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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Sa 02.06.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Eine Abfüllmaschine füllt ein bestimmtes Erzeugnis in Dosen. Das Nettogewicht (gemessen in g)
einer Dose sei eine normalverteilte Zufallsvariable X. Die Standardabweichung als Maß für die Präzision,
mit der die Maschine arbeitet, sei [mm] \sigma [/mm] = 8.
Auf welchen Mittelwert ist die Maschine einzustellen, wenn höchstens 5% aller Dosen weniger als 250 g
enthalten sollen? |
Hi Leute!
Ich weiß, dass so eine Standardnormalverteilung so angegeben wird: $X [mm] \sim N(\mu, \sigma^2)$ [/mm] mit [mm] $\sigma [/mm] = 8$ folgt: $X [mm] \sim N(\mu, 8^2)$
[/mm]
[mm] \mu [/mm] ist ja der Erwartungswert. Dieser berechnet sich laut meinen Unterlagen so: [mm] 4\operatorname{E}(X) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\ e^{-\frac 12 x^2}\mathrm [/mm] dx = 0,$
Dieser ist mir aber in der Aufgabe nicht gegeben. Wie kann ich den nun berechnen? Muss ich hier wirklich integrieren?
Weiter sind mir in der Angabe die Anzahl der Dosen (5%) die weniger als 250g enthalten dürfen, gegeben.
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> Eine Abfüllmaschine füllt ein bestimmtes Erzeugnis in
> Dosen. Das Nettogewicht (gemessen in g)
> einer Dose sei eine normalverteilte Zufallsvariable X. Die
> Standardabweichung als Maß für die Präzision,
> mit der die Maschine arbeitet, sei [mm]\sigma[/mm] = 8.
> Auf welchen Mittelwert ist die Maschine einzustellen, wenn
> höchstens 5% aller Dosen weniger als 250 g
> enthalten sollen?
> Hi Leute!
>
> Ich weiß, dass so eine Standardnormalverteilung so
> angegeben wird: [mm]X ~ N(\mu, \sigma^2)[/mm]
>
> [mm]\mu[/mm] ist ja der Erwartungswert. Dieser ist mir aber in der
> Aufgabe nicht gegeben. Wie kann ich den nun berechnen?
Hallo Bandchef,
da man davon ausgehen kann, dass die Abfüllmenge normal-
verteilt mit [mm] \sigma=8 [/mm] ist, muss der Mittelwert [mm] \mu [/mm] bestimmt
etwas über 250 liegen, vielleicht so bei 260. Lassen wir aber
vorläufig einfach mal [mm] \mu [/mm] für den einzustellenden Wert stehen.
Die Forderung, dass höchstens 5% der Dosen weniger
als 250g enthalten sollen, kann man so formulieren:
[mm] P(X<250)\le0.05
[/mm]
Dazu würde ich mir eine Skizze machen mit einem Nor-
malverteilungshügel, der an der (noch unbekannten)
Stelle [mm] \mu [/mm] zentriert ist und auf seiner linken Seite von
der vertikalen Linie x=250 geschnitten wird. Anschaulich
soll nun das Flächenstück zwischen x-Achse und Kurve
und links von der Schnittlinie einen Flächeninhalt von
höchstens 0.05 haben. Für den Grenzfall nehmen wir
natürlich gerade 0.05 als Flächenwert an. Mittels Tabelle
der Standard-Normalverteilung findet man nun heraus,
wie groß der Abstand zwischen der Schnittlinie und der
Symmetrieachse (bei [mm] x=\mu) [/mm] sein muss, im Vergleich
zur Standardabweichung [mm] \sigma.
[/mm]
Aus dieser Überlegung ergibt sich dann der mindest
erforderliche Wert für [mm] \mu.
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Sa 02.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Um diesen Abstand nun herauszufinden, muss ich wohl mit der [mm] $\Phi$-Funktion [/mm] arbeiten.
Diese lautet ja: [mm] $\Phi \left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$
[/mm]
Das [mm] \sigma [/mm] = 8 ist gegeben. [mm] \mu [/mm] = 0 wird wohl auch stimmen, da das als Ergebnis der Integration des Erwartungswertes in meinen Unterlagen angegeben wird. Was ist dann aber noch das X?
Ich denke ich muss das dann wohl so notieren:
$P(x < 250g) = 1-P(x [mm] \geq [/mm] 250g) [mm] \approx [/mm] 1 - [mm] \Phi \left(\frac{250 - 0}{8}\right) \approx 1-\Phi(31,25)$ [/mm] Diesen Wert gibt's auf meiner Tabelle gar nicht mehr... Wird wohl falsch sein.
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> Um diesen Abstand nun herauszufinden, muss ich wohl mit der
> [mm]\Phi[/mm]-Funktion arbeiten. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Diese lautet ja: [mm]\Phi \left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)[/mm]
>
> Das [mm]\sigma[/mm] = 8 ist gegeben. [mm]\mu[/mm] = 0 wird wohl auch stimmen, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nein, sicher nicht ! [mm] \mu [/mm] ist doch unser gesuchter Wert !
> da das als Ergebnis der Integration des Erwartungswertes in
> meinen Unterlagen angegeben wird. Was ist dann aber noch
> das X?
>
> Ich denke ich muss das dann wohl so notieren:
>
> [mm]P(x < 250g) = 1-P(x \geq 250g) \approx 1 - \Phi \left(\frac{250 - 0}{8}\right) \approx 1-\Phi(31,25)[/mm]
> Diesen Wert gibt's auf meiner Tabelle gar nicht mehr...
> Wird wohl falsch sein.
Setzen wir (wie üblich) [mm] z:=\frac{x - \mu}{\sigma}
[/mm]
Zuerst kann man jetzt den z-Wert suchen, für welchen [mm] \Phi(z)=0.05 [/mm] ist.
Wir brauchen also den Wert [mm] \Phi^{-1}(0.05) [/mm] .
Eine Tabelle liefert dafür den Zahlenwert z=-1.645 .
Nun kann man mittels der obigen Gleichung den dazu gehörigen
Wert von [mm] \mu [/mm] berechnen (indem man natürlich noch x=250 einsetzt).
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Sa 02.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Wenn nun [mm] $\Phi(z) [/mm] = 0,05$ und [mm] $\Phi^{-1}(0,05) [/mm] = ?$ ist, wie finde ich das dann in der Tabelle? Wenn ich in meiner Tabelle nach 0,05 suche finde ich nichts...
Ich muss da ja jetzt "in der anderen Richtungen" suchen (wie es eigentlich üblich ist), wenn du verstehst was ich meine? Der kleinste Wert beginnt bei 0,5. Oder muss ich etwa nach 1-0,05=0,95 suchen? Hier würde ich dann in meiner Tabelle einen deinem ähnlichen Wert finden, nämlich: +1,64. Meine Tabelle ist anscheinend weniger hoch "aufgelöst". Problem dabei ist nun, wie du auf das Minues als Vorzeichen kommst.
Wenn ich nun MEINEN abgelesenen Wert einsetze komm ich auf: [mm] $\mu=236,88$. [/mm] Wenn ich deinen (mit dem Minus vorn dran einsetze, komm ich auf 263,12 was mit deiner Aussage wieder übereinstimmt, dass der Mittelwert/Erwartungswert etwas über 250 sein sollte...
PS: Wie notiere ich das ganze jetzt richtig? Das fehlende Minus ist bei mir wohl ein Notationsfehler... Gehe ich richtig in der Annahme, dass hier in dieser Aufgabe mit Mittelwert der Erwartungswert gemeint wird?
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> Wenn nun [mm]\Phi(z) = 0,05[/mm] und [mm]\Phi^{-1}(0,05) = ?[/mm] ist, wie
> finde ich das dann in der Tabelle? Wenn ich in meiner
> Tabelle nach 0,05 suche finde ich nichts...
>
> Ich muss da ja jetzt "in der anderen Richtungen" suchen
> (wie es eigentlich üblich ist), wenn du verstehst was ich
> meine? Der kleinste Wert beginnt bei 0,5. Oder muss ich
> etwa nach 1-0,05=0,95 suchen? Hier würde ich dann in
> meiner Tabelle einen deinem ähnlichen Wert finden,
> nämlich: +1,64. Meine Tabelle ist anscheinend weniger hoch
> "aufgelöst". Problem dabei ist nun, wie du auf das Minues
> als Vorzeichen kommst.
>
> Wenn ich nun MEINEN abgelesenen Wert einsetze komm ich auf:
> [mm]\mu=236,88[/mm]. Wenn ich deinen (mit dem Minus vorn dran
> einsetze, komm ich auf 263,12 was mit deiner Aussage wieder
> übereinstimmt, dass der Mittelwert/Erwartungswert etwas
> über 250 sein sollte...
>
> PS: Wie notiere ich das ganze jetzt richtig? Das fehlende
> Minus ist bei mir wohl ein Notationsfehler... Gehe ich
> richtig in der Annahme, dass hier in dieser Aufgabe mit
> Mittelwert der Erwartungswert gemeint wird?
Ja, das "Problem" ist mir bekannt. Die üblichen Tabellen der
[mm] \Phi [/mm] -Funktion enthalten nur die Hälfte aller Daten, weil man den
Rest durch Symmetrieüberlegungen erschließen kann.
In früheren Zeiten, als es noch eine Rolle spielte, ob ein
Tabellenwerk z.B. nur zehn anstatt zwanzig Seiten voller
Zahlen haben musste, war das wichtig. Heute machen sich
manche Lehrer aber fast einen Spaß daraus, diese Art von
Tabellen als ein Lehrstück in Sachen Symmetrieüberlegungen
zu nutzen. Wenn dies dann aber in jeder einfachen Aufgabe
wieder durchexerziert werden muss, wird es irgendwie
langweilig.
Die Symmetrie des Graphen der [mm] \Phi [/mm] - Funktion kann man so aus-
drücken: ihr Graph ist punktsymmetrisch in Bezug auf den
Punkt (0|0.5) . Es gilt also: [mm] \Phi(-z)=1-\Phi(z)
[/mm]
Siehe ![[]](/images/popup.gif) Standardnormalverteilungs-Tabelle
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Sa 02.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Dieser Zusammenhang $ [mm] \Phi(-z)=1-\Phi(z) [/mm] $ ist mir klar, den haben wir schon gelernt.
Stimmt das dann so:
[mm] \Phi(z) [/mm] = [mm] \Phi(-0,05) [/mm] = 1 - [mm] \Phi(0,05)$
[/mm]
Jetzt hab ich aber immer noch das Problem, dass ich eben in meiner Tabelle keine Wert finde, der 0,05 entspricht!
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Hallo bandchef,
> Dieser Zusammenhang [mm]\Phi(-z)=1-\Phi(z)[/mm] ist mir klar, den
> haben wir schon gelernt.
>
> Stimmt das dann so:
>
> [mm]\Phi(z)[/mm] = [mm]\Phi(-0,05)[/mm] = 1 - [mm]\Phi(0,05)$[/mm]
>
Ja.
> Jetzt hab ich aber immer noch das Problem, dass ich eben in
> meiner Tabelle keine Wert finde, der 0,05 entspricht!
Du kannst doch zwischen bei bekannten Werten linear interpolieren.
Zum Vergleich: Tabelle - Standardnormalverteilung
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Sa 02.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Hm, ich glaube ich hab falsch gefragt:
Ich kann nur den gesuchten Wert (1,64) finden, wenn ich vorher 1-0,05 gerechnet habe, weil in meiner Tabelle der Wert 0,05 nicht auftaucht, sondern eben nur der 0,95 der dann eben mit 1,64 "verknüpft" ist. Und für dieses Vorgehen bringt mich auch der Zusammenhang $ [mm] \Phi(-z)=1-\Phi(z) [/mm] $ nicht weiter.
Und warum ich -1,64 schreiben muss, verstehe ich auch noch nicht. Kommt das durch die Aufgabenstellung?
Versteht ihr?
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> Hm, ich glaube ich hab falsch gefragt:
>
> Ich kann nur den gesuchten Wert (1,64) finden, wenn ich
> vorher 1-0,05 gerechnet habe, weil in meiner Tabelle der
> Wert 0,05 nicht auftaucht, sondern eben nur der 0,95 der
> dann eben mit 1,64 "verknüpft" ist. Und für dieses
> Vorgehen bringt mich auch der Zusammenhang
> [mm]\Phi(-z)=1-\Phi(z)[/mm] nicht weiter.
>
> Und warum ich -1,64 schreiben muss, verstehe ich auch noch
> nicht. Kommt das durch die Aufgabenstellung?
>
> Versteht ihr?
Siehe meine andere Antwort
LG Al-Chw.
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> Dieser Zusammenhang [mm]\Phi(-z)=1-\Phi(z)[/mm] ist mir klar, den
> haben wir schon gelernt.
>
> Stimmt das dann so:
>
> [mm]\Phi(z)[/mm] = [mm]\Phi(-0,05)[/mm] = 1 - [mm]\Phi(0,05)$[/mm]
Natürlich stimmt dies auch, aber es ist nicht das, was du
hier brauchst !
> Jetzt hab ich aber immer noch das Problem, dass ich eben in
> meiner Tabelle keine Wert finde, der 0,05 entspricht!
In der Tabelle hast du die Werte für [mm] \Phi(z), [/mm] und zwar nur die
mit [mm] z\ge0 [/mm] und demzufolge [mm] \Phi(z)\ge0.5 [/mm] .
Nun hast du aber die Gleichung [mm] \Phi(z)=0.05 [/mm] und suchst dazu
den passenden Wert z . Weil 0.05<0.5, muss das gesuchte z
offenbar eine negative Zahl sein.
In der Tabelle musst du nun nicht den Wert 0.05 suchen, sondern
den Wert 1-0.05=0.95. Es ergibt sich:
$\ 1-0.05\ =\ 0.95\ [mm] \approx\ \Phi(1.645)$ [/mm]
(letzte Dezimale durch Interpolation bestimmt)
Nach der Gleichung [mm]\Phi(-z)=1-\Phi(z)[/mm]
oder wenn du's lieber so willst: [mm]\Phi(z)=1-\Phi(-z)[/mm]
gilt dann auch:
$\ 0.05\ [mm] \approx\ \Phi(-1.645)$
[/mm]
was man auch so schreiben könnte:
$\ [mm] \Phi^{-1}(0.05)\ [/mm] =\ [mm] -\Phi^{-1}(1-0.05)\ [/mm] =\ [mm] -\Phi^{-1}(0.95)\ \approx\ [/mm] -1.645$
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 So 03.06.2012 | | Autor: | bandchef |
So ähnlich hab ich's "intuitiv" auch aufgeschrieben! ich hab's jetzt noch ein bisschen verbessert!
Danke!
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