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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:41 Mo 17.03.2008 | | Autor: | MattiJo |
Guten Abend zusammen,
ich suche dringend Stammfunktionen zu
u(x) := [mm] \bruch{1}{sin(x)} [/mm] und v(x) := [mm] \bruch{1}{cos(x)}
[/mm]
Mir fällt keine Möglichkeit ein, die zu berechnen (keine passende Substitution...) Wäre super, wenn jemand da bereits eine kennt (das Ergebnis ist mir wichtiger als der Lösungsweg, aber es interessiert mich auf jeden fall, wie man drauf kommt...auf jeden Fall stoße ich beim (partiellen) Integrieren andauernd auf diese beiden und kann dann nicht weiterrechnen.
Vielen Dank,
matti
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Hallo MattiJo,
zu [mm] $\int{\frac{1}{\sin(x)} \ dx}$:
[/mm]
Es gibt mehrere Möglichkeiten, dieses Integral zu berechnen:
(1) Verwende das Additionstheorem für den Sinus:
[mm] $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$, [/mm] also hier:
[mm] $\sin(x)=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=2\cdot{}\blue{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}\cos\left(\frac{x}{2}\right)=2\cdot{}\blue{\tan\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\cos\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}\cos\left(\frac{x}{2}\right)=2\cdot{}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$
[/mm]
(Wegen [mm] $\tan=\frac{\sin}{\cos}\Rightarrow \sin=\tan\cdot{}\cos$)
[/mm]
Also [mm] $\frac{1}{\sin(x)}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$
[/mm]
Dann betrachte die Ableitung von [mm] $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
[/mm]
Das ist nach Kettenregel [mm] $\left[\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right]'=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$
[/mm]
Damit ist dann aber [mm] $\int{\frac{1}{\sin(x)} \ dx}=\int{\frac{\left[\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right]'}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} \ dx}$
[/mm]
Also ein logarithmisches Integral mit der Stammfunktion [mm] $\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right) [/mm] \ + \ C$
(2) alternativ (und schneller  ) kannst du substituieren: [mm] $u:=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x=2\arctan(u)\Rightarrow \frac{dx}{du}=\frac{2}{u^2+1}$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{2}{u^2+1} [/mm] \ du$
Und [mm] $\sin(x)=\sin(2\arctan(u))=\frac{2u}{u^2+1}$
[/mm]
Das gibt dann ein einfaches Integral ..
zu [mm] $\int{\frac{1}{\cos(x)} \ dx}$
[/mm]
Verwende hier ebenfalls die Substitution [mm] $u:=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
[/mm]
Damit kommst du auf das Integral [mm] $\int{\frac{2}{1-u^2} \ du}$, [/mm] das du mit Partialbruchzerlegung weiter verarzten kannst
Gruß und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:47 Mo 17.03.2008 | | Autor: | MattiJo |
hey,
danke für die schnelle antwort ;)
(1) hab ich gleich verstanden, ich hab eigentlich nur eine frage zu (2) :
nach der substitution x := 2 arctan(u)
wird ja der nenner: sin(x) = sin (2arctan(u))
woher weiß ich, dass sin(2arctan(u)) = [mm] \bruch{2u}{1 + u^{2}} [/mm] ?
denn in meiner formelsammlung steht: sin(arctan(x)) = [mm] \bruch{x}{\wurzel{1+x^{2}}}
[/mm]
wonach jetzt meiner folgerung nach sin(2arctan(x)) = [mm] \bruch{2x}{\wurzel{1+x^{2}}} [/mm] wäre.
Bitte korrigiert mich sofort, falls meine Formel nicht stimmt, die Formelsammlung habe ich nämlich selbst angefertigt (für die Klausur),
Das wäre eigentlich soweit alles zu diesem Thema. Danke nochmal für alle Hilfen ;)
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Moin moin,
ganz schnell, bin auf'm Weg zur Arbeit :((
Benutze wie in (1) das Additionstheorem für [mm] \sin:
[/mm]
[mm] $\sin(2\arctan(u))=\sin(\arctan(u)+\arctan(u))=2\cdot{}\sin(\arctan(u))\cdot{}\cos(\arctan(u))=2\cdot{}\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}\cdot{}\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}=...$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:32 Mo 17.03.2008 | | Autor: | MattiJo |
Danke danke, du bist spitze ;)
Viel Spaß beim arbeiten ;)
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