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| Aufgabe | 12 Kinder wurden gefragt, wie viel Geld sie im Monat für Süßigkeiten ausgeben.
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Standardisieren Sie die Werte. |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
ich bin immer noch dabei, meine Vorlesung nachzubereiten, allerdings habe ich jetzt ein Problem mit meiner Übungsaufgabe.
Unsere Formel für die Standardisierung lautet
[mm] Z=\bruch{X-\mu}{kleines Sigma} [/mm] Für Z gilt: [mm] \mu=0, [/mm] σ=1
Wenn ich jetzt für X den ersten Wert einsetze, dann erhalte ich den gleichen Wert - und ich kann mir nicht vorstellen, dass das Zufall ist:
[mm] Z=\bruch{4-0}{1}=4
[/mm]
Ist die Formel falsch? Oder verwende ich die falsche Formel? Oder setze ich einfach nur falsch ein?
Ich bin gerade ein bisschen ratlos.
Liebe Grüße
Sarah 
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> 12 Kinder wurden gefragt, wie viel Geld sie im Monat für
> Süßigkeiten ausgeben.
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> Standardisieren Sie die Werte.
> Hallo Zusammen ,
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> ich bin immer noch dabei, meine Vorlesung nachzubereiten,
> allerdings habe ich jetzt ein Problem mit meiner
> Übungsaufgabe.
>
> Unsere Formel für die Standardisierung lautet
>
> [mm]Z=\bruch{X-\mu}{kleines Sigma}[/mm] Für Z gilt: [mm]\mu=0,[/mm] σ=1
>
> Wenn ich jetzt für X den ersten Wert einsetze, dann
> erhalte ich den gleichen Wert - und ich kann mir nicht
> vorstellen, dass das Zufall ist:
>
> [mm]Z=\bruch{4-0}{1}=4[/mm]
Das ist natürlich kein Zufall, für alle x ist [mm] \bruch{x-0}{1}=x
[/mm]
>
>
> Ist die Formel falsch? Oder verwende ich die falsche
> Formel? Oder setze ich einfach nur falsch ein?
>
> Ich bin gerade ein bisschen ratlos.
>
>
[mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] stehen für Mittelwert und Standardabweichung der betrachteten Stichprobe.
Diese musst du also erst ausrechnen, anstatt 0 und 1 zu nehmen.
>
> Liebe Grüße
>
> Sarah
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Hallo donquijote ,
also, ich habe gerechnet und hoffe, du kannst mal über meinen Lösungsweg schauen:
1.) Ausrechnen des Mittelwertes:
Median von [mm] \bruch{1}{2}*(\bruch{12}{2}+\bruch{12}{2+1})= [/mm] 5
2.) Standardabweichung:
zuerst die Varianz:
[mm] s^{2}_{x}=\bruch{1}{12}*(\bruch{(4-5)^{2}+(4-5)^{2}+(4-5)^{2}+(5-5)^{2}+(5-5)^{2}+(5-5)^{2}+(5-5)^{2}+(6-5)^{2}+(7-5)^{2}+(10-5)^{2}+(12-5)^{2}+(14-5)^{2}}{12})=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{12}*(\bruch{1+1+1+1+4+25+49+81}{12})=\bruch{163}{144} \cong [/mm] 1,132
Um jetzt die Standardabweichung zu erhalten, habe ich von [mm] \bruch{163}{144} [/mm] die Wurzel gezogen und erhalte: 1,064
Um jetzt die Zahlen zu standardisieren, setze ich ein:
[mm] Z=\bruch{4-5}{1,064} [/mm] = -0,940
Das ist jetzt nur für den ersten Wert. Wenn meine Rechnung richtig ist, dann schaffe ich den Rest selbst
Liebe Grüße
Sarah
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> Hallo donquijote ,
Hallo Sarah,
>
> also, ich habe gerechnet und hoffe, du kannst mal über
> meinen Lösungsweg schauen:
>
> 1.) Ausrechnen des Mittelwertes:
>
> Median von [mm]\bruch{1}{2}*(\bruch{12}{2}+\bruch{12}{2+1})=[/mm] 5
der Median ist nicht der Mittelwert. Es ist mir auch nicht ganz klar, was du da gerechnet hast.
Richtig wäre [mm] \bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+...+x_n)
[/mm]
>
> 2.) Standardabweichung:
>
> zuerst die Varianz:
>
> [mm]s^{2}_{x}=\bruch{1}{12}*(\bruch{(4-5)^{2}+(4-5)^{2}+(4-5)^{2}+(5-5)^{2}+(5-5)^{2}+(5-5)^{2}+(5-5)^{2}+(6-5)^{2}+(7-5)^{2}+(10-5)^{2}+(12-5)^{2}+(14-5)^{2}}{12})=[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{12}*(\bruch{1+1+1+1+4+25+49+81}{12})=\bruch{163}{144} \cong[/mm]
> 1,132
(Die Berechnung ist ok), allerdings mit dem falschen Mittelwert (s.o.)
Ich sehe gerade, hier hast du ja zweimal durch 12 geteilt. Das geht natürlich nicht.
Für die Stichprobenvarianz (falls ihr die in der Vorlesung definiert habt) müsstest du außerdem durch n-1 statt n teilen, also 1/11 statt 1/12.
>
> Um jetzt die Standardabweichung zu erhalten, habe ich von
> [mm]\bruch{163}{144}[/mm] die Wurzel gezogen und erhalte: 1,064
Vom Ansatz ok
>
> Um jetzt die Zahlen zu standardisieren, setze ich ein:
>
>
> [mm]Z=\bruch{4-5}{1,064}[/mm] = -0,940
Richtiges Vorgehen, nur Mittelwert und Standardabweichung müssen nochmal neu bestimmt werden.
>
> Das ist jetzt nur für den ersten Wert. Wenn meine Rechnung
> richtig ist, dann schaffe ich den Rest selbst
>
>
>
> Liebe Grüße
>
> Sarah
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Guten Morgen ,
danke für deine Antwort! Da ist ja einiges schief gelaufen...
> > Median von [mm]\bruch{1}{2}*(\bruch{12}{2}+\bruch{12}{2+1})=[/mm] 5
>
> der Median ist nicht der Mittelwert. Es ist mir auch nicht
> ganz klar, was du da gerechnet hast.
> Richtig wäre [mm]\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+...+x_n)[/mm]
Ah, okay, ich habe den Median mit dem arithmetischen Mittel verwechselt. Mist.
Aber mal angenommen, der Median wäre gefordert gewesen, habe ich alles richtig in die Formel eingesetzt? Deiner Antwort entnehme ich nein, deswegen schreibe ich dir mal kurz auf, wie wir den Median definiert haben:
Median von [mm] \bruch{1}{2}*(x_\bruch{n}{2}+x_{\bruch{n}{2+1}})
[/mm]
Da mir nicht klar ist, was beim Einsetzen falsch gelaufen ist, lasse ich das hier mal als eigenständige Frage und stelle meinen neuen Lösungsweg in einer weiteren Frage.
Liebe Grüße
Sarah
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> Guten Morgen ,
Guten Morgen zurück,
>
>
> danke für deine Antwort! Da ist ja einiges schief
> gelaufen...
>
>
> > > Median von [mm]\bruch{1}{2}*(\bruch{12}{2}+\bruch{12}{2+1})=[/mm] 5
> >
> > der Median ist nicht der Mittelwert. Es ist mir auch nicht
> > ganz klar, was du da gerechnet hast.
> > Richtig wäre [mm]\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+...+x_n)[/mm]
>
> Ah, okay, ich habe den Median mit dem arithmetischen Mittel
> verwechselt. Mist.
>
> Aber mal angenommen, der Median wäre gefordert gewesen,
> habe ich alles richtig in die Formel eingesetzt? Deiner
> Antwort entnehme ich nein, deswegen schreibe ich dir mal
> kurz auf, wie wir den Median definiert haben:
Der Median ist immer der Wert, der in der Mitte der (geordneten) Liste steht.
>
> Median von
> [mm]\bruch{1}{2}*(x_\bruch{n}{2}+x_{\bruch{n}{2+1}})[/mm]
Für gerades n ist die Formel [mm] \bruch{1}{2}*(x_\bruch{n}{2}+x_{\bruch{n}{2}+1}),
[/mm]
was mit n=12 [mm] \bruch{1}{2}*(x_6+x_7) [/mm] ergibt.
Der 6. und 7. Eintrag der Liste sind beide 5, also ist der Median = [mm] \bruch{1}{2}*(5+5) [/mm] = 5
(dein Ergebnis stimmt also, aber der Rechenweg überzeugt mich noch nicht)
>
>
> Da mir nicht klar ist, was beim Einsetzen falsch gelaufen
> ist, lasse ich das hier mal als eigenständige Frage und
> stelle meinen neuen Lösungsweg in einer weiteren Frage.
>
>
>
> Liebe Grüße
>
> Sarah
>
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Hallo donquijote ,
ich habe doch noch eine Frage zur Berechnung des Medians, bzw. zur Formel:
> > Median von
> > [mm]\bruch{1}{2}*(x_\bruch{n}{2}+x_{\bruch{n}{2+1}})[/mm]
>
> Für gerades n ist die Formel
> [mm]\bruch{1}{2}*(x_\bruch{n}{2}+x_{\bruch{n}{2}+1}),[/mm]
> was mit n=12 [mm]\bruch{1}{2}*(x_6+x_7)[/mm] ergibt.
> Der 6. und 7. Eintrag der Liste sind beide 5, also ist der
> Median = [mm]\bruch{1}{2}*(5+5)[/mm] = 5
> (dein Ergebnis stimmt also, aber der Rechenweg überzeugt
> mich noch nicht)
Ist meine Formel falsch? Ich habe ein paar Werte mit deiner Formel und mit meiner Formel gerechnet und komme immer auf das gleiche Ergebnis.
Wenn man deine Formel nimmt, dann muss man wissen, dass der Medien der Wert in der Mitte ist und sich somit "per Hand" ausrechnen, welche 2 Werte in der Mitte stehen (für gerades n). So wie du das gemacht hast [mm] (x_{6} [/mm] / [mm] x_{7} [/mm] )
Wenn ich nach meiner Formel gehe, dann kann ich diese Vorbetrachtung fallen lassen und einfach mein "n" in die Formel einsetzen.
Sind das 2 Möglichkeiten. um zum gleichen Ziel zu kommen? Ich kann mir nicht vorstellen, dass das Zufall ist, dass ich mit beiden Formeln 8x die gleichen Werte erhalten habe.
Liebe Grüße
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ist meine Formel falsch?
Ja.
[mm] $x_{\frac n2}$ [/mm] ist etwas völlig anderes als [mm] $\frac [/mm] n2$.
Mit Deiner Formel käme für
1, 2, 3, 4
(btw.:
[mm] $\frac 12(\frac [/mm] 42 + [mm] \frac [/mm] 43) = [mm] \frac [/mm] 53$
Median:
[mm] $\frac [/mm] 12 ( [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3) [/mm] = 2.5$
)
und
101, 102, 103, 104
ja genau das gleiche raus, weil nirgends einfließt, wie groß die Werte der Folge sind. Aber offensichtlicherweise haben die beiden Folgen unterschiedliche Mediane.
> Ich kann mir nicht vorstellen, dass das Zufall ist, dass ich mit beiden Formeln 8x die gleichen Werte erhalten habe.
Auf was hast Du's angewandt? Es wäre tatsächlich interessant, wenn Du durch Zufall 8 Folgen gefunden hast, wo bei Deiner Formel der richtige Median rauskommt (siehe oben, aber es funktioniert schon bei 1,2 nicht)
ciao
Stefan
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Guten Morgen die Zweite
Also, den Mittelwert habe ich bestimmt:
x quer = [mm] \bruch{1}{n}*(x_{1}+...x_{n})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{12}*(4+4+4+5+5+5+5+6+7+10+12+14)
[/mm]
= 6,75
Bei der Standardabweichung habe ich meine Probleme, weil ich nicht verstehe, wieso du
> Ich sehe gerade, hier hast du ja zweimal durch 12 geteilt.
> Das geht natürlich nicht.
> Für die Stichprobenvarianz (falls ihr die in der
> Vorlesung definiert habt) müsstest du außerdem durch n-1
> statt n teilen, also 1/11 statt 1/12.
auf n-1 kommt. Wir haben die Varianz so definiert:
[mm] s^{2}_{x}=\bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-xquer)^{2}
[/mm]
--> Wieso ich zweimal durch 12 geteilt habe, weiß ich gerade auch nicht.
Wenn ich das in die Formel so einsetze, wie ich sie aus dem Skript habe (nicht mit deiner n-1) erhalte ich folgendes:
[mm] s^{2}_{x}=\bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-xquer)^{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{12}*((4-6,75)^{2}+(4-6,75)^{2}+(4-6,75)^{2}+(5-6,75)^{2}+(5-6,75)^{2}+(5-6,75)^{2}+(5-6,75)^{2}+(6-6,75)^{2}+(7-6,75)^{2}(10-6,75)^{2}+(12-6,75)^{2}+(14-6,75)^{2})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{12}*(\bruch{121}{16}+\bruch{121}{16}+\bruch{121}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{9}{16}+\bruch{1}{16}+\bruch{169}{16}+\bruch{441}{16}+\bruch{841}{16})
[/mm]
= [mm] \bruch{263}{256} [/mm] --> daraus ziehe ich die Wurzel und erhalte
für [mm] s_{x}=1,014
[/mm]
Das setze ich dann in die Formel für die Standardisierung ein:
[mm] Z=\bruch{X-\mu}{kleines Sigma}
[/mm]
= [mm] \bruch{4-6,75}{1,014}=-2,712
[/mm]
Wenn das falsch ist, dann rechte ich das heute Mittag mal mit "n-1" aus....
Liebe Grüße & danke für die Antwort
Sarah
PS: Ach ja, ich weiß wieder, weshalb ich nochmal durch 12 geteilt habe - aufgrund dieser Homepage:
http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/bstat_01_07.htm
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> Guten Morgen die Zweite
>
>
> Also, den Mittelwert habe ich bestimmt:
>
>
> x quer = [mm]\bruch{1}{n}*(x_{1}+...x_{n})[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{12}*(4+4+4+5+5+5+5+6+7+10+12+14)[/mm]
> = 6,75
>
Das passt jetzt.
>
> Bei der Standardabweichung habe ich meine Probleme, weil
> ich nicht verstehe, wieso du
>
>
> > Ich sehe gerade, hier hast du ja zweimal durch 12 geteilt.
> > Das geht natürlich nicht.
> > Für die Stichprobenvarianz (falls ihr die in der
> > Vorlesung definiert habt) müsstest du außerdem durch n-1
> > statt n teilen, also 1/11 statt 1/12.
>
>
> auf n-1 kommt. Wir haben die Varianz so definiert:
>
> [mm]s^{2}_{x}=\bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-xquer)^{2}[/mm]
Dann ist das mit 1/12 ok so. Es gibt zwei verschiedene Ansätze, die Varianz einer Stichprobe zu bestimmen. Dazu siehe z.B.
http://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobenvarianz
>
> --> Wieso ich zweimal durch 12 geteilt habe, weiß ich
> gerade auch nicht.
Du hast gerechnet [mm] \frac{1}{12}*(\frac{...}{12}), [/mm] also steht die 12 zweimal im Nenner.
>
> Wenn ich das in die Formel so einsetze, wie ich sie aus dem
> Skript habe (nicht mit deiner n-1) erhalte ich folgendes:
>
> [mm]s^{2}_{x}=\bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-xquer)^{2}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{1}{12}*((4-6,75)^{2}+(4-6,75)^{2}+(4-6,75)^{2}+(5-6,75)^{2}+(5-6,75)^{2}+(5-6,75)^{2}+(5-6,75)^{2}+(6-6,75)^{2}+(7-6,75)^{2}(10-6,75)^{2}+(12-6,75)^{2}+(14-6,75)^{2})[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{1}{12}*(\bruch{121}{16}+\bruch{121}{16}+\bruch{121}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{9}{16}+\bruch{1}{16}+\bruch{169}{16}+\bruch{441}{16}+\bruch{841}{16})[/mm]
Das stimmt jetzt
>
> = [mm]\bruch{263}{256}[/mm]
Das Ergebnis kommt nicht hin, der Wert muss deutlich größer sein
> --> daraus ziehe ich die Wurzel und
> erhalte
>
> für [mm]s_{x}=1,014[/mm]
>
>
> Das setze ich dann in die Formel für die Standardisierung
> ein:
ja
>
> [mm]Z=\bruch{X-\mu}{kleines Sigma}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{4-6,75}{1,014}=-2,712[/mm]
>
>
>
> Wenn das falsch ist, dann rechte ich das heute Mittag mal
> mit "n-1" aus....
>
>
>
> Liebe Grüße & danke für die Antwort
>
> Sarah
>
>
>
> PS: Ach ja, ich weiß wieder, weshalb ich nochmal durch 12
> geteilt habe - aufgrund dieser Homepage:
>
> http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/bstat_01_07.htm
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Guten Abend ,
sorry, dass ich mich erst jetzt melde, aber ich musste bis eben arbeiten
Vielen Dank für deine Antwort, ich glaube, ich habe jetzt raus, wie das Standardisieren geht
> [mm]\bruch{1}{12}*(\bruch{121}{16}+\bruch{121}{16}+\bruch{121}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{9}{16}+\bruch{1}{16}+\bruch{169}{16}+\bruch{441}{16}+\bruch{841}{16})[/mm]
>
> Das stimmt jetzt
>
> >
> > = [mm]\bruch{263}{256}[/mm]
>
> Das Ergebnis kommt nicht hin, der Wert muss deutlich
> größer sein
[mm] s^{2}_{x}= \bruch{1579}{192} [/mm] = 8,224
Daraus die Wurzel ist: 2,868
> > Das setze ich dann in die Formel für die Standardisierung
> >
> > [mm]Z=\bruch{X-\mu}{kleines Sigma}[/mm]
= [mm]\bruch{4-6,75}{2,868}=-0,959[/mm]
Stimmt die Standardisierung für den ersten Wert?
Ich habe noch eine andere Übungsaufgabe, die probiere ich jetzt auch mal aus
Liebe Grüße & danke für deine Hilfe
Sarah
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> Guten Abend ,
>
Guten Abend!
>
> sorry, dass ich mich erst jetzt melde, aber ich musste bis
> eben arbeiten
>
> Vielen Dank für deine Antwort, ich glaube, ich habe jetzt
> raus, wie das Standardisieren geht
>
>
> >
> [mm]\bruch{1}{12}*(\bruch{121}{16}+\bruch{121}{16}+\bruch{121}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{49}{16}+\bruch{9}{16}+\bruch{1}{16}+\bruch{169}{16}+\bruch{441}{16}+\bruch{841}{16})[/mm]
> >
> > Das stimmt jetzt
> >
> > >
> > > = [mm]\bruch{263}{256}[/mm]
> >
> > Das Ergebnis kommt nicht hin, der Wert muss deutlich
> > größer sein
>
> [mm]s^{2}_{x}= \bruch{1579}{192}[/mm] = 8,224
Mein Computer kriegt hier [mm] \bruch{2020}{192}=10,52 [/mm] raus.
>
> Daraus die Wurzel ist: 2,868
bzw. 3,24
>
> > > Das setze ich dann in die Formel für die Standardisierung
>
> > >
> > > [mm]Z=\bruch{X-\mu}{kleines Sigma}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{4-6,75}{2,868}=-0,959[/mm]
>
>
> Stimmt die Standardisierung für den ersten Wert?
Bis auf den Nenner passt es.
>
> Ich habe noch eine andere Übungsaufgabe, die probiere ich
> jetzt auch mal aus
>
>
>
>
> Liebe Grüße & danke für deine Hilfe
>
> Sarah
>
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