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| Aufgabe | Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades, sodass für den Graphen gilt:
P(2 | 3) ist Punkt des Graphen, 1 ist relative Extremstelle und 1,5 ist Wendestelle. |
Hallo Leute,
ich habe mal eine Frage zur obigen Aufgabe. Da es eine Funktion dritten Grades ist, brauche ich 4 Bedingungen um die 4 Variabeln lösen zu können, oder?
Ich finde allerdings keine 4. Bedingung. Ich habe 3 Bedingungen herausfinden können:
f(2) = 3
f'(1) = 0
f''(1,5) = 0
Meine Funktionsgleichung heißt: [mm] ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
Würde mich über eure Hilfe freuen!
Lieben Gruß
Steffi
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Hallo, deine Ansatz ist ok, bilde jetzt die 1. und 2. Ableitung, setze dann die entsprechenden Bedingungen in die jeweiligen Gleichungen ein, es wird mehrere mögliche Funktionen geben, Steffi
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Das habe ich bereits getan, allerdings komme ich immer noch nicht weiter? Mal sehen:
f(2) = 3
8a + 4b + 2c + d = 3
f'(1) = 0
3a + 2b + c = 0
f''(1,5) = 0
9a + 2b = 0
Wie ergeben sich jetzt mehrere mögliche Funktionen??
Was ich gemacht habe, ist z.B. d = 3 - 2a, c = 6a, b = - 9/2 a zu bestimmen, und dann in die Gleichungen einzusetzen. Allerdings bringt es mir ja nich so viel, da ich keine Lösungen der Variabeln habe!
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Hallo, alles korrekt, du sollst ja EINE Funktion finden, setzen wir z.B. a als frei wählbaren Parameter, ungleich Null, sonst ist es keine Funktion 3. Grades mehr, nehmen wir mal a=1, somit b=-4,5, c=6 und d=1, ebenso könntest du a=2 wählen, oder, oder, oder,
Steffi
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Willst du damit sagen es gibt für a unendliche viele Lösungen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Do 23.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
[/mm]
jetzt verdoppeln wir mal a,b,c und d, dann strecken wir doch die Funktion vertikal. Extrema und Wendepunkte etc. ändern sich nicht, das ganze wird nur gestreckt.
So sieht man's vielleicht einfacher:
[mm] $f_2(x)=2ax^3+2bx^2+2cx+2d=2(ax^3+bx^2+cx+d)$
[/mm]
[mm] $f_2$ [/mm] ist die gleiche Funktion wie vorher, nur zum Schluß wird alles verdoppelt.
Das geht nun nicht mehr durch (2;3), aber wir können ja einfach alles verdoppeln wie hier, und dann so lange an d rumfummeln (also Parallelverschiebung nach oben oder unten, was die Gestalt von $f$ nicht beeinflußt) bis die Funktion wieder durch (2;3) geht.
Das funktioniert mit allen Faktoren >0 und <0 (bei <0 wird gespiegelt, aber es wird ja nirgends gesagt ob das Extremum Maximum oder Minimum sein soll).
ciao
Stefan
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Hallo, kurz und bündig: JA, es gibt also unendlich viele Funktionen, Steffi
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