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Hallo,
ich weiß wie man das Newtonverfahren anwendet und wie man vorzugehen hat. Mir ist jedoch nicht bewusst, welchen Startwert [mm] x_{0} [/mm] nehmen.
Z.B. habe ich die Funktion [mm] 2*u^{\bruch{7}{4}}-4u+1 [/mm] für [mm] u\in[0,4]
[/mm]
Ich habe durch einsetzen der vier Werte aus dem Definitionsbereich herausgefunden, dass die Funktion mindestens zwei Nullstellen hat ( Da die Funktion stetig ist und wir aus dem Zwischenwertsatz folgern können, dass die Funktion zwei Nullstellen bei [mm] u_{1}\in [/mm] (0,1) und [mm] u_{2}\in [/mm] (2,3) haben muss).
Da wir nun die zwei Intervalle haben kann ich theoretisch mit dem Newtonverfahren anfangen. Doch welchen Startwert nehme ich wenn ich die 1. Nullstelle berechnen möchte?
0 oder 1? Ist das willkürlich ?
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Mi 16.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo,
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> ich weiß wie man das Newtonverfahren anwendet und wie man
> vorzugehen hat. Mir ist jedoch nicht bewusst, welchen
> Startwert [mm]x_{0}[/mm] nehmen.
>
> Z.B. habe ich die Funktion [mm]2*u^{\bruch{7}{4}}-4u+1[/mm] für
> [mm]u\in[0,4][/mm]
>
> Ich habe durch einsetzen der vier Werte aus dem
> Definitionsbereich herausgefunden, dass die Funktion
? "der vier Werte" ? Ist der Wertebereich nicht eine Teilmenge von [mm] \IR? [/mm] Sonst hätte eine Nullstellensuche ja wenig Sinn.
> mindestens zwei Nullstellen hat ( Da die Funktion stetig
> ist und wir aus dem Zwischenwertsatz folgern können, dass
> die Funktion zwei Nullstellen bei [mm]u_{1}\in[/mm] (0,1) und
> [mm]u_{2}\in[/mm] (2,3) haben muss).
Besser als einzelne Werte einzusetzen und die Vorzeichenverteilung zu beobachten ist es bei derartigen numerischen Verfahren immer, eine Zeichnung anzufertigen. Ich würde sogar meinen, dass eine Zeichnung in solchen Fällen sogar Pflicht ist. Vor allem wenn man bedenkt, welche Hilfsmittel uns heutzutage zur Verfügung stehen - gut, vor dem Hintergrund ist das "händische" Durchspielen einer Newton-Approximation ohnedies hinterfragenswert. Aber auch und vor allem bei Benutzung von TRn mit Gleichungslöser oder CAS kann die Wichtigkeit einer Zeichnung nicht oft genug betont werden.
> Da wir nun die zwei Intervalle haben kann ich theoretisch
Warum glaubst du, dass es nur zwei Intervalle sind? Im zu betrachtenden Bereich könnten theoretisch weniger als zwei oder noch viel mehr Nullstellen vorhanden sein. Ein Vorzeichenwechsel muss nicht zwingend eine Nullstelle bedeuten (Unstetigkeitsstelle). Nur ganzzahlig Werte einzusetzen löst das Problem nicht wirklich. Nur weil das Vorzeichen von f(3) und f(4) gleich ist heißt das doch nicht zwingend, dass du dazwischen nicht noch zwei Nullstellen oder vl nur eine Nullstelle und einen Pol haben könntest. Eine Zeichnung kann hier sehr hilfreich sein.
In deinem Fall hast du aber Recht. Es gibt tatsächlich nur die beiden Nullstellen in den von dir angegebenen Bereichen.
> mit dem Newtonverfahren anfangen. Doch welchen Startwert
> nehme ich wenn ich die 1. Nullstelle berechnen möchte?
> 0 oder 1? Ist das willkürlich ?
Keine Garantie, dass du wirklich in jedem oder auch nur in einem dieser Fälle genau die Nullstelle zwischen 0 und 1 erhältst. Ja es gibt nicht einmal ein Garantie, dass das Verfahren für einen dieser Startwerte überhaupt konvergiert. Numerische Verfahren können ganz schön bösartig sein.
Das Beste ist wieder, eine Zeichnung anzufertigen, die gesuchte Nullstelle so gut es die Zeichnung erlaubt abzulesen und diesen Wert dann als Startwert zu benutzen.
Im gegenständlichen Fall kommt man so vielleicht auf die Startwerte 0,3 und 2,1.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 Mi 16.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo RMix,
> > mit dem Newtonverfahren anfangen. Doch welchen Startwert
> > nehme ich wenn ich die 1. Nullstelle berechnen möchte?
>
> > 0 oder 1? Ist das willkürlich ?
>
> Keine Garantie, dass du wirklich in jedem oder auch nur in
> einem dieser Fälle genau die Nullstelle zwischen 0 und 1
> erhältst. Ja es gibt nicht einmal ein Garantie, dass das
> Verfahren für einen dieser Startwerte überhaupt
> konvergiert.
Es gibt aber schon Sätze, die das zeigen. Unter gewissen
Voraussetzungen kann man zeigen, dass dann die Funktion
auf dem beobachtetem Intervall genau eine Nullstelle be-
sitzt und die Newton-Folge quadratisch dagegen konvergiert.
Bei konvexen Funktionen ist das alles natürlich schöner
und die anziehende Fixpunktmenge ist auch eine feine Sache.
Man müsste hier dann wohl erst zeigen, dass die Funktion
genau zwei Nullstellen besitzt und dann weiterarbeiten.
Gruß
DieAcht
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