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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Canan |
Hallo Leute,
Ich beschäftige mich gerade damit, dass es integrierbare Funktionen gibt, die keine Stammfunktion haben.
Ein Beispiel dafür soll folgende Funktion sein:
2 für x größer gleich 1
f(x)=
1 für x kleiner 1
An einer Begründung habe ich mich folgendermaßen versucht:
Da die Funktion f nicht überall differenzierbar ist, kann es keine stetige Stammfunktion geben.
Stimmt das??
In der Hoffnung, dass mir jemand behilflich sein kann,
Canan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Canan |
Was mich ein wenig verwirrt ist folgende Aussage von Informix:
"Aber grundsätzlich ist f integrierbar:
überprüfe doch einfach, ob dies hier eine Stammfunktion ist:
[mm] f(x)=\begin{cases} 2x, & \mbox{für } x \mbox{ größer gleich 1} \\ 1x, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner 1} \end{cases}
[/mm]
Was sagst du nun?! Damit kannst du sogar das Integral berechnen, oder? "
Ursprüngliche Aufgabe war, zu beweisen, dass es KEINE Stammfunktion gibt. Bezieht sich das KEINE vielleicht auf keine Zusammenhängende?
Gruß,
Canan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Di 24.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Canan,
hier geht einiges durcheinander, deshalb mal ganz langsam:
Zunächst mal ist die Aussage "[mm]f[/mm] ist integrierbar" nicht äquivalent mit der Aussage "[mm]f[/mm] besitzt eine Stammfunktion".
Eine Funktion ist (im Riemannschen Sinne) integrierbar, wenn das Oberintegral mit dem Unterintegral übereinstimmt (manche sagen auch, wenn Ober- und Untersumme gegen denselben Wert konvergieren).
Wenn eine Funktion [mm]f(x)[/mm] eine Stammfunktion besitzt, heißt das, es gibt eine Funktion [mm]F(x)[/mm], für die gilt [mm]F'(x) = f(x)[/mm]. Das heißt unter anderem, dass eine Stammfunktion differenzierbar (also insbesondere stetig) sein muss.
(Es macht also keinen Sinn von einer stetigen Stammfunktion zu sprechen, da Stammfunktionen als solche immer stetig sind.)
Du führst dann das Beispiel der Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} 2, & \mbox{für } x \ge 1 \\ 1, & \mbox{für } x<1 \end{cases}[/mm]
an, die als beschränkte, monotone Funktion integrierbar ist (man sieht ihre Integrabilität auch anschaulich!), aber keine Stammfunktion besitzt. Und sie besitzt tatsächlich keine Stammfunktion! Eine solche müsste ja so aussehen:
[mm] F(x)=\begin{cases} 2x+C, & \mbox{für } x \ge 1 \\ x+C & \mbox{für } x<1 \end{cases}[/mm]
Diese Funktion ist aber nicht stetig an der Stelle 1 (also auch nicht differenzierbar!) und ist damit keine Stammfunktion. Im übrigen kann man damit nicht das Integral berechnen, denn z.B. ist
[mm] \integral _{0}^{3}{f(x) dx} = 5[/mm],
aber mit der vermeintlichen Stammfunktion erhältst Du [mm] F(3)-F(0)=6-0\not=5 [/mm].
Dein Beispiel ist richtig, aber Deine Begründung nicht: Du sagst, eine nicht differenzierbare Funktion hat keine Stammfunktion! Das ist falsch, ein Gegenbeispiel wäre die Betragsfunktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
Sie ist stetig, aber nicht differenzierbar! Trotzdem hat sie eine Stammfunktion:
[mm] F(x)=\begin{cases} \bruch{x^{2}}{2}, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -\bruch{x^{2}}{2} & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
Es ist sogar so, dass jede stetige Funktion eine Stammfunktion hat.
Die Umkehrung dieses Satzes gilt jedoch nicht: Es gibt unstetige Funktionen, die eine Stammfunktion haben (ich erspare Dir jetzt das komplizierte Beispiel, das ich gefunden habe).
Und zum Abschluss: Es gibt sogar stetige Funktionen (die damit automatisch eine Stammfunktion haben), deren Stammfunktion wir nicht kennen. Versuch mal, eine Stammfunktion für
[mm] f(x) = \bruch{1}{\wurzel{2 \pi}}*\exp{(-\bruch{x^{2}}{2})} [/mm]
zu finden. Der Nobelpreis wäre Dir sicher! 
MFG,
Yuma
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