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Steckbriefaufgaben: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:07 Mi 17.12.2003
Autor: asadeh

Hallo, ich brauche dringend ihre Hilfe.
Ich schreibe morgen eine Matheklausur und ich komme nicht weiter.
Steckbriefaufgaben bei denen ich 3 oder 4 Gleichungen rausbekomme kann ich ohne Probleme mit Determinanten rechnen.
Aber bei den folgenden Aufgaben bekomme ich 2 Gleichungen heraus, aber vielleicht stelle ich auch nur die funktionale Bedingung falsch auf.
Daher bitte ich sie mir die folgende Aufgabe Ausführlich zu erklären.

Und ich habe Probleme bei den Extremwertaufgaben, ich mache es mir schwer die Nebenbedingungen aufzustellen.
Ich brauche dringend ihre Hilfe.

Aufgabe 1)
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades besitzt im P1(1/3)die Steigung 3, und im Punkt P2(0/4) liegt ein Wendepunkte. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Aufgabe 2)
Eine Parabel dritten Grades geht durch den Nullpunkt des Koordinatensystems. Sie hat im P1(1/1) ein Maximum und im P2(2/f(2)) einen Wendepunkt. Wie lautet die Funktionsgleichungen?

Aufgabe 3)
Der GRaph 3. Grades hat p1(3/f(3)) die Gerade mit y-11x+27=0 als Tangente und im P2(1/0) einen Wendepunkt. Ermitteln Sie die Funktion.

Bitte erklären sie mir die Aufgaben, oder rechnen sie die so ausführlich dass ich sie nachvollziehen kann. Ich danke im Vorraus und bitte vergisst mich nicht


        
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Steckbriefaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:57 So 12.03.2006
Autor: Ciwan

Aufgabe
Ich bekomme für die erste Aufgabe die Lösung: [mm] f(x)=3x[/mm] ,
für die zweite Aufgabe die Funktionsgleichung [mm] \bruch{1}{4}x^3 - 1,5x^2 + 2,25x[/mm]
und für die letzte Funktion kriege ich die Funktionsgleichung irgendwie nicht hin:
[mm]$ \begin{array}{rrrrrr} a & +b & +c & +d & = & 0 \\ 27a & +9b & +3c & & = & 11 \\ 6a & +2b & & = & 0\\ 27a & +9b & +3c & +d & = & 6 \\ \end{array} $[/mm]

b ist ja klar (-3a). Für c erhalte ich aber  [mm] \bruch{11}{3} [/mm] - 3a und für d =  [mm] \bruch{-11}{3} [/mm] +5a und für a folglich  [mm] \bruch{1}{3}. [/mm]

Mein Gefühl aber sagt mir, dass ich mit den Werten für die letzte Aufgabe falsch liege.

( Danke übrigens an Lodda. a war in diesem Fall gleichbedeutend wie f(x) )

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Steckbriefaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Di 14.03.2006
Autor: sambalmueslie

ich würd mal so vorgehen:
$ 3a = -b $
in 2) eingesetzt folgt $-9b +9b + 3c = 11$ also ist $ c = [mm] \burch{11}{3} [/mm] $
und mit 2) + (-1) * 3) folgt: $ d=5 $

in 1) $a - 3a + c + d = 0 $
$ 2a = [mm] \bruch{26}{3} [/mm] $
$ a = [mm] \bruch{13}{3} [/mm] $
folgt $b = -3a = -13 $




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Steckbriefaufgaben: Steckbriefaufgabe 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Mi 17.12.2003
Autor: Marc

Hallo asadeh,

herzlich willkommen im MatheRaum :-)!

Sehr ausführlich vorrechnen kann ich dir die Aufgaben im Augenblick nicht, da ich nicht so viel Zeit habe, aber ich denke, ich kann die Lösung so weit beginnen, dass du alleine weiter kommst. Bitte melde dich wieder, falls du doch noch Probleme hast, vielleicht hilft dir ja in der Zwischenzeit jemand anderes weiter.

ad Aufgabe 1)
Die Funktion soll dritten Grades sein, d.h. wir benötigen 4 Gleichungen, weil eine allgemeine ganzrationale Funktion dritten Grades vier Koeffizienten [mm]a,b,c,d[/mm] hat:
[mm] f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d [/mm]

i) f (bzw. ihr Graph) verläuft durch den Punkt [mm] P_1(1; 3)[/mm]
[mm]\Rightarrow f(1)=3[/mm]

ii) f hat an der Stelle [mm] x_0=1 [/mm] die Steigung 3
[mm]\Rightarrow f'(1)=3[/mm]

iii) f verläuft durch den Punkt [mm] P_2(0; 4)[/mm]
[mm]\Rightarrow f(0)=4[/mm]

iv) f hat an der Stelle [mm] x_1=0 [/mm] einen Wendepunkt
[mm]\Rightarrow f''(0)=0[/mm] (Notwendige Bedingung für Wendepunkte)

Das sind vier Gleichungen, mit denen wir jetzt ein Lineares Gleichungssystem aufstellen können, aber berechnen wir zunächst die allgemeinen Ableitungen:
[mm] f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d [/mm]
[mm] f'(x)=3ax^2 + 2bx + c [/mm]
[mm] f''(x)=6ax + 2b [/mm]

So, jetzt aber das LGS:
i) [mm]f(1)=3 \Leftrightarrow a+b+c+d=3 [/mm]
ii) [mm]f'(1)=3 \Leftrightarrow 3a + 2b + c = 3 [/mm]
iii) [mm] f(0)=4 \Leftrightarrow d = 4 [/mm]
iv) [mm] f''(0)=0 \Leftrightarrow 2b = 0 [/mm]

Zu lösen ist also dieses LGS:
[mm] \begin{array}{rrrrrr} a & +b & +c & +d & = & 3 \\ 3a & +2b & +c & & = & 3 \\ & & & d & = & 4 \\ & 2b & & & = & 0 \\ \end{array} [/mm]

Ab hier kannst du aber übernehmen, oder?

Für die beiden anderen Aufgaben habe ich jetzt keine Zeit mehr, erst ab 1900 wieder.

Alles Gute,
Marc.


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Steckbriefaufgaben: Steckbriefaufgabe 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Mi 17.12.2003
Autor: Stefan

Hallo asadeh,

ich rechne dir mal die zweite Aufgabe genau so vor, wie Marc dir die erste Aufgabe vorgerechnet hat.

ad Aufgabe 2)

Die Funktion soll wiederum dritten Grades sein, d.h. wir benötigen 4
Gleichungen, weil eine allgemeine ganzrationale Funktion
dritten Grades vier Koeffizienten [mm]a,b,c,d[/mm] hat:
[mm] f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d [/mm]

1. Information: Eine Parabel dritten Grades geht durch den Nullpunkt des Koordinatensystems.

[mm]\Rightarrow f(0)=0[/mm]

2. Information: Sie hat im P1(1/1)...

[mm]\Rightarrow f(1)=1[/mm]

3. Information: ...im Punkt P1(1/1) ein Maximum...

[mm]\Rightarrow f'(1)=0[/mm]

4. Information: ...und in P2(2/f(2)) einen Wendepunkt.

[mm]\Rightarrow f''(2)=0[/mm]

Jetzt darf ich wieder Marc zitieren:

Das sind vier Gleichungen, mit denen wir jetzt ein Lineares
Gleichungssystem aufstellen können, aber berechnen wir zunächst
die allgemeinen Ableitungen:

[mm] f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d [/mm]
[mm] f'(x)=3ax^2 + 2bx + c [/mm]
[mm] f''(x)=6ax + 2b [/mm]

So, jetzt aber das LGS:

1. [mm]f(0)=0 \Leftrightarrow d=0 [/mm]

2. [mm]f(1)=1 \Leftrightarrow a + b + c +d= 1 [/mm]

3. [mm] f'(1)=0 \Leftrightarrow 3a+2b+c=0 [/mm]

4. [mm] f''(2)=0 \Leftrightarrow 12a +2b = 0 [/mm]

Zu lösen ist also dieses LGS:

[mm]d=0 [/mm]
[mm]a + b + c + d= 1 [/mm]
[mm]3a +2b + c = 0 [/mm]
[mm]12a + 2b = 0 [/mm]

Das ist jetzt wieder (zunächst einmal) deine Aufgabe. Bei Schwierigkeiten helfen wir dir. Versuche es mal und setze deine Ergebnisse (mit Zwischenschritten) ins Forum.

Alles Gute
Stefan


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Steckbriefaufgaben: Steckbriefaufgabe 3
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Mi 17.12.2003
Autor: Stefan

Hallo asadeh!

Versuche die Aufgabe mal selber. Ich helfe dir nur etwas beim Start. :-)

In dieser Information

Der Graph 3. Grades hat in P1(3/f(3)) die Gerade mit y-11x+27=0
als Tangente


stecken zwei Teilinformationen!

Welche?


1. Teilinformation:

Im Punkt [mm]P1(3/f(3))[/mm] berührt der Graph der Funktion ja die Tangente, also die Gerade mit der Gleichung [mm]y-11x+27=0[/mm]. Mit anderen Worten: An der Stelle [mm]x=3[/mm] nehmen die ursprüngliche Funktion [mm]f[/mm] und die Gerade den gleichen Funktionswert an. Welchen Wert nimmt die Gerade an? Es gilt:

[mm]y - 11x + 27 = 0[/mm],

also:

[mm] y = 11x - 27[/mm]

und speziell für [mm]x=3[/mm]:

[mm]y = 11 \cdot 3 - 27 = 6[/mm].

Es gilt also: [mm]f(3)=6[/mm].


2. Teilinformation:

Im Punkt [mm]P1(3/f(3))[/mm] hat der Graph der Funktion die gleiche Steigung wie die Tangente, also die gleiche Steigung wie die Gerade mit der Gleichung [mm]y-11x+27=0[/mm]. (Das ist gerade die Definition der Tangente.)

Mit anderen Worten: An der Stelle [mm]x=3[/mm] ist der Wert der Ableitung der ursprünglichen Funktion [mm]f[/mm] (dies ist ja gerade die Steigung an der Stelle [mm]x=3[/mm]) gleich der Steigung der Geraden.

Wie groß ist die Steigung der Geraden?

Es gilt:

[mm] y = 11x - 27[/mm].

Man liest ab: Die Steigung der Geraden ist gleich [mm]m=11[/mm].

Wir erhalten: [mm]f'(3)=11[/mm].

Versuche es jetzt doch einfach mal! Und melde dich wieder bei Fragen und/oder mit deinen Löungsvorschlägen (inklusive Zwischenschritten).

Alles Gute
Stefan


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Steckbriefaufgaben: was wenn p1 bei (3/a) liegt?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 Mo 06.03.2006
Autor: Ciwan

Hallo, erstmals finde ich's extrem schade, dass matheraum.de mir seit Jahren nicht aufgefallen ist (mein erster Post).

In der dritten Aufgabe von asadeh werden folgende Angaben gemacht:

Der Graph 3. Grades hat p1(3/f(3)) die Gerade mit y-11x+27=0 als Tangente und im P2(1/0) einen Wendepunkt. Ermitteln Sie die Funktion.

Welche Teilinformationen kann ich aus der Funktion ziehen, wenn p1 bei (3/a) liegt?


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Steckbriefaufgaben: f(3) = a
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:22 Di 07.03.2006
Autor: Loddar

Guten Morgen Ciwan,

[willkommenmr] !!


> Welche Teilinformationen kann ich aus der Funktion ziehen,
> wenn p1 bei (3/a) liegt?

Soll dieses $a_$ auch gleichzeitig der Koeffizient vor dem [mm] $x^3$ [/mm] der allgemeinen Vorschrift $f(x) \ = \ [mm] a*x^3+b*x^2+c*x+d$ [/mm] sein?


Dann haben wir als zusätzliche Info, dass gilt:

[mm] $\blue{f(3)} [/mm] \ = \ [mm] a*3^3+b*3^2+c*3+d [/mm] \ = \ 27a+9b+3c+d \ = \ [mm] \blue{a}$ [/mm]

[mm] $\gdw$ $\red{26}a+9b+3c+d [/mm] \ = \ 0$


Gruß
Loddar


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Steckbriefaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 So 28.12.2003
Autor: DerHochpunkt

"Steckbriefaufgaben bei denen ich 3 oder 4 Gleichungen rausbekomme kann ich ohne Probleme mit Determinanten rechnen."

Was sind Determinanten???

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Steckbriefaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 So 28.12.2003
Autor: Marc

Hallo DerHochpunkt,

Determinanten sind bestimmte Abbildungen, die einer quadratischen Matrix eine Zahl zuordnen.

Bildet man nun aus den Koeffizienten eines Linearen Gleichungssystem bestimmte Matrizen ("Koeffizientenmatrix"), und berechnet von diesen jeweils die Determinante, so läßt sich die Lösbarkeit und die Lösung selbst des LGS mit diesen Determinanten ausdrücken.

Da du Determinanten aber überhaupt nicht zu kennen scheinst (was ja nicht schlimm ist), würde es hier wohl zu weit führen, sie dir komplett zu erklären. Vielleicht findest du ja was in deinem Schulbuch oder im Netz darüber, wenn es dich interessiert.

Alles Gute,
Marc.


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