Stationäre Punkte finden < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 So 31.01.2016 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Betrachten Sie folgendes Maximierungsproblem:
[mm] \max_{x,y,z} [/mm] f = max [mm] x^{2} [/mm] + yx + z
u.d.N. x + y = 1
[mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] = 2
Berechnen Sie die stationären Punkte der Lagrangefunktion. |
Hallo,
Die Lagrangefunktion lautet:
L = [mm] x^{2} [/mm] + yx+ z - [mm] \lambda(x [/mm] + y - 1) - [mm] \mu(y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] - 2)
Die ersten Ableitungen:
[mm] L_{x} [/mm] = 2x + y - [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] L_{y} [/mm] = x - [mm] \lambda [/mm] - [mm] 2*\mu*y [/mm] = 0
[mm] L_{z} [/mm] = 1 - [mm] 2*\mu*z [/mm] = 0
[mm] L_{\lambda} [/mm] = -x - y + 1 = 0
[mm] L_{\mu} [/mm] = [mm] -y^2 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] + 2 = 0
Gibt es hier eine simple Strategie, nach der man die stationären Punkte finden kann? Bei einer Nebenbedingung habe ich bisher immer [mm] L_{x} [/mm] und [mm] L_{y} [/mm] nach
[mm] \lambda [/mm] aufgelöst, gleichgesetzt und dann mithilfe von [mm] L_{\lambda} [/mm] x oder y herausbekommen. Aber bei zwei Nebenbedingungen und 3 Variablen erscheint mir das hier doch etwas komplizierter...
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 So 31.01.2016 | | Autor: | abakus |
5 Gleichungen, 5 Unbekannte - ist doch alles bestens.
Mein Tipp: Beginne damit, die erste und die vierte Gleichung zu addieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 So 31.01.2016 | | Autor: | Mathics |
Danke für den Tipp :)
Ich hab' jetzt mal so gerechnet:
[mm] L_{x} +L_{y}= [/mm] 2x + y - [mm] \lambda [/mm] - x - y + 1 = 0
= x - [mm] \lambda [/mm] + 1 = 0
= x + 1 = [mm] \lambda
[/mm]
[mm] L_{y} [/mm] = x - [mm] \lambda [/mm] - [mm] 2*\mu*y [/mm] = 0
= [mm] \bruch{x - \lambda}{y} [/mm] = [mm] 2*\mu
[/mm]
[mm] L_{z}= [/mm] 1 - [mm] 2*\mu*z [/mm] = 0
= [mm] \bruch{1}{z} [/mm] = [mm] 2*\mu
[/mm]
[mm] L_{y} [/mm] = [mm] L_{z}
[/mm]
[mm] \bruch{x -\lambda}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
[mm] \bruch{x - x - 1}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
[mm] \bruch{-1}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
- z = y
z = - y
[mm] L_{\mu} [/mm] = - [mm] y^2 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] = 0
= - [mm] y^2 [/mm] - [mm] (-y)^2 [/mm] + 2 = 0
= - [mm] y^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] + 2 = 0
= [mm] -2y^2 [/mm] = -2
= [mm] y^2 [/mm] = 1
= y = +/- 1
Durch Einsetzen erhält man dann:
(x=0 , y=1 , z=-1 , [mm] \lambda [/mm] = 1 , [mm] \mu [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2})
[/mm]
(x=2 , y=-1 , z=1 , [mm] \lambda [/mm] = 3 , [mm] \mu [/mm] = [mm] \bruch{1}{2})
[/mm]
Hätte ich noch etwas einfacher machen können?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Di 02.02.2016 | | Autor: | meili |
Hallo Mathics,
[mm] $L_{\lambda}$ [/mm] umformen zu: x = 1-y
Dies einsetzen in [mm] $L_x$ [/mm] gibt: [mm] $\lambda$ [/mm] = 2-y
x und [mm] $\lambda$ [/mm] ersetzen in [mm] $L_y$, [/mm] nach [mm] $\mu$ [/mm] auflösen: [mm] $\mu [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2y}$
[/mm]
[mm] $L_z$ [/mm] nach [mm] $\mu$ [/mm] auflösen: [mm] $\mu [/mm] = [mm] \bruch{1}{2z}$
[/mm]
Gleichsetzen ergibt: z = -y
z in [mm] $L_{\mu}$ [/mm] einsetzen und y berechnen.
Dann wieder rückeinsetzen.
Ob es wirklich einfacher ist?
Gruß
meili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:31 Mo 01.02.2016 | | Autor: | fred97 |
Wirf y doch raus ! Aus x + y = 1 folgt y=1-x
Damit ist [mm] f_0(x,z)=x+z [/mm] zu maximieren nter der NB
[mm] (x-1)^2+z^2=2.
[/mm]
Du wirst sehen: so gehts viel einfacher.
FRED
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