Stat. Punkte & lok. Extrema < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Di 28.01.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle stationären Punkte der durch
f(x1; x2) = 8 ln(1 + [mm] x_1x_2) [/mm] - [mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_2)2 [/mm] für [mm] (x_1; x_2) \in R^2 [/mm] mit x1x2 > -1
de fenierten Funktion f und untersuchen Sie für jeden stationären Punkt, ob ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegt. |
Hi zusammen,
für die stationäre Punkte muss ich ja die erste Ableitung nach [mm] x_1 [/mm] & [mm] x_2 [/mm] berechnen. Ich bin mir nicht sicher ob ich das richtig gemacht habe.
[mm] D_1(x_1,x_2) [/mm] = [mm] x_2 [/mm] * 8 * [mm] \bruch{1}{ln(1+x_1x_2)} [/mm] - [mm] (2x_1 [/mm] + [mm] 2x_2)
[/mm]
erst habe ich [mm] "1+x_1x_2" [/mm] abgeleitet = [mm] x_2
[/mm]
die 8 bleibt unberührt
ln(x) wird zu 1/ln(x)
[mm] (x_1+x_2)^2 [/mm] = [mm] (x_1^2 [/mm] + [mm] 2x_1x_2 [/mm] + [mm] x_2^2) [/mm] abgeleitet [mm] 2x_1 [/mm] + [mm] 2x_2
[/mm]
[mm] D_2(x_1,x_2) [/mm] = [mm] x_1 [/mm] * 8 * [mm] \bruch{1}{ln(1+x_1x_2)} [/mm] - [mm] (2x_1 [/mm] + [mm] 2x_2)
[/mm]
bin hier oben schon vorgegeangen.
Ist das korrekt ?
Wenn ja muss ich ja [mm] D_1 [/mm] & [mm] D_2 [/mm] null setzen und [mm] x_1 [/mm] & [mm] x_2 [/mm] berechnen.
Die Werte setze ich dann wieder in die erste Ableitung ein und bekommen den zweiten Wert, woraus ein Punkt wird, bzw. Punkte.
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Hallo Bindl,
> Bestimmen Sie alle stationären Punkte der durch
> f(x1; x2) = 8 ln(1 + [mm]x_1x_2)[/mm] - [mm](x_1[/mm] + [mm]x_2)2[/mm] für [mm](x_1; x_2) \in R^2[/mm]
> mit x1x2 > -1
Ah, das ist kacke zu lesen. Mache doch bitte Indizes mit dem Unterstrich und Exponenten mit dem Dach ...
Ich nehme an, das heißt [mm] $f(x_1,x_2)=8\ln(1+x_1x_2)+(x_1+x_2)^2$
[/mm]
Klicke mal drauf!
> de fenierten
definiert
> Funktion f und untersuchen Sie für jeden
> stationären Punkt, ob ein lokales Maximum, ein lokales
> Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegt.
> Hi zusammen,
>
> für die stationäre Punkte muss ich ja die erste Ableitung
> nach [mm]x_1[/mm] & [mm]x_2[/mm] berechnen.
Jo
> Ich bin mir nicht sicher ob ich
> das richtig gemacht habe.
>
> [mm]D_1(x_1,x_2)[/mm] = [mm]x_2[/mm] * 8 * [mm]\bruch{1}{ln(1+x_1x_2)}[/mm] - [mm](2x_1[/mm] + [mm]2x_2)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> erst habe ich [mm]"1+x_1x_2"[/mm] abgeleitet = [mm]x_2[/mm]
> die 8 bleibt unberührt
> ln(x) wird zu 1/ln(x)
> [mm](x_1+x_2)^2[/mm] = [mm](x_1^2[/mm] + [mm]2x_1x_2[/mm] + [mm]x_2^2)[/mm] abgeleitet [mm]2x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm]
Oder per Potenzregel/Kettenregel [mm] $2(x_1+x_2)$
[/mm]
>
> [mm]D_2(x_1,x_2)[/mm] = [mm]x_1[/mm] * 8 * [mm]\bruch{1}{ln(1+x_1x_2)}[/mm] - [mm](2x_1[/mm] + [mm]2x_2)[/mm]
>
> bin hier oben schon vorgegeangen.
>
> Ist das korrekt ?
Ja, das sieht gut aus!
>
> Wenn ja muss ich ja [mm]D_1[/mm] & [mm]D_2[/mm] null setzen und [mm]x_1[/mm] & [mm]x_2[/mm]
> berechnen.
Jo, das sind die sog. stationären Punkte, an denen Extrema vorliegen können ...
> Die Werte setze ich dann wieder in die erste Ableitung ein
?? Hä? Verstehe ich nicht ...
> und bekommen den zweiten Wert, woraus ein Punkt wird, bzw.
> Punkte.
Der Sinn dieser Wortfetzen will sich mir nicht so recht erschließen ...
Kannst du das mal präzisieren und als Satz formulieren?!
Danke und Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Di 28.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
sorry für die schlecht dargestellte Aufgabe.
Wenn ich die beiden Ableitungen habe und nach [mm] x_1 [/mm] & [mm] x_2 [/mm] aufgelöst habe muss ich ja z.B. zu [mm] x_1 [/mm] noch den [mm] y_1 [/mm] Wert berechnen. Das mach ich doch dann indem ich den [mm] x_1 [/mm] Wert einsetze in eine der Ableitungen. Oder nicht ?
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> Hi,
>
> sorry für die schlecht dargestellte Aufgabe.
>
> Wenn ich die beiden Ableitungen habe und nach [mm]x_1[/mm] & [mm]x_2[/mm]
> aufgelöst habe muss ich ja z.B. zu [mm]x_1[/mm] noch den [mm]y_1[/mm] Wert
> berechnen. Das mach ich doch dann indem ich den [mm]x_1[/mm] Wert
> einsetze in eine der Ableitungen. Oder nicht ?
Hallo,
ich verstehe gar nicht richtig, wovon Du redest und was Du planst.
Statt eine Geschichte übers Rechnen zu lesen, wäre es viel schöner, Deine Rechnungen zu sehen.
Dann könnte man weiterhelfen. So stochert man im Nebel.
Ich stochere mal:
Wenn Du das Gleichungssystem gelöst hast, hast Du bei richtiger Rechnung die Stellen [mm] x=(x_1,x_2) [/mm] gefunden, an denen die Funktion f Extremwerte oder Sattelpunkte haben kann.
Wenn Du die Punkte des Graphen notieren möchtest, mußt Du
[mm] P(x_1|x_2|f(x_1,x_2)) [/mm] angeben.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ja ich schreibe das am besten mal auf was ich so habe.
[mm] f(x_1,x_2) [/mm] = 8 * ln(1 + [mm] x_1x_2) [/mm] - [mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_2)^2
[/mm]
Ableitungen:
[mm] D_1(x_1,x_2) [/mm] = [mm] \bruch{8x_2}{1 + x_1x_2} [/mm] - [mm] (2x_1 [/mm] + [mm] 2x_2) [/mm] (1)
[mm] D_2(x_1,x_2) [/mm] = [mm] \bruch{8x_1}{1 + x_2x_2} [/mm] - [mm] (2x_1 [/mm] + [mm] 2x_2) [/mm] (2)
Jetzt habe ich, nach Gauß, (1) + (2) in (2)
(1) bleibt gleich
(2) [mm] \bruch{8x_2 + 8x_1}{1 + x_1x_2} [/mm] = 0 -> [mm] x_2 [/mm] = [mm] -x_1 [/mm] (3)
(3) in (1) [mm] \bruch{-8x_1}{1 - x_1^2} [/mm] - [mm] (2x_1 [/mm] - [mm] 2x_1) [/mm] = 0
[mm] -8x_1 [/mm] = 0 -> [mm] x_1 [/mm] = 0 (4)
(4) in (3) [mm] x_2 [/mm] = 0
P(0|0|f(0,0))
Ist das soweit korrekt ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Mi 29.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> ja ich schreibe das am besten mal auf was ich so habe.
>
> [mm]f(x_1,x_2)[/mm] = 8 * ln(1 + [mm]x_1x_2)[/mm] - [mm](x_1[/mm] + [mm]x_2)^2[/mm]
>
> Ableitungen:
> [mm]D_1(x_1,x_2)[/mm] = [mm]\bruch{8x_2}{1 + x_1x_2}[/mm] - [mm](2x_1[/mm] + [mm]2x_2)[/mm]
> (1)
> [mm]D_2(x_1,x_2)[/mm] = [mm]\bruch{8x_1}{1 + x_2x_2}[/mm] - [mm](2x_1[/mm] + [mm]2x_2)[/mm]
> (2)
>
> Jetzt habe ich, nach Gauß, (1) + (2) in (2)
> (1) bleibt gleich
> (2) [mm]\bruch{8x_2 + 8x_1}{1 + x_1x_2}[/mm] = 0
Das stimmt aber nicht !!
Rechne nochmal nach.
FRED
-> [mm]x_2[/mm] =
> [mm]-x_1[/mm] (3)
> (3) in (1) [mm]\bruch{-8x_1}{1 - x_1^2}[/mm] - [mm](2x_1[/mm] - [mm]2x_1)[/mm] = 0
> [mm]-8x_1[/mm] = 0 -> [mm]x_1[/mm] = 0 (4)
> (4) in (3) [mm]x_2[/mm] = 0
>
> P(0|0|f(0,0))
>
> Ist das soweit korrekt ?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich glaube ich muss (1) - (2) rechnen.
(1) bleibt gleich
(2) [mm] \bruch{8x_2 - 8x_1}{1 + x_1x_2} [/mm] = 0 -> [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_1 [/mm] (3)
(3) in (1) [mm] \bruch{8x_1}{1 + x_1^2} [/mm] - [mm] (4x_1) [/mm] = 0
[mm] 8x_1 [/mm] = [mm] 4x_1 [/mm] + [mm] 4x_1^2
[/mm]
[mm] 4x_1 [/mm] = [mm] 4x_1^3
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] x_1^3
[/mm]
das jedoch kommt mir noch spanischer vor. Was habe ich jetzt schon wieder falsch gemacht ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Mi 29.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> ich glaube ich muss (1) - (2) rechnen.
> (1) bleibt gleich
> (2) [mm]\bruch{8x_2 - 8x_1}{1 + x_1x_2}[/mm] = 0 -> [mm]x_2[/mm] = [mm]x_1[/mm]
> (3)
> (3) in (1) [mm]\bruch{8x_1}{1 + x_1^2}[/mm] - [mm](4x_1)[/mm] = 0
> [mm]8x_1[/mm] = [mm]4x_1[/mm] + [mm]4x_1^2[/mm]
> [mm]4x_1[/mm] = [mm]4x_1^3[/mm]
> [mm]x_1[/mm] = [mm]x_1^3[/mm]
>
> das jedoch kommt mir noch spanischer vor. Was habe ich
> jetzt schon wieder falsch gemacht ?
Nix. Aus [mm] x_1=x_^3 [/mm] folgt: [mm] x_1=0 [/mm] oder [mm] x_1=1 [/mm] oder [mm] x_1=-1
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ja das macht Sinn. Hätte cih selbst mal drauf kommen können.
Jetzt muss ich ja die zweiten Ableitungen machen.
Ich habe dazu eine Frage. Ich nehme mal [mm] D_1^2(x_1,x_2)
[/mm]
Ich habe ja bei [mm] D_1 [/mm] einen Bruch [mm] "\bruch{8x_2}{1 + x_1x_2}"
[/mm]
Muss ich jetzt die Quotientenregel anwenden ? Dann würde ich doch aber auch [mm] x_2 [/mm] ableiten und nicht nur [mm] x_2.
[/mm]
Oder lass ich [mm] 8x_2 [/mm] stehen und leite den Bruch ab wie "1/x" ?
Oder wird der Bruch einfach zu [mm] \bruch{8x_2}{x_2} [/mm] ? Also leite ich einfach nur [mm] x_1 [/mm] ab und missachte das es ein Bruch ist.
Was davon ist denn nun korrekt?
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> Hi,
> ja das macht Sinn. Hätte cih selbst mal drauf kommen
> können.
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> Jetzt muss ich ja die zweiten Ableitungen machen.
> Ich habe dazu eine Frage. Ich nehme mal [mm]D_1^2(x_1,x_2)[/mm]
> Ich habe ja bei [mm]D_1[/mm] einen Bruch [mm]"\bruch{8x_2}{1 + x_1x_2}"[/mm]
>
> Muss ich jetzt die Quotientenregel anwenden ?
Hallo,
Du "mußt" nicht, aber Du kannst.
Wenn Du [mm] 8x^2 [/mm] nach [mm] x_1 [/mm] ableitest, ergibt das 0.
Du kannst ja mal, um Dich an den eigenen Haaren aus dem Sumpf zu ziehen, [mm] \bruch{8*13}{1 + x_1*13} [/mm] nach [mm] x_1 [/mm] ableiten.
> Oder lass ich [mm]8x_2[/mm] stehen und leite den Bruch ab wie "1/x"
> ?
Du kannst [mm] 8x_2 [/mm] beim Ableiten nach [mm] x_1 [/mm] als konstanten Faktor betrachten, dann "wie 1/x" ableiten - darfst aber nicht ie Kettenregel vergessen!
>
> Oder wird der Bruch einfach zu [mm]\bruch{8x_2}{x_2}[/mm] ?
> Also
> leite ich einfach nur [mm]x_1[/mm] ab und missachte das es ein Bruch
> ist.
Das wäre eine schlechte Idee. Sie folgt selbstausgedachten Regeln...
>
> Was davon ist denn nun korrekt?
Die ersten beiden Vorgehensweisen, sofern Du sie korrekt umsetzt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Bindl |
So, ich habe ich mich mal an die Quotientenregel gewagt.
[mm] D_1^2(x_1,x_2) [/mm] = [mm] \bruch{0 * (1+x_1x_2) - (8x_2)(x_2)}{(1+x_1x_2)^2} [/mm] - 2 [mm] =\bruch{-8x_2^2}{(1+x_1x_2)^2} [/mm] - 2
[mm] D_2^2(x_1,x_2) [/mm] = [mm] \bruch{-8x_1^2}{(1+x_1x_2)^2} [/mm] - 2
Ich komme um ehrlich zu sein mit der Definition im unserem Skript nicht wirklich zurecht, also habe ich mir Beispiel und Erklärungen im Netz angesehen.
Dort steht das nur [mm] D_1^2 [/mm] verwenden muss, wenn ich das richtig verstanden habe.
[mm] D_1^2(0,0) [/mm] = -2 <0 deswegen liegt ein Maximum vor
[mm] D_1^2(1,1) [/mm] = 0 bedeutet das, das hier ein Sattelpunkt vorliegt ?
[mm] D_1^2(-1,-1) [/mm] = 0 bedeutet das, das hier ein Sattelpunkt vorliegt ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Kann mir jemand bei meiner Aufgabe helfen ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Mi 29.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Bindl!
> So, ich habe ich mich mal an die Quotientenregel gewagt.
>
> [mm]D_1^2(x_1,x_2)[/mm] = [mm]\bruch{0 * (1+x_1x_2) - (8x_2)(x_2)}{(1+x_1x_2)^2}[/mm]
> - 2 [mm]=\bruch{-8x_2^2}{(1+x_1x_2)^2}[/mm] - 2
Wenn du mit [mm] D^2_1 [/mm] meinst, dass du [mm] $D_1$ [/mm] nach [mm] $x_1$ [/mm] abgeleitet hast, dann stimmt das!
> [mm]D_2^2(x_1,x_2)[/mm] = [mm]\bruch{-8x_1^2}{(1+x_1x_2)^2}[/mm] - 2
Wenn du mit [mm] D^2_2 [/mm] meinst, dass du [mm] $D_2$ [/mm] nach [mm] $x_2$ [/mm] abgeleitet hast, dann stimmt das!
Diese Schreibweise verstehe wer will, ich verstehe sie nicht!
> Ich komme um ehrlich zu sein mit der Definition im unserem
> Skript nicht wirklich zurecht, also habe ich mir Beispiel
> und Erklärungen im Netz angesehen.
> Dort steht das nur [mm]D_1^2[/mm] verwenden muss, wenn ich das
> richtig verstanden habe.
> [mm]D_1^2(0,0)[/mm] = -2 <0 deswegen liegt ein Maximum vor
> [mm]D_1^2(1,1)[/mm] = 0 bedeutet das, das hier ein Sattelpunkt
> vorliegt ?
> [mm]D_1^2(-1,-1)[/mm] = 0 bedeutet das, das hier ein Sattelpunkt
> vorliegt ?
Deine Werte Stimmen.
Du kannst nicht einfach Definitionen und Sätze aus dem Internet benutzen!
Es gibt Sätze, die müsst ihr erst bewiesen haben,
damit du sie benutzen darfst!
Was habt ihr definiert und welche Sätze dazu?
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Di 28.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Mein Vorredner hat nicht genau hingesehen !
Die Ableitung von ln(x) ist nicht 1/ln(x), sondern 1/x.
FRED
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Oha, in der Tat.
Das ist mir komplett durchgegangen ...
Ich Blindfisch ...
Danke FRED fürs Uffpasse!
Gruß
schachuzipus
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