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Statistische Tests mit Würfeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Do 01.10.2015
Autor: JoOtt

Aufgabe
Ein Würfel wird 10 mal geworfen, dabei treten die Ergebnisse 1, ..., 5 jeweils einmal, das Ergebnis "6" 5 mal auf. Ist dieser Würfel fair? Verwende verschiedene Teststatistiken

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, die Frage habe ich mir selbst gestellt, da ich in 2 Wochen Staatsexamen in Mathe, darunter eben auch Stochastik mache und ich weiß, dass mein Prüfer gerne realistische Beispiele verwendet.

Meine erste Wahl einer Statistik wäre der [mm] \chi^2 [/mm] Test mit n=10, k=6 bzw [mm] n_1=...=n_5=1, n_6=5, [/mm] bei dem ich am Ende herausbekommen würde, dass [mm] \chi^2=5*\bruch{(1-\bruch{5}{3})^2}{\bruch{5}{3}}+\bruch{(5-\bruch{5}{3})^2}{\bruch{5}{3}}=57 [/mm] ergibt und der Verwerfungsbereich [mm] K\approx[5+2\sqrt{10}, \infty) [/mm] ist, somit würde gelten [mm] \chi^2 \in [/mm] K und somit wird [mm] H_0 [/mm] verworfen und der Würfel ist (wahrscheinlich) nicht fair. Ist das soweit richtig?

Als weiteren Ansatz könnte ich mir auch die Binomialverteilung vorstellen, mit [mm] H_0: p=\bruch{1}{6} [/mm] und [mm] H_A>\bruch{1}{6}. [/mm] Meine Teststatistik T wäre dann ja [mm] Bin(10,\bruch{1}{6}) [/mm] verteilt und für den Verwerfungsbereich muss ich mir anschauen, für welche T [mm] H_A [/mm] zum Signifikanzniveau [mm] \alpha=5% [/mm] verworfen wird. Dazu schaue ich mir an, wie viele P[T=k] ich aufaddieren kann, sodass [mm] \summe [/mm] P[T=k] < [mm] \alpha [/mm] gilt. Dabei komme ich dann darauf, dass [mm] P[T\ge4]<\alpha [/mm] und mit meiner Beobachtung k=5 gilt auch hier, dass mein [mm] T\in [/mm] K und daher [mm] H_0 [/mm] verworfen wird, also der Würfel (wahrscheinlich) nicht fair ist.

Habe ich diese Rechnungen richtig durchgeführt und sind noch andere Tests sinnvoll für diese Fragestellung (Ich kenne noch Poisson-, z-, t-, Wilcoxon und Vorzeichentest)?

Vielen Dank, auch gerne nur für eine kurze Bestätigung, dass mein Gedankengang soweit richtig war :)

        
Bezug
Statistische Tests mit Würfeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Fr 02.10.2015
Autor: luis52

Moin JoOtt, [willkommenmr]

>  Hallo, die Frage habe ich mir selbst gestellt, da ich in 2
> Wochen Staatsexamen in Mathe, darunter eben auch Stochastik
> mache und ich weiß, dass mein Prüfer gerne realistische
> Beispiele verwendet.

Naja ...

>
> Meine erste Wahl einer Statistik wäre der [mm]\chi^2[/mm] Test mit
> n=10, k=6 bzw [mm]n_1=...=n_5=1, n_6=5,[/mm] bei dem ich am Ende
> herausbekommen würde, dass
> [mm]\chi^2=5*\bruch{(1-\bruch{5}{3})^2}{\bruch{5}{3}}+\bruch{(5-\bruch{5}{3})^2}{\bruch{5}{3}}=57[/mm]
> ergibt und der Verwerfungsbereich [mm]K\approx[5+2\sqrt{10}, \infty)[/mm]
> ist, somit würde gelten [mm]\chi^2 \in[/mm] K und somit wird [mm]H_0[/mm]
> verworfen und der Würfel ist (wahrscheinlich) nicht fair.
> Ist das soweit richtig?

Vermutlich nicht. Bedenke: Die Pruefgroesse ist diskret verteilt, ihre Verteilung wird durch eine stetige Verteilung approximiert. Diese gilt als kaum verwendbar in Faellen wie in deinem Beispiel.

>  
> Als weiteren Ansatz könnte ich mir auch die
> Binomialverteilung vorstellen, mit [mm]H_0: p=\bruch{1}{6}[/mm] und
> [mm]H_A>\bruch{1}{6}.[/mm] Meine Teststatistik T wäre dann ja
> [mm]Bin(10,\bruch{1}{6})[/mm] verteilt und für den
> Verwerfungsbereich muss ich mir anschauen, für welche T
> [mm]H_A[/mm] zum Signifikanzniveau [mm]\alpha=5%[/mm] verworfen wird. Dazu
> schaue ich mir an, wie viele P[T=k] ich aufaddieren kann,
> sodass [mm]\summe[/mm] P[T=k] < [mm]\alpha[/mm] gilt. Dabei komme ich dann
> darauf, dass [mm]P[T\ge4]<\alpha[/mm] und mit meiner Beobachtung k=5
> gilt auch hier, dass mein [mm]T\in[/mm] K und daher [mm]H_0[/mm] verworfen
> wird, also der Würfel (wahrscheinlich) nicht fair ist.

[ok] Sehr viel besser.

>  
> Habe ich diese Rechnungen richtig durchgeführt und sind
> noch andere Tests sinnvoll für diese Fragestellung (Ich
> kenne noch Poisson-, z-, t-, Wilcoxon und Vorzeichentest)?

Hier nicht anwendbar.


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