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| Aufgabe | Sei [mm] f(x,y)=3x^{2}-xy+2y^{2}+\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y
[/mm]
Zeigen Sie , dass [mm] z\*=\pmat{ 0 \\ 0 } [/mm] ein stabiler stationärer Punkt von z'=-gradient f(z) , [mm] z(0)=z_{0} [/mm] , [mm] z=\pmat{ x(t) \\ y(t) } [/mm] ist (dieser ist sogar der einzige). |
Hallo,
ich brauche eine kleine Idee wie ich anfangen könnte.
Danke vielmals.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f(x,y)=3x^{2}-xy+2y^{2}+\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm]
>
> Zeigen Sie , dass [mm]z\*=\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm] ein stabiler
> stationärer Punkt von z'=-gradient f(z) , [mm]z(0)=z_{0}[/mm] ,
> [mm]z=\pmat{ x(t) \\ y(t) }[/mm] ist (dieser ist sogar der
> einzige).
> Hallo,
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> ich brauche eine kleine Idee wie ich anfangen könnte.
ich würde so anfangen: Definitionen raussuchen und aufschreiben. Mach das mal.
FRED
>
> Danke vielmals.
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Ist [mm] f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y [/mm] nach x abgeleitet folgendes:
[mm] f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Fr 14.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> folgendes:
>
> [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm] ?
Nein. leite mal zunächst [mm] (sin(x))^2 [/mm] nach x ab .
FRED
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> > Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> > folgendes:
> >
> > [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm] ?
>
> Nein. leite mal zunächst [mm](sin(x))^2[/mm] nach x ab .
also [mm](sin(x))^2[/mm]=-2cos(x)
korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Fr 14.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> > > folgendes:
> > >
> > > [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm] ?
> >
> > Nein. leite mal zunächst [mm](sin(x))^2[/mm] nach x ab .
>
> also [mm](sin(x))^2[/mm]=-2cos(x)
>
> korrekt?
Nein. Für die Ableitung von [mm] (sin(x))^2 [/mm] bemühe die Produktregel oder die Kettenregel und stochere nicht im Nebel. Mathematik ist kein heiteres Funktionenraten.
FRED
>
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> > > > Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> > > > folgendes:
> > > >
> > > > [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm] ?
> > >
> > > Nein. leite mal zunächst [mm](sin(x))^2[/mm] nach x ab .
> >
> > also [mm](sin(x))^2[/mm]=-2cos(x)
> >
> > korrekt?
>
> Nein. Für die Ableitung von [mm](sin(x))^2[/mm] bemühe die
> Produktregel oder die Kettenregel und stochere nicht im
> Nebel. Mathematik ist kein heiteres Funktionenraten.
>
ich war mir nicht sicher, ob dieser trick klappt. normalerweise macht man es doch so,dass man den Exponenten runterschreibt und den Exponenten danach um eins erniedrigt:
[mm] sin^{2}(x)=2sin(x)
[/mm]
als nächstes leitet man die innere funktion ab, die ja x ist:
2*sin(x)=2*sin(x)*1
und so kam ich auf das ergebnis, was ja falsch ist...hmmm...
naja, dann mache ich es eben auf die billige art:
[mm] f(x)=sin^{2}(x)=sin(x)*sin(x)
[/mm]
f'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)=2sin(x)cos(x)
korrekt?^^
wie würde ich es den ableiten wenn ich [mm] sin^{5}(x) [/mm] hätte?
P.S.: Fred just chill, man. ich hoffe, dass du kein lehrer bist ;)
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Hallo monstre,
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> ich war mir nicht sicher, ob dieser trick klappt.
> normalerweise macht man es doch so,dass man den Exponenten
> runterschreibt und den Exponenten danach um eins
> erniedrigt:
> [mm]sin^{2}(x)=2sin(x)[/mm]
> als nächstes leitet man die innere funktion ab, die ja x
> ist: ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die innere Funktion ist doch wohl [mm] $\sin(x)$ [/mm] !!!
Es ist - wie Fred schon schrieb und wie du fortwährend geschmeidig ignorierst - [mm] $\sin^2(x)=\left[\sin(x)\right]^2$
[/mm]
Äußere Funktion [mm] $y^2$, [/mm] innere [mm] $\sin(x)$
[/mm]
> 2*sin(x)=2*sin(x)*1
> und so kam ich auf das ergebnis, was ja falsch
> ist...hmmm...
Warum wohl?
>
> naja, dann mache ich es eben auf die billige art:
>
> [mm]f(x)=sin^{2}(x)=sin(x)*sin(x)[/mm]
>
> f'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)=2sin(x)cos(x)
>
> korrekt?^^ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Vergleiche mal mit dem Ergebnis, das du bei richtiger Anwendung der Kettenregel erhältst ...
>
> wie würde ich es den ableiten wenn ich [mm]sin^{5}(x)[/mm] hätte?
Umschreiben und Kettenregel: [mm] $g(x)=\sin^5(x)=\left[\sin(x)\right]^5$
[/mm]
Also [mm] $g'(x)=\underbrace{5\cdot{}\left[\sin(x)\right]^{5-1}}_{\text{innere Abl.}}\cdot{}\underbrace{\cos(x)}_{\text{innere Abl.}}$
[/mm]
>
>
> P.S.: Fred just chill, man. ich hoffe, dass du kein lehrer
> bist ;)
Wer wollte das heutzutage noch sein??
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Fr 14.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo monstre,
>
>
>
> >
> > ich war mir nicht sicher, ob dieser trick klappt.
> > normalerweise macht man es doch so,dass man den Exponenten
> > runterschreibt und den Exponenten danach um eins
> > erniedrigt:
> > [mm]sin^{2}(x)=2sin(x)[/mm]
> > als nächstes leitet man die innere funktion ab, die ja
> x
> > ist:
>
> Die innere Funktion ist doch wohl [mm]\sin(x)[/mm] !!!
>
> Es ist - wie Fred schon schrieb und wie du fortwährend
> geschmeidig ignorierst - [mm]\sin^2(x)=\left[\sin(x)\right]^2[/mm]
>
> Äußere Funktion [mm]y^2[/mm], innere [mm]\sin(x)[/mm]
>
> > 2*sin(x)=2*sin(x)*1
> > und so kam ich auf das ergebnis, was ja falsch
> > ist...hmmm...
>
> Warum wohl?
>
> >
> > naja, dann mache ich es eben auf die billige art:
> >
> > [mm]f(x)=sin^{2}(x)=sin(x)*sin(x)[/mm]
> >
> > f'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)=2sin(x)cos(x)
> >
> > korrekt?^^
>
> Vergleiche mal mit dem Ergebnis, das du bei richtiger
> Anwendung der Kettenregel erhältst ...
>
> >
> > wie würde ich es den ableiten wenn ich [mm]sin^{5}(x)[/mm] hätte?
>
> Umschreiben und Kettenregel:
> [mm]g(x)=\sin^5(x)=\left[\sin(x)\right]^5[/mm]
>
> Also
> [mm]g'(x)=\underbrace{5\cdot{}\left[\sin(x)\right]^{5-1}}_{\text{innere Abl.}}\cdot{}\underbrace{\cos(x)}_{\text{innere Abl.}}[/mm]
>
> >
> >
> > P.S.: Fred just chill, man. ich hoffe, dass du kein lehrer
> > bist ;)
>
> Wer wollte das heutzutage noch sein??
Ich kenne viele, die es werden wollen ...
FRED
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Fr 14.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> > > > > folgendes:
> > > > >
> > > > > [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm] ?
> > > >
> > > > Nein. leite mal zunächst [mm](sin(x))^2[/mm] nach x ab .
> > >
> > > also [mm](sin(x))^2[/mm]=-2cos(x)
> > >
> > > korrekt?
> >
> > Nein. Für die Ableitung von [mm](sin(x))^2[/mm] bemühe die
> > Produktregel oder die Kettenregel und stochere nicht im
> > Nebel. Mathematik ist kein heiteres Funktionenraten.
> >
>
> ich war mir nicht sicher, ob dieser trick klappt.
> normalerweise macht man es doch so,dass man den Exponenten
> runterschreibt und den Exponenten danach um eins
> erniedrigt:
> [mm]sin^{2}(x)=2sin(x)[/mm]
> als nächstes leitet man die innere funktion ab, die ja x
> ist:
> 2*sin(x)=2*sin(x)*1
> und so kam ich auf das ergebnis, was ja falsch
> ist...hmmm...
>
> naja, dann mache ich es eben auf die billige art:
>
> [mm]f(x)=sin^{2}(x)=sin(x)*sin(x)[/mm]
>
> f'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)=2sin(x)cos(x)
>
> korrekt?^^
>
> wie würde ich es den ableiten wenn ich [mm]sin^{5}(x)[/mm] hätte?
>
>
> P.S.: Fred just chill, man.
........... man spricht deutsch .... ??
> ich hoffe, dass du kein lehrer
> bist ;)
ich bin Hochschullehrer, Pech gehabt.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Fr 14.01.2011 | | Autor: | monstre123 |
> > > > > > Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> > > > > > folgendes:
> > > > > >
> > > > > > [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm] ?
> > > > >
> > > > > Nein. leite mal zunächst [mm](sin(x))^2[/mm] nach x ab .
> > > >
> > > > also [mm](sin(x))^2[/mm]=-2cos(x)
> > > >
> > > > korrekt?
> > >
> > > Nein. Für die Ableitung von [mm](sin(x))^2[/mm] bemühe die
> > > Produktregel oder die Kettenregel und stochere nicht im
> > > Nebel. Mathematik ist kein heiteres Funktionenraten.
> > >
> >
> > ich war mir nicht sicher, ob dieser trick klappt.
> > normalerweise macht man es doch so,dass man den Exponenten
> > runterschreibt und den Exponenten danach um eins
> > erniedrigt:
> > [mm]sin^{2}(x)=2sin(x)[/mm]
> > als nächstes leitet man die innere funktion ab, die ja
> x
> > ist:
> > 2*sin(x)=2*sin(x)*1
> > und so kam ich auf das ergebnis, was ja falsch
> > ist...hmmm...
> >
> > naja, dann mache ich es eben auf die billige art:
> >
> > [mm]f(x)=sin^{2}(x)=sin(x)*sin(x)[/mm]
> >
> > f'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)=2sin(x)cos(x)
> >
> > korrekt?^^
> >
> > wie würde ich es den ableiten wenn ich [mm]sin^{5}(x)[/mm] hätte?
> >
> >
> > P.S.: Fred just chill, man.
>
> ........... man spricht deutsch .... ??
>
> > ich hoffe, dass du kein lehrer
> > bist ;)
>
> ich bin Hochschullehrer, Pech gehabt.
ist ja der hammer, hätte ich im traum nicht gedacht^^
>
> FRED
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