x}} dx} [/mm] Nun ziehen wir die 2 vor das Integral da es sich nur um eine Konstante handelt. Also haben wir [mm] 2\cdot\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+e^{1-x}} dx} [/mm] Jetzt substiruieren wir u=1-x
[mm] \Rightarrow -2\cdot\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+e^{u}} du} [/mm] Jetzt substituieren wir nocheinmal [mm] z=e^{u} \Rightarrow dz=e^{u}du
[/mm]
[mm] \Rightarrow -2\cdot\integral_{}^{}{\bruch{1}{z(z+1)} dz} [/mm] Und das solltest du integrieren können.
Ich fände es allerdings besser und wahrscheinlich wärst du dann zufriedener wenn du deinen Lösungsweg präsentierst und dann speziell sagst an welchen stellen es hackt.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 So 06.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Oder man erweitert vorher mit [mm] e^x. [/mm] So kann man sich eine Ersetzung sparen!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 06.04.2008 | | Autor: | Vader |
@ 2. Antwort: Ja, so stand das auch in den Lösungen. Aber wieso kann man das nicht "normal" aufleiten? bzw. was macht die Erweiterung aus?
Danke für die schnellen Antworten ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 So 06.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Vader!
> Aber wieso kann man das nicht "normal" aufleiten?
Das wird doch anschließend "normal" integriert ...
> bzw. was macht die Erweiterung aus?
Durch die o.g. Erweiterung erhalten wir im Zähler exakt die Ableitung des Nenners. Und dann geht die Integration doch ruck-zuck ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 So 06.04.2008 | | Autor: | Vader |
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{1+e^{1-x}} dx} [/mm]
ok, also hier ziehe ich die 2 raus
[mm] 2\cdot\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+e^{1-x}} dx}
[/mm]
Aber warum 2 mal Substitution? :P konnte dir nicht ganz folgen...
ich hätte das ja so gemacht (mein Rechenweg)
1. [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{1+e^{1-x}} dx} [/mm]
2. es handelt sich ja um eine lineare Verkettung: daraus folgt:
F(x) = 2 [mm] ln(1+e^{1-x}) \cdot (-\bruch{1}{e^{1-x}})
[/mm]
...aber irgendwie ist das scheinbar so ja nicht richtig - nur weiß ich nicht warum ;)
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Hey!
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{1+e^{1-x}} dx}[/mm]
>
> ok, also hier ziehe ich die 2 raus
>
> [mm]2\cdot\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+e^{1-x}} dx}[/mm]
>
> Aber warum 2 mal Substitution? :P konnte dir nicht ganz
> folgen...
> ich hätte das ja so gemacht (mein Rechenweg)
>
> 1. [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{1+e^{1-x}} dx}[/mm]
> 2. es handelt sich ja um eine lineare Verkettung: daraus
> folgt:
> F(x) = 2 [mm]ln(1+e^{1-x}) \cdot (-\bruch{1}{e^{1-x}})[/mm]
>
Nein, du kannst nicht sagen, dass hier eine lineare Verkettung vorliegt. Denn die Funktion ist ja [mm] {(1+e^{1-x})}^{\red{-1}} [/mm] und daher die innere Funktion [mm] 1+e^{1-x}. [/mm]
(Es reicht hier also nicht nur den Teil mit der e-Funktion zu betrachten, da das ganze im Nenner steht)
Das dein Ergebnis nicht stimmen kann merkst du ja auch daran, wenn du es wieder ableiten würdest, müsstest du ja die Produktregel anwenden.
> ...aber irgendwie ist das scheinbar so ja nicht richtig -
> nur weiß ich nicht warum ;)
Gruß Patrick
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