Statisch unbestimmtes System < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für den unten dargestellten Balken bestimme man die Auflagerreaktionen.
![[]](/images/popup.gif) das system
Gegeben: F, a, EI |
Wie Löse ich die Aufgabe?
Ich kann die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen, aber dann habe ich immer noch mehr unbekannte als Gleichungen.
Das heißt ich muss weitere Gleichungen, aber welche weitere Gleichungen kann ich noch aufstellen?
|
|
| |
|
Was bedeutet EI? Irgendein Elastizitätsmodul?
Ich gehe mal davon aus, dass A fest und B und C "beweglich" sind (die Abstände in der Zeichnung lassen darauf schließen).
Dann teilen sich B und C die Belastung "irgendwie" auf, je nach dem, wie weit die Pfeiler Unterstützung durch den Untergrund finden.
Hebelgesetz mit Drehpunkt A:
Rechtsdrehendes Moment durch F: [mm] M_R [/mm] = 1,5*F*a
Linksdrehendes Moment durch B: [mm] M_L [/mm] (B) = 0,5* [mm] F_B [/mm] *a
Linksdrehendes Moment durch C: [mm] M_L [/mm] (C)=3,5* [mm] F_C [/mm] *a
Somit: 1,5*F*a = 0,5* [mm] F_B [/mm] *a + 3,5* [mm] F_C [/mm] *a
oder
3*F = [mm] F_B [/mm] + 7* [mm] F_C
[/mm]
Dabei bleibt unbekannt, wie sich B und C den Wert aufteilen.
A wird nun - je nachdem, ob und wie es von B Unterstützt wird, mehr oder weniger be- (oder sogar ent-)lastet.
Nimmt man mal C als fest an (nachdem sich das System eingespielt hat), so erhält man mit C als Drehpunkt:
Hebelgesetz mit Drehpunkt C:
Linksdrehendes Moment durch F: [mm] M_R [/mm] = 2*F*a
Rechtsdrehendes Moment durch B: [mm] M_L [/mm] (B) = 3* [mm] F_B [/mm] *a
Rechtsdrehendes Moment durch A: [mm] M_L [/mm] (A)=3,5* [mm] F_A [/mm] *a
und somit
2*F*a = 3* [mm] F_B [/mm] *a + 3,5* [mm] F_A [/mm] *a
also 4*F = 6* [mm] F_B [/mm] + 7* [mm] F_A [/mm]
Wir haben also 2 Gleichungen
0 [mm] F_A [/mm] + 1* [mm] F_B [/mm] + 7* [mm] F_C [/mm] = 3*F
7* [mm] F_A [/mm] + 6* [mm] F_B [/mm] + 0* [mm] F_C [/mm] = 4*F
mit 3 unbekannten Belastungen.
Hängt z.B. C in der Luft (unbelastet), also [mm] F_C [/mm] = 0, so erhält man [mm] F_B [/mm] = 3*F und [mm] F_A [/mm] = -2*F
Addiert man die beiden Gleichungen, so erhält man
7* [mm] F_A [/mm] + 7* [mm] F_B [/mm] + 7* [mm] F_C [/mm] = 7*F oder
[mm] F_A [/mm] + [mm] F_B [/mm] + [mm] F_C [/mm] = F, also alle 3 Träger tragen die Last F.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Was bedeutet EI? Irgendein Elastizitätsmodul?
E ist das Elastizitätsmodul des Balkens und I das Flächenträgheitsmoment. Zusammen ergibt EI die Biegesteifigkeit des Balkens.
Da EI gegeben ist, gehe ich davon aus das man hier mit der Biegelinie arbeiten muss, um zur Lösung zu gelangen
|
|
|
| |
|
Wenn B und C zwei Träger sind, von denen man die Belastung nicht kennt, gilt meine Rechnung.
Wenn die Belastung bei beiden gleich sein soll, setzt man [mm] F_B [/mm] = [mm] F_C [/mm] und kann auch meine Rechnung wählen.
Wenn von A, B oder C nur 2 belastet werden sollen, kann man auch meine Rechnung wählen.
Was soll also überhaupt mittels der Biegesteifigkeit berechnet werden? Der Durchhang ohne Belastung in B und C?
|
|
|
| |
|
Hallo,
mein Ansatz wäre das Superposition-Verfahren (Überlagerungsverfahren)
ich würde das System in 2 Teile aufteilen, so wie im folgenden Bild
superposition
hier gilt nun z.B. [mm] A=A_1+A_2
[/mm]
das gleiche gilt für die Biegung [mm] w(x)=w_F(x)+w_B(x)
[/mm]
für x=a/2 gilt
[mm] w(\bruch{a}{2})=0=w_F(\bruch{a}{2})+w_B(\bruch{a}{2})
[/mm]
Aus dieser gleichung kann man (meines wissens nach) die Lagerreaktion B bestimmen.
Wenn ich B berechnet habe, dann habe ich nur noch 3 Unbekannte lagerreaktionen, die ich aus den 3 Gleichgewichtsbedingungen bestimmen kann
ich rechne das später durch und nenne dann mein ergebnis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:21 Fr 31.07.2015 | | Autor: | Rebellismus |
Die Frage oben kann als beantwortet markeirt werden.
Ich teile das System in 2 Teile auf:
Superposition
Es gilt
[mm] w(x)=w_F(x)+w_B(x)
[/mm]
[mm] w(\bruch{a}{2})=w_F(\bruch{a}{2})+w_B(\bruch{a}{2})=0
[/mm]
Ich muss also [mm] w_F(x) [/mm] und [mm] w_B(x) [/mm] bestimmen:
Es gilt:
[mm] EIw_F''''(x)=q(x)=0
[/mm]
[mm] EIw_F'''(x)=-Q(x)=C_1+F^0
[/mm]
[mm] EIw_F''(x)=-M(x)=C_1*x+C_2+F^1
[/mm]
[mm] EIw_F'(x)=\bruch{1}{2}C_1*x^2+C_2*x+C_3+\bruch{1}{2}F^2
[/mm]
[mm] EIw_F(x)=\bruch{1}{6}C_1*x^3+\bruch{1}{2}C_2*x^2+C_3*x+C_4+\bruch{1}{6}F^3
[/mm]
Aus den 4 Randbedingungen:
[mm] -M(x=0)=0=C_2
[/mm]
[mm] -M(x=\bruch{7a}{2})=0
[/mm]
[mm] EIw_F(0)=0
[/mm]
[mm] EIw_F(x=\bruch{7a}{2})=0
[/mm]
folgt:
[mm] C_1=-\bruch{4}{7}F
[/mm]
[mm] C_2=0
[/mm]
[mm] C_3=\bruch{11}{14}Fa^2
[/mm]
[mm] C_4=0
[/mm]
Daraus folgt
[mm] EIw_F(x)=-\bruch{2}{21}Fx^3+\bruch{11}{14}Fa^2*x+\bruch{1}{6}F^3
[/mm]
[mm] w_F(\bruch{a}{2})=\bruch{8}{21EI}Fa^3
[/mm]
Für [mm] w_B(\bruch{a}{2}) [/mm] erspare ich mir die rechnung und schreibe einfach die Lösung auf:
[mm] w_B(\bruch{a}{2})=-\bruch{3}{14EI}B*a^3
[/mm]
Daraus folgt nun:
[mm] w_F(\bruch{a}{2})+w_B(\bruch{a}{2})=0=\bruch{8}{21EI}Fa^3-\bruch{3}{14EI}B*a^3
[/mm]
[mm] B=\bruch{16}{9}F
[/mm]
die restlichen Lagerreaktionen kann ich aus dem Gleichgewichtsbedingung bestimmen.
Die Frage ist nur, stimmt meine Lösung?
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Frage hat sich mittlerweile erledigt. Meine Lösung ist richtig
|
|
|
|
