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| Aufgabe | 1.) Ein Mann hat in ein Projekt investiert, welches die Möglichkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 bietet, seine Investitionen innerhalb eines Jahres zu verdoppeln und mit der Wahrscheinlichkeit von 0,2 zu halbieren. Was ist die Standardabweichung der erwarteten Rendite dieses Investments?
2.) Es gibt zwei risikobehaftete Assets (A und B) mit einer perfekten negativen Korrelation. A hat eine erwartete Rendite von 10% mit einer Standardabweichung von 16%. B hat eine erwartete Rendite von 8% mit einer Standardabweichung von 12%.
a.) Wie lautet die erwartete Rendite des Minimum-Varianz-Portfolios von A und B?
b.) Welches der Portfolios befindet sich auf dem effizienten Rand?
1.) 45 % in A und 55 % in B
2) 65 % in A und 35 % in B
3) 35 % in A und 65 % in B
4) 1 und 2 sind gleich effizient
5) Keines der genannten |
Hallo,
für Hinweise und Hilfestellungen, um bei den genannten Aufgaben weiterzukommen, wäre ich sehr dankbar :)
zu 1.)
Als Lösung ist folgendes angegeben:
0,8(1-0,7)²+0,2(-0,5-0,7)² = 0,36 = Varianz
Hierbei handelt es sich ja um die normale Varianzformel. Daraus wird dann noch die Wurzel gezogen und es ergibt sich somit eine Standardabweichung von 0,6
Hierbei ist mir nicht klar, wieso 1-0,7 gerechnet wird. 0,7 ist ja der Erwartungswert. Aber es geht ja darum, dass ich meine Investition verdoppeln kann. Müsste es daher nicht 2 anstatt 1 heißen? Denn weiterhin heißt es ja auch -0,5, weil ich ja die Hälfe meiner Investition auch verlieren kann. Ich gehe doch eigentlich davon aus, dass meine momentane Investition = 1 (100 Prozent) ist, der Verlust der Hälfe eben -0,5 und die Verdopplung doch 2?
Der Erwartungswert von 0,7 ergibt sich auch nur, in dem ich 0,8 * 1 + 0,2 * (-0,5) rechne. Also wird auch hier mit 1 statt 2 gerechnet. Wieso?
zu 2.)
Rendite des Minimum-Variance-Portfolios von A und B = 8,9%. Ich weiß leider gar nicht, wie ich darauf komme. Es wird ja nach dem Portfolio mit der minimalen Varianz, d.h. dem geringstmöglichen Risiko gefragt. Ich weiß leider nur nicht, welche Formel man darauf anwendet?
Auch zur zweiten Teilfrage weiß ich leider nicht, wie ich da beginne. Hat jemand einen Ansatz?
Vielen Dank vorab!
LG
Lilac
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1885476#post1885476
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Hallo LilacAngel,
> 1.) Ein Mann hat in ein Projekt investiert, welches die
> Möglichkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 bietet,
> seine Investitionen innerhalb eines Jahres zu verdoppeln
> und mit der Wahrscheinlichkeit von 0,2 zu halbieren. Was
> ist die Standardabweichung der erwarteten Rendite dieses
> Investments?
>
> Hallo,
>
> für Hinweise und Hilfestellungen, um bei den genannten
> Aufgaben weiterzukommen, wäre ich sehr dankbar :)
>
> zu 1.)
> Als Lösung ist folgendes angegeben:
> 0,8(1-0,7)²+0,2(-0,5-0,7)² = 0,36 = Varianz
>
> Hierbei handelt es sich ja um die normale Varianzformel.
> Daraus wird dann noch die Wurzel gezogen und es ergibt sich
> somit eine Standardabweichung von 0,6
>
> Hierbei ist mir nicht klar, wieso 1-0,7 gerechnet wird. 0,7
> ist ja der Erwartungswert. Aber es geht ja darum, dass ich
> meine Investition verdoppeln kann. Müsste es daher nicht 2
> anstatt 1 heißen? Denn weiterhin heißt es ja auch -0,5,
> weil ich ja die Hälfe meiner Investition auch verlieren
> kann. Ich gehe doch eigentlich davon aus, dass meine
> momentane Investition = 1 (100 Prozent) ist, der Verlust
> der Hälfe eben -0,5 und die Verdopplung doch 2?
>
> Der Erwartungswert von 0,7 ergibt sich auch nur, in dem ich
> 0,8 * 1 + 0,2 * (-0,5) rechne. Also wird auch hier mit 1
> statt 2 gerechnet. Wieso?
>
Es ist hier mit Gewinn/Verlust gerechnet worden.
Wenn die Investition verdoppelt wird,
dann hat der Mann einen Gewinn
in Höhe der Inverstition gemacht.
Wenn die Investition halbiert wird,
dann hat der Mann einen Verlust
in Höhe der halben Inverstition gemacht.
>
> Vielen Dank vorab!
>
> LG
> Lilac
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1885476#post1885476
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Di 25.02.2014 | | Autor: | LilacAngel |
Hallo MathePower,
super, jetzt habe ich diesen Teil auch verstanden! Vielen lieben Dank!
LG
LilacAngel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Mi 26.02.2014 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
zu Aufgabe 2.
Grundlage ist hier die Portfoliotheorie.
Schau Dir mal das Papier an:
http://www.wu.ac.at/fed/downloads/grundkurs_formelsammlung.pdf
Setzt man das Portfolio mit 1 an, ist die Gewichtung w jedes Assets 0,5. Dann beträgt die erwartete Rendite des bestehenden Portfolios
$ [mm] E[r_p]=0,5 \cdot [/mm] 10 + 0,5 [mm] \cdot [/mm] 8 =9 $, also 9%.
Das Minimum-Varianz-Portfolio soll das optimale Verhältnis der einzelnen Wertpapiere im Verhältnis zum Risiko (hier [mm] \sigma) [/mm] zeigen.
Dazu ist zuerst die Varianz des Portfolios unter Berücksichtigung der vorhandenen Korrelationen zu bestimmen; letztere ist hier gegeben mit $ [mm] \rho=-1$.
[/mm]
Für zwei Wertpapiere bestimmt man die Varianz mit
$ [mm] \sigma_p^2=w_1^2 \cdot \sigma_1^2 [/mm] + [mm] w_2^2 \cdot \sigma_2^2 [/mm] + 2 [mm] \cdot w_1\cdot w_2 \cdot \rho_{12}\cdot \sigma_1\cdot \sigma_2 [/mm] $
und vereinfacht bei [mm] \rho=-1
[/mm]
[mm] $\sigma_p^2=\left(w_1\cdot \sigma_1 -(1-w_1)\cdot \sigma_2\right)^2 [/mm] $ mit [mm] w_2=1-w_1.
[/mm]
Daraus kann [mm] w_1 [/mm] berechnet werden
$ [mm] w_1=\bruch{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2} [/mm] $.
(Alternativ ist auch die Berechnung aus der allgemeinen zuerst genannten Formel möglich. Dazu ist die erste Ableitung nach [mm] w_1 [/mm] zu bilden und diese Null zu setzen).
[mm] w_1, [/mm] also die Gewichtung des Assets A sollte 0,429 und [mm] w_2 [/mm] 0,571 betragen. Damit komme ich auf eine erwartete Portfoliorendite von gerundet 8,9%.
Betrachtet man die zu den Wertepaaren [mm] \sigma [/mm] und erwartete Rendite zugehörige Graphik, sollten sich die weiteren Fragen beantworten lassen, da hier gefragt ist nach dem effizienten Rand; d.h. dem Teil der Graphik zwischen den Minimal- und Maximalwerten von Rendite und Risiko.
Gruß
Staffan
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Hallo Staffan,
zunächst vielen Dank für deine Hilfe!
Auf die Lösung zu den optimalen Portfoilioanteilen bzw. der daraus resultierenden erwarteten Rendite bin ich nun auch selbst gekommen. Dazu habe ich allerdings eine andere Formel verwendet. Ich habe mir jetzt wirklich alle Mühe gegeben, diese hier auch durch Hilfe eurer Formeleingabehilfen darzustellen, bekomme das aber einfach nicht hin. Sorry, ich schreibe hier nicht sehr oft.
Ich habe folgende Formel verwendet: http://de.wikipedia.org/wiki/Portfoliotheorie#korrelierte_Wertpapiere
Mal eine blöde Frage dazu: Wieso kommt dort dasselbe heraus wie mit deiner Formel? Ist das im Grunde diesselbe Formel? Die von dir genutzte Formel ist wahrscheinlich nur ein Sonderfall, hier die perfekt negative Korrelation, und die von mir genutzte die allgemeine Formel, oder?
Zum effizienten Rand:
Ich habe nun jeweils die erwarteten Renditen sowie Standardabweichungen der Portfoliozusammensetzungen berechnet.
Für 1.) erwartete Rendite = 0,089 und Standardabweichung = 0,006
Für 2.) erwartete Rendite = 0,093 und Standardabweichung = 0,038
Für 3.) erwartete Rendite = 0,087 und Standardabweichung = 0,022
Alle drei habe ich nun im Mü-Sigma Diagramm abgetragen. Aber ich kann daraus keinen effizienten Rand erkennen? Die Lösung lautet ja, dass sowohl 1.) als auch 2.) effizient seien, d.h. doch beide müssten auf dem effizienten Rand liegen? Aber 1.) weicht mit einer niedrigen Standardabweichung sehr stark von den anderen ab, so dass ich es überhaupt nicht hinbekomme, dass 1.) einigermaßen auf einem effizienten Rand mit 2.) liegt.
Darüber hinaus liegt doch auch das Minimum-Varianz-Portfolio im Ursprung des effizienten Randes? Ich habe dafür eine Standardabweichung von 0,00044 errechnet (mit der normalen Formel der Varianz und den errechneten optimalen Gewichten), was wiederum sehr von den anderen eingezeichneten Werten abweicht. Kann das sein?
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar, vielleicht bekomme ich ja auch nur das einzeichnen nicht hin ;)
Danke
Lilac
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Do 27.02.2014 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
> Hallo Staffan,
>
> zunächst vielen Dank für deine Hilfe!
>
> Auf die Lösung zu den optimalen Portfoilioanteilen bzw.
> der daraus resultierenden erwarteten Rendite bin ich nun
> auch selbst gekommen. Dazu habe ich allerdings eine andere
> Formel verwendet. Ich habe mir jetzt wirklich alle Mühe
> gegeben, diese hier auch durch Hilfe eurer
> Formeleingabehilfen darzustellen, bekomme das aber einfach
> nicht hin. Sorry, ich schreibe hier nicht sehr oft.
>
> Ich habe folgende Formel verwendet:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Portfoliotheorie#korrelierte_Wertpapiere
>
> Mal eine blöde Frage dazu: Wieso kommt dort dasselbe
> heraus wie mit deiner Formel? Ist das im Grunde diesselbe
> Formel? Die von dir genutzte Formel ist wahrscheinlich nur
> ein Sonderfall, hier die perfekt negative Korrelation, und
> die von mir genutzte die allgemeine Formel, oder?
>
Das ist korrekt. Die bei Wikipedia genannte Formel findet sich in dem Papier, auf das ich verwiesen habe, auf S.13. Setzt man in der Ursprungsformel, die ich im letzten Post am Anfang wiedergegeben habe, [mm] \rho [/mm] = -1, erhält man einen Ausdruck, auf den man die binomische Formel zweiten Grades anwenden, das dann mit der Kettenregel nach [mm] w_1 [/mm] ableiten und Null setzen kann. Dann ergibt sich der "einfachere" Ausdruck. (Ich hatte aber auch zuerst mit der allgemeinen Formel gerechnet.)
> Zum effizienten Rand:
> Ich habe nun jeweils die erwarteten Renditen sowie
> Standardabweichungen der Portfoliozusammensetzungen
> berechnet.
> Für 1.) erwartete Rendite = 0,089 und Standardabweichung
> = 0,006
> Für 2.) erwartete Rendite = 0,093 und Standardabweichung
> = 0,038
> Für 3.) erwartete Rendite = 0,087 und Standardabweichung
> = 0,022
>
> Alle drei habe ich nun im Mü-Sigma Diagramm abgetragen.
> Aber ich kann daraus keinen effizienten Rand erkennen? Die
> Lösung lautet ja, dass sowohl 1.) als auch 2.) effizient
> seien, d.h. doch beide müssten auf dem effizienten Rand
> liegen? Aber 1.) weicht mit einer niedrigen
> Standardabweichung sehr stark von den anderen ab, so dass
> ich es überhaupt nicht hinbekomme, dass 1.) einigermaßen
> auf einem effizienten Rand mit 2.) liegt.
>
> Darüber hinaus liegt doch auch das
> Minimum-Varianz-Portfolio im Ursprung des effizienten
> Randes? Ich habe dafür eine Standardabweichung von 0,00044
> errechnet (mit der normalen Formel der Varianz und den
> errechneten optimalen Gewichten), was wiederum sehr von den
> anderen eingezeichneten Werten abweicht. Kann das sein?
>
> Für Hilfe wäre ich sehr dankbar, vielleicht bekomme ich
> ja auch nur das einzeichnen nicht hin ;)
>
> Danke
> Lilac
Ich komme bei der Berechnung mit A und B auf dieselben Werte in Prozent:
Anteil ER SD Anteil ER SD EPR SD P
Auf 0,50 10 16 0,50 8 12 9,00 2,00
MVP 0,43 10 16 0,57 8 12 8,86 0,00
1 P 0,45 10 16 0,55 8 12 8,90 0,60
2 P 0,65 10 16 0,35 8 12 9,30 6,20
3 P 0,35 10 16 0,65 8 12 8,70 2,20
Bei den Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) ist wegen der negativen Korrelation [mm] \sigma=0 [/mm] (der Traum des Portfoliomanagers - kein Risiko im Portfolio). Bildet man mit den Daten (EPR und SD P) das entsprechende Diagramm, hat man eine Gerade mit den Punkten von Auf(gabe) bis 2 und einen Knick nach unten bei 3. Die Gerade ist wiederum bedingt durch [mm] \rho=-1. [/mm] Der effiziente Rand liegt auf den Punkten Auf bis 2, letzte Punkt 3 liegt nicht mehr dort. Ich würde das damit erklären, daß rein rechnerisch der [mm] \sigma-Wert [/mm] zu 3 negativ ist, also die Gerade, wenn man nicht den Knick einfügt, nach links fortsetzt und die erwartete Portfoliorendite unter der des MVP liegt.
(Es gibt übrigens eine gute Anleitung im Forum dazu, wie man Formeln formatiert.)
Gruß
Staffan
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