Steigung eines Abhanges < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 200m über der Talsohle liegen sowohl im Westen als auch im Osten Hochebenen mit den Abhängen f und g. f ist eine kubische Funktion, die ohne Knick horizontal ins Tal ausläuft. g ist eine quadratische Parabel, die ebenfalls horizontal von der Hochebene abfällt.
Der Definitionsbereich von g : 5<= x <= 9
von f : -4<= x <= 0
(Ich hoffe ihr wisst, was ich mit den Intervallen meine.)
a) Stellen Sie die Gleichungen von f und g auf.
b) Wie steil ist der Abhang f maximal? Wo ist der Hang g am steilsten?
Kontrollergebnis: f(x)= [mm] 1/16x^3 [/mm] + [mm] 3/8x^2
[/mm]
g(x)= [mm] -1/8x^2 [/mm] + 18/8 x - 65/8 |
Hallo an alle,
nett, dass ihr euch die Zeit nehmt, meine Frage zumindest zu lesen. Diese bezieht sich allein auf Nummer b, a konnte ich lösen.
Ich habe einen Ansatz, bin mir jedoch sehr unsicher, ob ich damit richtig liege.
Bei der Frage ,,Wie steil ist der Abhang f maximal?'' ist mir natürlich sofort der Wendepunkt eingefallen, da dort die erste Ableitung relativ zu der Umgebung ein Extremum annimmt.
Dieser liegt bei (-2 I 6), ist jedoch ein Rechts-Links-WP, was heißt, dass dort die erste Ableitung keinen HP sondern einen TP hat. Dies ist auch nur logisch, da f'(x)= 3/16 [mm] x^2 [/mm] + 3/4 x eine nach oben geöffnete Parabel ist.
Hier liegt mein Problem. Wäre es ein HP, hätte ich keinen Gedanken daran gelassen. Ich vermute dennoch, dass dort der Abhang am steilsten ist, das sollte, zumindest vom Betrag her, auch stimmen, oder?
Bei g ist die erste Ableitung eine fallende lineare Funktion
( g'(x) = -1/4 x + 18/8 ).
Damit wird der Anstieg mit kleiner werdenden x größer.
Der kleine x-Wert im Definitionsbereich von g ist 5. Dort müsste der Hang also am steilsten sein.
Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann, insbesondere zu f.
Schöne Grüße und Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo, du suchst die Stelle, an der der Abhang maximale Steigung hat, die 1. Ableitung gibt die Steigung an, von der suchst wiederum das Maximum, also benötigst du die 2. Ableitung, setze diese gleich Null
[mm] f''(x)=\bruch{3}{8}x+\bruch{3}{4}
[/mm]
die Funktion f(x) ist an der Stelle x=-2 am steilsten
die Funktion g(x) ist an der Stelle x=5 am steilsten
die Intervalle sind dabei brücksichtigt
Steffi
PS habe meinen Schreibfehler korrigiert
|
|
|
| |
|
Danke, aber wie kommst du auf 5? Ich komme auf -2, was dem Wendepunkt entspricht. Außerdem ist 5 außerhalb des Def. für f.
Def. von f(x): -4<= x <= 0
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Di 30.12.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo.
ich vermute mal,das hier Steffi ein Tippfehler unterlaufen ist. Bei x = -2 ist die Kurve am steilsten.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Di 30.12.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo, du suchst die Stelle, an der der Abhang maximale
> Steigung hat, die 1. Ableitung gibt die Steigung an, von
> der suchst wiederum das Maximum, also benötigst du die 2.
> Ableitung, setze diese gleich Null
>
> [mm]f''(x)=\bruch{3}{8}x+\bruch{3}{4}[/mm]
>
> die Funktion ist an der Stelle x=5 am steilsten, das
> Intervall hast du ja beachtet
>
> Steffi
Hallo Steffi,
gesucht ist ein globales Extremum des Betrags des Anstiegs. Das kann, muss aber nicht das lokale Extremum des Anstiegs sein.
Es ist also unerlässlich, den Anstieg im Wendepunkt (falls der überhaupt im betrachten Intervall liegt) mit den beiden Anstiegen an den Intervallgrenzen zu vergleichen und sich abschließend aus diesen Anstiegswerten den betragsmäßig größten auszusuchen.
Gruß Abakus
>
>
>
|
|
|
| |
|
Danke auch an euch.
Ich habe nur noch eine kleine Frage: Wenn danach gefragt wird, wie steil der Abhang maximal ist, muss ich dies doch in einem Winkel angeben. Das bedeutet arctan von dem Anstieg des Wendepunktes (besitzt den betragsmäßig größten Anstieg).
Kurze Rechnung:
m(max) = |m(WP)|
m(WP) = 3/16 * (-2)^ 2 + 3/4 * (-2)
m(WP) = - 0,75
tan ß = - 0,75
ß = -36,87 °
Sollte ich den Winkel lieber mit dem Betrag des Anstieges berechnen?
Grüße
|
|
|
| |
|
Entschuldigt die Mitteilung, das sollte eine Frage sein.
Ich habe nur noch eine kleine Frage: Wenn danach gefragt wird, wie steil der Abhang maximal ist, muss ich dies doch in einem Winkel angeben. Das bedeutet arctan von dem Anstieg des Wendepunktes (besitzt den betragsmäßig größten Anstieg).
Kurze Rechnung:
m(max) = |m(WP)|
m(WP) = 3/16 * (-2)^ 2 + 3/4 * (-2)
m(WP) = - 0,75
tan ß = - 0,75
ß = -36,87 °
Sollte ich den Winkel lieber mit dem Betrag des Anstieges berechnen?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Di 30.12.2014 | | Autor: | chrisno |
Hast Du die Mitteilung von Abakus (an Steffi) gelesen? Die gibt den Hinweis, wo Du nach dem maximalen Anstieg suchen musst. (Ich habe nichts nachgerechnet.)
|
|
|
| |
|
Ja, das habe ich gelesen, und es hat mir auch weitergeholfen. Ich weiß nur nicht, ob ich den Winkel mit dem Betrag oder dem eigentlichen Wert berechnen soll. Es wurde danach gefragt, wie steil es ist, daher müsste ich das mittels des Tangens in Grad angeben, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Mi 31.12.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
der Aufgabenstellung nach würde ich hier den betragsmäßig größten Winkel angeben, das sollte reichen.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
Vielen Dank, Infinit.
Grüße
|
|
|
|
