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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Stammfunktionen von f. |
Hallo,
ich tue mich noch etwas schwer mit speziellen Brüchen/Wurzeln und deren Umformung und anschließenden Suchen von Stammfunktionen. Daher meine Frage wo ich mir dieses Wissen im Internet suchen kann oder ob ihr einen Tipp für mich zur selbständigen Erarbeitung hättet.
Gruß Markus
Zu den Aufgaben
f(x)= [mm] \bruch{x^2}{2}+\bruch{4}{x^3}
[/mm]
f(x)= [mm] n^2x^n^-^1, n\in\IN
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Sa 04.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie die Stammfunktionen von f.
> Hallo,
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> ich tue mich noch etwas schwer mit speziellen
> Brüchen/Wurzeln und deren Umformung und anschließenden
> Suchen von Stammfunktionen. Daher meine Frage wo ich mir
> dieses Wissen im Internet suchen kann oder ob ihr einen
> Tipp für mich zur selbständigen Erarbeitung hättet.
>
> Gruß Markus
>
> Zu den Aufgaben
>
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> f(x)= [mm]\bruch{x^2}{2}+\bruch{4}{x^3}[/mm]
>
> f(x)= [mm]n^2x^n^-^1, n\in\IN[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
generell solltest Du
$$(1) [mm] \;\;\;\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}\;\;(n \not=-1)$$ [/mm]
wissen. Dann sowas wie
$$(2) [mm] \;\;\;\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int [/mm] g(x)dx$$
und
$$(3) [mm] \;\;\;\int c*f(x)dx=c*\int f(x)dx\;\;(c=const)\,.$$
[/mm]
Ferner solltest Du Umformungen der Art
[mm] $$(4)\;\;\;(a^b)^c=a^{b*c},\;\;a^{-n}=1/a^{n}\;\;\; [/mm] etc.pp.$$
beherrschen (notfalls nachschlagen und wiederholen).
Ich rechne Dir jetzt mal zwei andere Beispiele analog vor, und Du versuchst Deine Aufgaben mal analog (d.h. Du lernst durch "analogisieren"):
1.) [mm] $\int (4*x^3\;\;+\;\;5/x^7)dx\underset{(2),(3),(4)}{=}4*\int x^3dx+5*\int x^{-7}dx\underset{(1)}{=}4*\frac{1}{4}*x^4+5*\left(\frac{1}{(-7+1)}x^{-7+1}\right)=x^4-(5/6)x^{-6}\underset{(4)}{=}x^4-\frac{5}{6x^6}\,,$
[/mm]
2.) [mm] $\int n^3x^{n^2-1}dx\underset{(3)}{=}n^3\int x^{n^2-1}dx\underset{(1)}{=}n^3*\frac{1}{n^2-1+1}x^{n^2-1+1}=n*x^{n^2}\;\;\;(0\not=n=fest)\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo erstmal danke für die motivierenden Vorschläge,
f(x)= [mm] \integral_{}^{} n^2*x^n^-^1 dx=n^2 \integral_{}^{} x^n^-^1dx= n^2*\bruch{1}{n-1+1} x^n^-^1^+^1=n*x^n
[/mm]
falls bis hierhin alles richtig, verstehe ich denn letzten schritt allerdings nicht da ich nicht weiß wie man kürzen darf, ich denke jedoch man darf folgendes,
-1+1 mit -1+1 im exponenten wegkürzen, n mit [mm] n^2 [/mm] wegkürzen, sodass nur [mm] n*1x^n [/mm] bleibt, denke es ist irgendwo ein haken in meiner denkweise.
f(x)= [mm] \bruch{x²}{2} [/mm] + [mm] \bruch{4}{x^3}= \integral_{}^{}+4^-^3dx
[/mm]
verstehe jedoch nicht (kann es auch nirgends finden) :-( , wie ich [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] umforme
Gruß Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Sa 04.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo erstmal danke für die motivierenden Vorschläge,
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> f(x)= [mm]\integral_{}^{} n^2*x^n^-^1 dx=n^2 \integral_{}^{} x^n^-^1dx= n^2*\bruch{1}{n-1+1} x^n^-^1^+^1=n*x^n[/mm]
>
> falls bis hierhin alles richtig, verstehe ich denn letzten
> schritt allerdings nicht da ich nicht weiß wie man kürzen
> darf, ich denke jedoch man darf folgendes,
> -1+1 mit -1+1 im exponenten wegkürzen, n mit [mm]n^2[/mm]
> wegkürzen, sodass nur [mm]n*1x^n[/mm] bleibt, denke es ist irgendwo
> ein haken in meiner denkweise.
>
> f(x)= [mm]\bruch{x²}{2}[/mm] + [mm]\bruch{4}{x^3}= \integral_{}^{}+4^-^3dx[/mm]
>
> verstehe jedoch nicht (kann es auch nirgends finden) :-( ,
> wie ich [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm] umforme
Hallo,
[mm] \bruch{x^2}{2}=\bruch{1}{2}x^2.
[/mm]
Bilde also eine Stammfunktion von [mm] x^2 [/mm] und setze den Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] vor dein Ergebnis.
Bei [mm] 4x^{-3} [/mm] entsprechend [mm] x^{-3} [/mm] integrieren und am Ende den Faktor 4 davorschreiben.
Gruß Abakus
>
> Gruß Markus
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Hallo,
ist die Aufgabe jetzt richtig ?
[mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{4}{x^3}= \bruch{1}{2}*\bruch{1}{3} x^3 [/mm] + [mm] 4x^{-3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} x^3 [/mm] + 4* [mm] (-\bruch{1}{2}x^{-2})= \bruch{1}{6} x^3 [/mm] - [mm] 2x^{-2}= \bruch{1}{6}x^3-\bruch{2}{x^2}+C
[/mm]
Gruß Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:15 So 05.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo markus
Deine = Zeichen sind schrecklich !
Aber das Integral des ersten Ausdrucks ist der letzte Ausdruck. Es fehlt fuer das unbestimmte integral die beliebige Konstante C.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 So 05.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ist die Aufgabe jetzt richtig ?
>
> [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{4}{x^3}= \bruch{1}{2}*\bruch{1}{3} x^3[/mm]
> + [mm]4x^{-3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6} x^3[/mm] + 4* [mm](-\bruch{1}{2}x^{-2})= \bruch{1}{6} x^3[/mm]
> - [mm]2x^{-2}= \bruch{1}{6}x^3-\bruch{2}{x^2}+C[/mm]
wenn Du es anders meinst, als Du es schreibst, wäre es okay (witzig - aber auch ein wenig erschreckend - ist, dass Du, trotzdem Du einfach fälschlicherweise überall "=" schreibst, bzgl. der Stammfunktionsbildung (bzw. Integration) aber eigentlich korrekt rechnest):
[mm] $$\blue{\int}\left(\bruch{x^2}{2} + \bruch{4}{x^3}\right)\blue{dx}= \bruch{1}{2}*\bruch{1}{3} x^3 [/mm] + [mm] 4\blue{\int}x^{-3}\blue{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} x^3 [/mm] + 4* [mm] (-\bruch{1}{2}x^{-2})= \bruch{1}{6} x^3- 2x^{-2}= \bruch{1}{6}x^3-\bruch{2}{x^2}\,,$$
[/mm]
und wenn man das ganze mit Integrationskonstante(n) machen will, dann so:
[mm] $$\blue{\int}\left(\bruch{x^2}{2} + \bruch{4}{x^3}\right)\blue{dx}= \bruch{1}{2}*\bruch{1}{3} x^3 [/mm] + [mm] 4\blue{\int}x^{-3}\blue{dx}\blue{+C} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} x^3 [/mm] + 4* [mm] (-\bruch{1}{2}x^{-2})\blue{+C}= \bruch{1}{6} x^3- 2x^{-2}\blue{+C}= \bruch{1}{6}x^3-\bruch{2}{x^2}\blue{+C}\,,$$ [/mm]
oder so:
[mm] $$\blue{\int}\left(\bruch{x^2}{2} + \bruch{4}{x^3}\right)\blue{dx}= \bruch{1}{2}*\bruch{1}{3} x^3 \blue{+C_1}+ 4\blue{\int}x^{-3}\blue{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} x^3 \blue{+C_1}+ [/mm] 4* [mm] (-\bruch{1}{2}x^{-2})\blue{+C_2}= \bruch{1}{6} x^3- 2x^{-2}\blue{+C}= \bruch{1}{6}x^3-\bruch{2}{x^2}\blue{+C}\;\;\text{ mit }\;\;C=C_1+C_2\,.$$ [/mm]
In der ersten Version würde man halt die rechts stehende Funktion, die ja eigentlich durch $x [mm] \mapsto \bruch{1}{6} x^3- 2x^{-2}= \bruch{1}{6}x^3-\bruch{2}{x^2}$ [/mm] definiert ist, als "eine Stammfunktion" (oder ein Repräsentant der Klasse der Stammfunktionen) des (ganz links stehenden) Integranden bezeichnen, in der zweiten Fassung würde man die Integrationskonstante [mm] $C\,$ [/mm] auf den ganz links stehenden Integranden beziehen (d.h. [mm] $C\,$ [/mm] "braucht man" bzgl. [mm] $\int \left(\bruch{x^2}{2}+\frac{4}{x^3}\right)dx$), [/mm] und in der letzten Fassung bezieht sich die Integrationskonstante [mm] $C_1$ [/mm] auf $x [mm] \mapsto \bruch{x^2}{2}$ [/mm] und [mm] $C_2$ [/mm] auf $x [mm] \mapsto 4x^{-3}\,,$ [/mm] also [mm] $C\,$ [/mm] wegen der "Additionsregel für (endlich viele) Integrale" mit [mm] $C=C_1+C_2$ [/mm] wieder auf den ganz links stehenden Integranden. (Beachte:
1.) Der ganz links stehende Integrand ist die Funktion $x [mm] \mapsto \bruch{x^2}{2}+4x^{-3}\,.$
[/mm]
2.) Weil [mm] $C_1(x)\equiv C_1$ [/mm] konstante Funktion und [mm] $C_2(x)\equivC_2$ [/mm] konstante Funktion, ist auch [mm] $C(x):\equiv(C_1+C_2)(x):\equiv C_1(x)+C_2(x)\equiv C_1+C_2=C$ [/mm] konstante Funktion.)
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 So 05.09.2010 | | Autor: | Markus234 |
Danke für die ausführliche Hilfestellung 
Gruß Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Sa 04.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo erstmal danke für die motivierenden Vorschläge,
>
> f(x)= [mm]\integral_{}^{} n^2*x^n^-^1 dx=n^2 \integral_{}^{} x^n^-^1dx= n^2*\bruch{1}{n-1+1} x^n^-^1^+^1=n*x^n[/mm]
>
> falls bis hierhin alles richtig, verstehe ich denn letzten
> schritt allerdings nicht da ich nicht weiß wie man kürzen
> darf, ich denke jedoch man darf folgendes,
> -1+1 mit -1+1 im exponenten wegkürzen,
oh Gott, Du denkst kompliziert und falsch. Es ist doch ganz einfach [mm] $-1+1=0\,.$ [/mm] Ich schreib's nochmal ausführlicher:
[mm] $$f(x)=\integral_{}^{} n^2*x^n^-^1 dx=n^2 \integral_{}^{} x^n^-^1dx= n^2*\bruch{1}{n-1+1} x^{n\overbrace{\green{-1+1}}^{\green{=0}}}\blue{=\underbrace{\frac{n^2}{n}}_{=n}*x^{\overbrace{n+0}^{=n}}}=n*x^n$$
[/mm]
> n mit [mm]n^2[/mm]
> wegkürzen, sodass nur [mm]n*1x^n[/mm] bleibt, denke es ist irgendwo
> ein haken in meiner denkweise.
>
> f(x)= [mm]\bruch{x²}{2}[/mm] + [mm]\bruch{4}{x^3}= \integral_{}^{}+4^-^3dx[/mm]
>
> verstehe jedoch nicht (kann es auch nirgends finden) :-( ,
Was machst Du da?
[mm] $$\int \left(\frac{x^2}{2}+\frac{4}{x^3}\right)dx=\frac{1}{2}\int x^2dx+4\int \frac{1}{x^3}dx=\frac{1}{2}\int x^2dx+4\int x^{-3}dx$$
[/mm]
Kommst Du damit weiter?
Beste Grüße,
Marcel
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