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Steckbriefaufgabe Parameter: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:16 Mi 24.01.2018
Autor: Mathilda1

Aufgabe
Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad 3, deren Graph durch die angegebenen Punkte geht.
A(1;0)
B(0;2)
C(-2;2)

Ich habe jetzt eine Matrix aufgestellt und diese in meinen GTR eingegeben, dabei habe ich auch eine Lösung erhalten. Leider ist diese falsch, da die "richtige" Lösung nur mit Parametern und ohne Zahlen sein soll:
Das ist diese Lösung:
f(x) = [mm] ax^3+(a-(2/3))x^2-(2a+(4/3))x+2 [/mm]

        
Bezug
Steckbriefaufgabe Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:35 Mi 24.01.2018
Autor: fred97


> Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad 3,
> deren Graph durch die angegebenen Punkte geht.
>  A(1;0)
>  B(0;2)
>  C(-2;2)
>  Ich habe jetzt eine Matrix aufgestellt


Zeig mal diese Matrix !

> und diese in meinen
> GTR eingegeben, dabei habe ich auch eine Lösung erhalten.
> Leider ist diese falsch, da die "richtige" Lösung nur mit
> Parametern und ohne Zahlen sein soll:
>  Das ist diese Lösung:
>  f(x) = [mm]ax^3+(a-(2/3))x^2-(2a+(4/3))x+2[/mm]  


Die gesuchte Funktion hat die Form [mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. [/mm]

Also 4 Unbekannte ! Du hast aber nur 3 Punkte A,B und C. Damit ist das resultierende LGS nicht eindeutig lösbar. Es bleibt also ein freier Parameter, in obigem Resultat also a.

Fazit: für jedes a geht der Graph von  [mm] f_a(x) [/mm] = [mm]ax^3+(a-(2/3))x^2-(2a+(4/3))x+2[/mm]  durch die Punkte A,B,C.




Bezug
        
Bezug
Steckbriefaufgabe Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:08 Mi 24.01.2018
Autor: Mathilda1

Ich habe festgestellt, dass meine Matrix falsch war, da ich von 4 Bedingungen ausgegangen bin, es aber nur 3 sind.
Jetzt fehlt mir ehrlich gesagt die Idee wie ich weitermachen könnte. Parameter kann ich ja nicht in den GTR eingeben ?!
vielen Dank

Bezug
                
Bezug
Steckbriefaufgabe Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:17 Mi 24.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich habe festgestellt, dass meine Matrix falsch war, da ich
> von 4 Bedingungen ausgegangen bin, es aber nur 3 sind.
> Jetzt fehlt mir ehrlich gesagt die Idee wie ich
> weitermachen könnte. Parameter kann ich ja nicht in den
> GTR eingeben ?!

Das ist auch keine Aufgabe für den GTR. Hier geht es darum, durch Einsetzen der gegebenen Punkte ('Bedingungen') folgendes LGS aufzustellen:

[mm]\begin{aligned} I.\ \ \ f(1)=0\ &\gdw\ a+b+c+d&=0\\ II.\ \ f(0)=2\ &\gdw\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d&=2\\ III.\ f(-2)=2\ &\gdw\ -8a+4b-2c+d&=2 \end{aligned}[/mm]

Und das soll jetzt in Abhängigkeit des Parameters a gelöst werden, von Hand natürlich (das ist ja in der Schule heutzutage der Sinn solcher Aufgaben).


Gruß, Diophant
 

Bezug
                        
Bezug
Steckbriefaufgabe Parameter: in Abhängigkeit von a
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Mi 24.01.2018
Autor: Mathilda1

Hallo, ich habe jetzt die Bedingungen  so vereinfacht, dass ich diese 2 Gleichungen erhalte:
a+b+c=-2
-8a+4b-2c=0

Ich verstehe jetzt nur nicht, was es heißt, in Abhängigkeit von a ermitteln.
Danke

Bezug
                                
Bezug
Steckbriefaufgabe Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Mi 24.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,
> Hallo, ich habe jetzt die Bedingungen so vereinfacht, dass
> ich diese 2 Gleichungen erhalte:
> a+b+c=-2
> -8a+4b-2c=0

>

> Ich verstehe jetzt nur nicht, was es heißt, in
> Abhängigkeit von a ermitteln.

Bringe a auf die rechte Seite und betrachte es als bekannt. Jetzt hast du ein 2x2-LGS für die Unbekannten b und c.


Gruß, Diophant

Bezug
                                        
Bezug
Steckbriefaufgabe Parameter: LGS auflösen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 Mi 24.01.2018
Autor: Mathilda1

Hallo,
ich habe jetzt nach a umgestellt:

a= 0,5b-0,25c
a= -2-b-c

Anschließend habe ich versucht, b und c rauszubekommen, allerdings drehe ich mich da im Kreis.
Mit welcher Methode muss ich das LGS lösen?
Danke

Bezug
                                                
Bezug
Steckbriefaufgabe Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Mi 24.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> ich habe jetzt nach a umgestellt:

>

> a= 0,5b-0,25c
> a= -2-b-c

>

Das habe ich dir aber nicht geraten, und es ist auch völlig nutzlos.

> Anschließend habe ich versucht, b und c rauszubekommen,
> allerdings drehe ich mich da im Kreis.
> Mit welcher Methode muss ich das LGS lösen?

Dein LGS heißt:

[mm]\begin{aligned} b+c&=-2-a\\ 4b-2c&=8a \end{aligned}[/mm]

Man muss ein LGS nicht mit einer bestimmten Methode lösen. Aber sicherlich wird man hier das Additionsverfahren wählen. Multipliziere etwa die erste Gleichung mit 2 und addiere anschließend.

EDIT: Vorzeichenfehler berichtigt.

Beachte, dass deine Lösungen von a abhängen. Das bedeutet, dass sie den Parameter a enthalten werden.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                        
Bezug
Steckbriefaufgabe Parameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:46 Mi 24.01.2018
Autor: Steffi21

Hallo Diophant, kleiner Vorzeichenfehler

(1)   b+c=-2-a
(2) 4b-2c=8a

somit Gleichung (1) mit 2 multiplizieren

Gruß Steffi

Bezug
                                                                
Bezug
Steckbriefaufgabe Parameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:03 Mi 24.01.2018
Autor: Diophant

Hallo Steffi21,

> Hallo Diophant, kleiner Vorzeichenfehler

>

> (1) b+c=-2-a
> (2) 4b-2c=8a

>

> somit Gleichung (1) mit 2 multiplizieren

danke für den Hinweis: ich habe es oben ausgebessert.


Gruß, Diophant

Bezug
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