Stehaufmännchen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Mo 09.06.2014 | | Autor: | Boastii |
| Aufgabe | Ein Stehaufmännchen soll aus einem eisernen Kugelabschnitt mit der (konstanten) Dichte [mm] \delta_{Fe} [/mm] und [15]
einem aufgesetzten hölzernen Kegel hergestellt werden. Die Gesamthöhe der Figur soll das Dreifache
des Kugelradius betragen. Welche Dichte [mm] \delta_H [/mm] darf das Holz höchstens haben, damit das Männchen
auch wirklich aufsteht? – Etwas genauer: Wir legen den Kugelmittelpunkt in den Nullpunkt [mm]0_{R^3} [/mm] und
die Kegelspitze nach [mm] (0; 0; 2r)^T [/mm] . Dann wird der Kegel an dem Breitenkreis auf die Kugel aufgesetzt,
an dem der Kegelmantel tangential an die Kugel ist. |
Schönen guten Tag,
mein Professor denkt sich ja immer wieder was schönes aus, aber hier komme ich einfach nicht weiter.
Folgende Formeln habe ich im Internet dazu gefunden:
Formel für den Schwerpunkt des Stehaufmännchen:
[mm] Z_{s,ges} = \frac{S_K * V_K - S_H * V_H}{V_H + V_K} [/mm]
Wobei [mm] S_K, V_K [/mm] Schwerpunkt und Volumen des Kegels und [mm] S_H, V_H [/mm] Schwerpunkt bzw. Volumen der Halbkugel beschreibt.
So dann habe ich hier noch folgende Formel:
[mm] Z_s = \frac{1}{V} * \integral_{K}^{}{r * p(r) dV} [/mm]
Dabei ist [mm] p(r) [/mm] die Dichte am Ort r und dV ein Volumenelement und V die Masse des Körpers.
Weiter steht dazu: Bei einem homogenen Körper kann die Dichte [mm] \rho [/mm] als Faktor vor das Integral gezogen werden, der Massenmittelpunkt fällt dann mit dem Volumenmittelpunkt (dem geometrischen Schwerpunkt) zusammen. In vielen Fällen kann die Berechnung dann vereinfacht werden; beispielsweise, wenn der Volumenmittelpunkt auf einer Symmetrieachse des Körpers liegt, zum Beispiel bei einer Kugel im Mittelpunkt.
Nun ich weiß wie man die einzelnen Integrale berechnet. Aber ich muss ja irgendwas festsetzen bzw. gleichsetzen. Ich stell mir da so vor, da die Dichte ja den Massenschwerpunkt beeinflusst, brauche ich doch eine Höhe bzw. eine Angabe wo der Massenschwerpunkt des Stehaufmännchen liegen soll damit dieses immer wieder aufsteht. Könnte das (nach obiger) Konstruktion nicht [mm] Z_{s,ges} \le 0_{\mathbb R^3} [/mm] sein?
Hoffe auf eine Idee, wäre toll!
LG Boastii
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:45 Di 10.06.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Was ist denn, wenn man die Figur ganz ohne aufgesetzten Holzkegel macht (bzw. die Dichte des Holzes NULL wäre)?
Wo ist dann der Schwerpunkt? Warum steht das Männchen dann auf?
Und nun wird die Dichte langsam erhöht, bis sie genauso groß ist wie die Dichte des eiseernen Kugelabschnittes. Dann bleibt das Männchen sicherlich liegen.
Und irgendwo dazwischen, da muss es einen Punkt geben, wo das Männchen gerade noch so aufsteht. Wo ist dann der Schwerpunkt.
(Ich selbst habe von alledem zwar keine Ahnung, aber zumindest eine Vorstellung, dass man theoretisch so vorgehen könnte)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:00 Di 10.06.2014 | | Autor: | Boastii |
Genau so hätte ich mir das auch gedacht, aber ich weiß nicht (und finde dazu leider auch nichts) wo der Schwerpunkt liegen muss damit das Männchen wieder aufsteht. Also wo genau dieser Punkt liegt ^^.
Aber danke trotzdem.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Di 10.06.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Ich hoffe, dass es technisch funktioniert und ich dir meine Zeichnung zeigen kann
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Schwerpunkt liegt auf der Linie von A nach M.
Das Männchen steht auf, wenn der Schwerpunkt die Möglichkeit hat, sich "nach unten" zu bewegen
Der "Kritische Punkt" ist der Punkt S, weil die Strecke AS genauso lang ist wie die Strecke BS.
Falls der Schwerpunkt zwischen A und S liegt, steht das Männchen auf, weil dann die Schwerpunkt die Möglichkeit hat, sich nach unten zu bewegen.
Jedenfalls stelle ich mir das so vor.
Das ist auch insofern logisch, weil ohne das Holz der Schwerpunkt offensichtlich zwischen A und S liegen würde.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 Di 10.06.2014 | | Autor: | Boastii |
Wow, danke für deine Zeichnung und danke für deine Mühe!
ich habe mittlerweile auch eine Lösung raus, werde sich euch heute Nachmittag mal schreiben =).
Habe einfach mal den Schwerpunkt auf Null gesetzt - was ja nicht ganz stimmt. Aber so kann ich jetzt einfach durch deine Zeichnung den Punkt ausrechnen und muss diesen nur noch gleichsetzen.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Di 10.06.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Ich habe meine Zeichnung mal etwas erweitert, d.h. noch um einige weitere Zahlen ergänzt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie ich darauf kam:
Mithilfe von Sinus, Tangens, drei Gleichungen mit drei Unbekannten - also das waren umfangreiche Operationen -, habe ich die Zahlen auf drei Stellen nach dem Komma ermittelt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Di 10.06.2014 | | Autor: | Boastii |
Hey kurze Frage dazu, wieso muss der Schwerpunkt unter S liegen und nicht unter M?
Liebe Grüße
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Wenn der Schwerpunkt zwischen S und M liegt, würde das Männchen nicht aufstehen.
Begründung: Dann würde der Schwerpunkt nach dem Aufstehen weiter oben liegen als vor dem Aufstehen.
So etwas dürfte m.E. physikalisch nicht gehen, denn das Prinzip des Stehaufmännchens liegt darin, dass der Schwerpunkt durch Drehen der Figur sich nach unten verschiebt (und nicht nach oben)
Zusatz:
Diophant schrieb allerdings, dass es ausreicht, wenn der Schwerpunkt unterhalb des Kugelmittelpunktes liegt. Das hieße, dass das Männchen auch dann aufstehen würde, wenn der Schwerpunkt zwischen M und S liegt.
Ich kann nicht sagen, ob das so stimmt. Das müsste ein physikalisches Experiment zeigen.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:37 Di 10.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
das ist alles falsch, zunächst weil die Zeichnung mit der Situation in der Aufgabenstellung nicht übereinstimmt (Kegelmantel berührt die Kugel tangential). Dann ist weiters nicht klar, was eigentlich die Bedeutung des Punktes S ist.
So lange der untere Teil kugelförmig ist, ist es so wie ich in meiner Antwort schon geschrieben habe: der Schwerpunkt muss aus geometrischen Gründen unterhalb des Mittelpunktes des Kugelabschnitts liegen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:37 Mi 11.06.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Sorry, wenn ich für Verwirrung gesorgt hatte.
Ich hatte nicht gesehen, dass der Holzkegel "tangential" an die Kugel anschließen sollte.
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Hallo,
> Hey kurze Frage dazu, wieso muss der Schwerpunkt unter S
> liegen und nicht unter M?
Wie ich geschrieben habe, dem ist auch nicht so.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Di 10.06.2014 | | Autor: | Boastii |
Alles klar, danke soweit.
Ich werde jetzt mal meine Lösung unten posten.
LG
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Hallo,
wenn ich es richtig verstanden habe, dann ist dein Problem doch recht elementar. Die Formel zur Berechnung des Gesamtschwerpunktes kann ich bestätigen. ![[]](/images/popup.gif) Hier findet man das ganz schön erklärt. Mache dir allerdings die Bedeutung des Minuszeichens im Zähler klar!
So, nun zum Lösungsansatz: das Stehaufmännchen funktioniert als solches, da sein Schwerpunkt ein sog. stabiles Gleichgewicht hat. Bedeutet: in der Ruhelage, wenn das Männchsen steht, ist der Schwerpunkt an seinem tiefsten Punkt, bei einer Auslenkung bewegt er sich zwangsläufig auf einer Kreisbahn um den Kugelmittelpunkt nach oben. Deswegen wird eine homogene Halbkugel sich von alleine stets so ausrichten, dass ihre Kreisfläche nach oben zeigt und waagerecht liegt. Und deswegen fliegt der Seiltänzer im Zirkus nicht herunter (so lange alles glatt läuft  ), da er durch die Stange, die er 'zum Balancieren' benutzt, in Wirklichkeit seinen Gesamtschwerpunkt unter das Seil verlagert, um ebenfalls ein stabiles Gleichgewicht zu erlangen.
Der hölzerne Kegel, welcher der Kugel aufgesetzt wird, der wird den Schwerpunkt nach oben verschieben, so viel ist klar. Und es ist eine ganz einfache Sache: das Männchen steht wieder auf, so lange der Schwerpunkt unterhalb des Kugelmittelpunktes liegt. Du hast dessen Koordinaten mit dem Ursprung daher klug gewählt. Bestimme also die z-Koordinate des Schwerpunktes in Abhängigkeit von der Dichte des Holzes und wähle diese so, dass die z-Koordinate eben gerade noch negativ ist.
PS: ich habe das mal nach der eindimensionalen Analysis verschoben, oder möchtest du mit Mehrfachintegralen rechnen?
Gruß, Diophant
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:08 Di 10.06.2014 | | Autor: | Boastii |
So, nun habe es aber glaube ich.
Folgende Voraussetzungen habe ich getroffen:
- Die Dichte der beiden Körper ist konstant. -> Kann man beim Schwerpunkt als Faktor davor schreiben.
- Der Schwerpunkt muss unterhalb von [mm] 0_{\mathbb R^3} [/mm] liegen.
Dazu habe ich
1.
Berechnung des Volumens/Schwerpunkt des Kegels! (stark vereinfacht)
[mm] V_K = \integral_{\varphi=0}^{2\pi}{\integral_{r=0}^{r}{\integral_{z=0}^{2r}{r dz dr d\varphi}}} = \frac{4\pi r^3}{3} [/mm]
[mm] S_K = \frac{\delta_H}{V_K} * \integral_{\varphi=0}^{2\pi}{\integral_{r=0}^{r}{\integral_{z=0}^{2r}{z*r dz dr d\varphi}}}= \frac{3r\delta_H}{4} [/mm]
2.
Berechnung des Volumens/Schwerpunkt der Halbkugel
[mm] V_H = \integral_{\vartheta = 0}^{\pi/2}{\integral_{\varphi=0}^{2\pi}{\integral_{r=0}^{r}{r dz dr d\varphi}}}= \frac{2\pi r^3}{3} [/mm]
[mm] V_H = \frac{\delta_{Fe}}{V} \integral_{\vartheta = 0}^{\pi/2}{\integral_{\varphi=0}^{2\pi}{\integral_{r=0}^{r}{r dz dr d\varphi}}}= \frac{3R \delta_{Fe}}{8} [/mm]
3.
Berechnung des Gesamtschwerpunktes:
[mm] Z_{s,ges} = \frac{S_K V_K - S_H V_H}{V_H + V_K} = \frac{ \frac{3r\delta_H}{4}\frac{4\pi r^3}{3} - \frac{3R \delta_{Fe}}{8} \frac{2\pi r^3}{3} }{\frac{4\pi r^3}{3} + \frac{2\pi r^3}{3} } [/mm]
Das Vereinfache ich zu (setze die Ungelichung auf):
[mm] \frac{r}{8}(4\delta_H - \delta_{Fe}) \le 0 [/mm]
[mm] \delta_H \le \frac{\delta_{Fe}}{4} [/mm]
also die Dichte muss kleiner als ein viertel der Dichte der Kugel.
Hoffe das ist korrekt und habe keine Fehler bei den Grenzen gemacht :)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Di 10.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Boastii,
da braucht man nicht lange nachrechnen: im Sinne deines Themenstarts, wo du extra ausführlich und insbesondere eindeutig den fraglichen Körper beschreibst, ist deine obige Rechnung falsch aus zwei einfachen Gründen:
- beim Kegel sind die Integrationsgrenzen falsch gewählt, denn dieser steht nicht auf der x-y-Ebene sondern oberhalb.
- das Ding unten aus Eisen wird ja extra als Kugelabschnitt bezeichnet und das nicht umsonst: wenn der Kegelmantel tangential an der Kugel enden soll, ist der Kugelabschnitt größer als eine Halbkugel. Das kann man alles ziemlich einfach vermittelst eines gewissen Pythagoras ausrechnen, sollte es aber tun.
Kläre also vor einer ausführlichen Korrektur (zu der ich heute vermutlich nicht mehr kommen werde) nochmals ab, welche Aufgabe du jetzt eigentlich rechnen möchtest. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Di 10.06.2014 | | Autor: | Boastii |
Hey,
ach stimmt . Nicht korrekt gelesen. Ich werde mir das alles nochmals überlegen.
Dazu werde ich nochmals was Zeichnen müssen. Wahrscheinlich werde ich das heute Abend/Nacht mal posten, wenn ich auf die Lösung komme, immerhin habe ich jetzt alles korrekt verstanden ^^.
Lg Boastii
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 12.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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