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Statistik 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:35 So 06.06.2004
Autor: phymastudi

Hallo.

Hier hab ich echt Ansatzschwierigkeiten. Das ist echt schon höhere Mathematik. Kann mir jemand helfen??

Berechnen Sie den Mittelwert <x> und die Varianz <(x-<x>)²> der Poissonverteilung
                                     P(x)= (e-mü*müx)/ x!

Hinweis: Nutzen Sie dabei die momentan-erzeugende Funktion
  
                G(t) = Summe etx*P(x),
mit der gilt:

               <x> = (dG(t=0))/dt    und    
               <x> = (d²G(t=0))/dt²

Bitte helft mir weiter!!!                                              

        
Bezug
Statistik 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 So 06.06.2004
Autor: Stefan

Lieber Björn!

Die Poisson-Verteilung nimmt Werte in der Menge [mm] $\IN_0$ [/mm] der natürlichen Zahlen mit $0$ an. Ist $X$ Poisson-verteilt mit Parameter [mm] $\mu>0$, [/mm] so gilt für alle $k [mm] \in \IN_0$: [/mm]

$P(X=k) = [mm] e^{-\mu} \cdot \frac{\mu^k}{k!}$. [/mm]

Nun gilt für die erzeugende Funktion [mm] $G_X(t)$ [/mm] von $X$:

(1) [mm] $G_X(t) [/mm] = [mm] E[e^{tX}]$. [/mm]

Aus der erzeugenden Funktion können wir den Erwartungswert $E[X]$ und die Varianz $Var[X]$ wie folgt zurückgewinnen:

(2) $E[X] = [mm] \frac{dG}{dt} \vert_{t =0}$, [/mm]

(3) [mm] $E[X^2] [/mm] = [mm] \frac{d^2G}{dt^2}\vert_{t=0}$. [/mm]

(4) $Var[X] = [mm] E[X^2] [/mm] - [mm] (E[X])^2$. [/mm]

So, nun berechnen wir zunächst einmal (1):

[mm]G_X(t) = E[e^{tX}][/mm]

[mm]= \sum\limits_{k=}^{\infty} e^{tk} \cdot e^{-\mu} \cdot \frac{\mu^k}{k!}[/mm]

[mm]= e^{-\mu} \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} e^{tk} \cdot \frac{\mu^k}{k!}[/mm]

[mm]= e^{-\mu} \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(e^t \mu)^k}{k!}[/mm]

[mm]=e^{-\mu} \cdot e^{e^t\mu}[/mm]

[mm]=e^{\mu \cdot (e^t-1)}[/mm].

Gut, nun ist der Rest einfach:

Du musst nur [mm] $G_X(t)$ [/mm] zweimal ableiten, dann in die beiden Ableitungen $t=0$ einsetzen und dann die Beziehungen (2)-(4) aunutzen, um den Erwartungswert und die Varianz von $X$ auszurechnen.

Melde dich bitte mit einem Lösungsvorschlag oder weiteren Fragen. :-)

Liebe Grüße
Stefan


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Statistik 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 So 06.06.2004
Autor: phymastudi

sind die Ableitungen:
G'(t)= t*emü(t*et-1)
G''(t)=t²*emü*(t²*et-1)
???


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Statistik 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:06 So 06.06.2004
Autor: Stefan

Lieber Björn!

> sind die Ableitungen:
> G'(t)= t*emü(t*et-1)
>  G''(t)=t²*emü*(t²*et-1)
>  ???

Nein. Wie kommst du z.B. auf das $t$ am Amfang? Kannst du sie mir mal Schritt für Schritt vorrechnen, dann sage ich dir, wo dein Fehler liegt. :-)

Liebe Grüße
Stefan



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Statistik 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:17 So 06.06.2004
Autor: phymastudi

ok, in Ableitunge war ich nie der Hit.

Ich dachte: Ich muss nach t ableiten.
Gegeben ist G(t)= e-mü* e mü*e^t
die Ableitung von et ist doch t* et oder??

und daher komm ich darauf.

Bezug
                                        
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Statistik 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:49 Mo 07.06.2004
Autor: Stefan

Lieber Björn!

> ok, in Ableitunge war ich nie der Hit.

Hmmmh... [verwirrt]

> Ich dachte: Ich muss nach t ableiten.

Das stimmt ja auch.

> Gegeben ist G(t)= e-mü* e mü*e^t
>  die Ableitung von et ist doch t* et
> oder??

Nein. Die Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder die Exponentialfunktion. Wenn du damit Probleme hast, musst du die aber dringend aufarbeiten.

Es gilt:

[mm]E[X] = \frac{dG}{dt}\vert_{t=0} = \left[\mu e^t \cdot e^{\mu \cdot (e^t-1)} \right] \, \big\vert_{t=0} =\mu[/mm],

[mm]E[X^2] = \frac{d^2 G}{dt^2}\vert_{t=0} = \left[\mu e^t \cdot e^{\mu(e^t-1)} + \left(\mu e^t\right)^2 e^{\mu (e^t-1)} \right] \, \big\vert_{t=0} = \mu + \mu^2[/mm]

und damit:

[mm]Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \mu + \mu^2 - \mu^2 = \mu[/mm].

Liebe Grüße
Stefan  


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