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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Stellenwerttafel bis Tausend. D.h. mit den Positionen E,Z,H und T.
a) Sie haben nun vier (fünf) Plättchen zur Verfügung. Legen Sie möglichst viele unterschiedliche Zahlen und notieren Sie sie. Wie viele verschiedene Zahlen können Sie bilden?
b) Wie ändert sich die Zahl, wenn Sie ein Plättchen um eine Stelle nach rechts bzw. links verschieben? Beschreiben Sie die unterschiedlichen Fälle.
c) Wie viele unterschiedliche Zahlen können Sie legen, wenn Sie vier (fünf) Plättchen zur Verfügung haben und die entstehende Zahl vierstellig sein soll? |
Guten Abend zusammen,
ich habe mir bisher die Mühe gemacht und tatsächlich alle Möglichkeiten aufgeschrieben...
jetzt glaube ich aber, dass man bei a) zum Beispiel auf diese Urnengeschichte zurückgreifen kann, bei der es eine Auswahl mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge geht. Stimmt das?
Dies hätte für a zur Folge: [mm] \bruch{(4+3)!}{4!3!}=35 [/mm] für 4 Plättchen und
[mm] \bruch{(4+4)!}{5!3!}=56 [/mm] für 5 Plättchen. Stimmt das?
bei der b) habe ich einfach nur gesagt, dass sich der Zahlenwert jeweils um [mm] 9*10^i [/mm] für i={0,1,2,3,4} (bei 5 Plättchen) ändert. Reicht das als Begründung?
Bei der c) weiß ich nicht so ganz, wie ich das angehen soll. Ich habe ja jetzt nur den Fall, dass die erste Position auf jeden Fall als erstes von einem Plättchen belegt werden muss. Die drei (vier) anderen übrigen kann ich aber wieder willkürlich legen.
Vielleicht kann mir jemand helfen ?
Viele liebe Grüße
Ferolei
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Hallo Ferolei,
Die Aufgabe ist nicht ganz vollständig gestellt.
> Gegeben sei eine Stellenwerttafel bis Tausend. D.h. mit den
> Positionen E,Z,H und T.
> a) Sie haben nun vier (fünf) Plättchen zur Verfügung.
> Legen Sie möglichst viele unterschiedliche Zahlen und
> notieren Sie sie. Wie viele verschiedene Zahlen können Sie
> bilden?
Hier fehlt eine Information. Nehmen wir mal an, die Plättchen seien untereinander verschieden - es gibt also keine zwei (oder mehr) gleiche darunter.
Noch eine Information fehlt: dürfen Plätze frei bleiben? Könnte also ein Ergebnis einfach 59 lauten? Ich denke nein, aber klar ist es nicht.
> b) Wie ändert sich die Zahl, wenn Sie ein Plättchen um
> eine Stelle nach rechts bzw. links verschieben? Beschreiben
> Sie die unterschiedlichen Fälle.
> c) Wie viele unterschiedliche Zahlen können Sie legen,
> wenn Sie vier (fünf) Plättchen zur Verfügung haben und
> die entstehende Zahl vierstellig sein soll?
Wo der Unterschied von Aufgabenteil c) und Teil a) liegen soll, erschließt sich mir nicht.
> ich habe mir bisher die Mühe gemacht und tatsächlich alle
> Möglichkeiten aufgeschrieben...
Oje. Das ist eine Fleißarbeit, wenn auch nur eine kleine.
> jetzt glaube ich aber, dass man bei a) zum Beispiel auf
> diese Urnengeschichte zurückgreifen kann, bei der es eine
> Auswahl mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der
> Reihenfolge geht. Stimmt das?
Wieso, die Reihenfolge ist doch wichtig bei einer Zahl. [mm] 1926\not=1962\not=1296 [/mm] etc.
> Dies hätte für a zur Folge: [mm]\bruch{(4+3)!}{4!3!}=35[/mm] für
> 4 Plättchen und
> [mm]\bruch{(4+4)!}{5!3!}=56[/mm] für 5 Plättchen. Stimmt das?
Nein, das stimmt nicht.
Du hast doch die Möglichkeiten aufgeschrieben. Soviele hast Du nicht. Such mal eine einzige, die noch fehlt, schon das wird wahrscheinlich schwierig...
Nehmen wir an, Du ziehst in der Reihenfolge Tausender, Hunderter, Zehner, Einer. Die Plättchen werden nicht zurückgelegt - in einer Zahl kannst Du ja keins doppelt verwenden.
Bei vier Plättchen: erste Ziehung 1 aus 4, zweite: 1 aus 3, dritte: 1 aus 2, vierte: letztes Plättchen.
Und bei fünf Plättchen ganz ähnlich, mit insgesamt genau fünfmal so vielen Möglichkeiten wie bei 4.
> bei der b) habe ich einfach nur gesagt, dass sich der
> Zahlenwert jeweils um [mm]9*10^i[/mm] für i={0,1,2,3,4} (bei 5
> Plättchen) ändert. Reicht das als Begründung?
Es ist komplizierter. Du sollst es, glaube ich, gar nicht ausrechnen und auch nicht begründen. Beschreiben reicht offenbar.
Wenn Du es doch rechnen willst, nimm die beiden Ziffern a und b, und betrachte die Zahl "ab" und dann "ba", ggf. noch gefolgt von gleich vielen Nullen. Was passiert?
> Bei der c) weiß ich nicht so ganz, wie ich das angehen
> soll. Ich habe ja jetzt nur den Fall, dass die erste
> Position auf jeden Fall als erstes von einem Plättchen
> belegt werden muss. Die drei (vier) anderen übrigen kann
> ich aber wieder willkürlich legen.
Wie gesagt, ich sehe keinen Unterschied zur a). Wahrscheinlich soll a) experimentell und c) theoretisch-analytisch gelöst werden, oder so.
> Vielleicht kann mir jemand helfen ?
Hab ich versucht. 
> Viele liebe Grüße
>
> Ferolei
Grüße
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:56 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Ferolei |
> Hallo Ferolei,
>
> Die Aufgabe ist nicht ganz vollständig gestellt.
>
> > Gegeben sei eine Stellenwerttafel bis Tausend. D.h. mit den
> > Positionen E,Z,H und T.
> > a) Sie haben nun vier (fünf) Plättchen zur
> Verfügung.
> > Legen Sie möglichst viele unterschiedliche Zahlen und
> > notieren Sie sie. Wie viele verschiedene Zahlen können Sie
> > bilden?
>
> Hier fehlt eine Information. Nehmen wir mal an, die
> Plättchen seien untereinander verschieden - es gibt also
> keine zwei (oder mehr) gleiche darunter.
> Noch eine Information fehlt: dürfen Plätze frei bleiben?
> Könnte also ein Ergebnis einfach 59 lauten? Ich denke
> nein, aber klar ist es nicht.
Hallo, also es dürfen Stellen frei bleiben und die PLättchen sehen alle gleich aus.
>
> > b) Wie ändert sich die Zahl, wenn Sie ein Plättchen um
> > eine Stelle nach rechts bzw. links verschieben? Beschreiben
> > Sie die unterschiedlichen Fälle.
> > c) Wie viele unterschiedliche Zahlen können Sie legen,
> > wenn Sie vier (fünf) Plättchen zur Verfügung haben und
> > die entstehende Zahl vierstellig sein soll?
>
> Wo der Unterschied von Aufgabenteil c) und Teil a) liegen
> soll, erschließt sich mir nicht.
>
> > ich habe mir bisher die Mühe gemacht und tatsächlich alle
> > Möglichkeiten aufgeschrieben...
>
> Oje. Das ist eine Fleißarbeit, wenn auch nur eine kleine.
>
> > jetzt glaube ich aber, dass man bei a) zum Beispiel auf
> > diese Urnengeschichte zurückgreifen kann, bei der es eine
> > Auswahl mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der
> > Reihenfolge geht. Stimmt das?
>
> Wieso, die Reihenfolge ist doch wichtig bei einer Zahl.
> [mm]1926\not=1962\not=1296[/mm] etc.
Es geht doch um die Reihenfolge der Ziehung ? Also ich meine, es ist doch egal, ob ich erst ein Plättchen auf Z und dann auf E oder umgekehrt lege !?
Und Kugeln werden zurück gelegt bedeutet, dass die Plättchen identisch sind, oder?
>
> > Dies hätte für a zur Folge: [mm]\bruch{(4+3)!}{4!3!}=35[/mm] für
> > 4 Plättchen und
> > [mm]\bruch{(4+4)!}{5!3!}=56[/mm] für 5 Plättchen. Stimmt das?
>
> Nein, das stimmt nicht.
> Du hast doch die Möglichkeiten aufgeschrieben. Soviele
> hast Du nicht. Such mal eine einzige, die noch fehlt, schon
> das wird wahrscheinlich schwierig...
>
Doch, mit meiner 'neuen' Angabe hatte ich genau die Möglichkeiten raus.
> Nehmen wir an, Du ziehst in der Reihenfolge Tausender,
> Hunderter, Zehner, Einer. Die Plättchen werden nicht
> zurückgelegt - in einer Zahl kannst Du ja keins doppelt
> verwenden.
>
> Bei vier Plättchen: erste Ziehung 1 aus 4, zweite: 1 aus
> 3, dritte: 1 aus 2, vierte: letztes Plättchen.
>
Nach dieser Erklärung hört sich das an wie: 4*3*2*1 aber das entspricht nicht der Anzahl meiner aufgeschriebenen Möglichkeiten :(
> Und bei fünf Plättchen ganz ähnlich, mit insgesamt genau
> fünfmal so vielen Möglichkeiten wie bei 4.
>
> > bei der b) habe ich einfach nur gesagt, dass sich der
> > Zahlenwert jeweils um [mm]9*10^i[/mm] für i={0,1,2,3,4} (bei 5
> > Plättchen) ändert. Reicht das als Begründung?
>
> Es ist komplizierter. Du sollst es, glaube ich, gar nicht
> ausrechnen und auch nicht begründen. Beschreiben reicht
> offenbar.
> Wenn Du es doch rechnen willst, nimm die beiden Ziffern a
> und b, und betrachte die Zahl "ab" und dann "ba", ggf. noch
> gefolgt von gleich vielen Nullen. Was passiert?
>
Das verstehe ich nicht genau. Welche Ziffern sind gemeint? Zwei, die nebeneinander stehen? Wieso soll ich das Produkt der beiden Ziffern nehmen?
> > Bei der c) weiß ich nicht so ganz, wie ich das angehen
> > soll. Ich habe ja jetzt nur den Fall, dass die erste
> > Position auf jeden Fall als erstes von einem Plättchen
> > belegt werden muss. Die drei (vier) anderen übrigen kann
> > ich aber wieder willkürlich legen.
>
> Wie gesagt, ich sehe keinen Unterschied zur a).
> Wahrscheinlich soll a) experimentell und c)
> theoretisch-analytisch gelöst werden, oder so.
>
> > Vielleicht kann mir jemand helfen ?
>
> Hab ich versucht.
>
> > Viele liebe Grüße
> >
> > Ferolei
>
> Grüße
> reverend
>
Danke für die Unterstützung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Ferolei |
Das sollte eigentlich weiterhin als Frage formuliert sein ....
Danke
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> Gegeben sei eine Stellenwerttafel bis Tausend. D.h. mit den
> Positionen E,Z,H und T.
> a) Sie haben nun vier (fünf) Plättchen zur Verfügung.
> Legen Sie möglichst viele unterschiedliche Zahlen und
> notieren Sie sie. Wie viele verschiedene Zahlen können Sie
> bilden?
> b) Wie ändert sich die Zahl, wenn Sie ein Plättchen um
> eine Stelle nach rechts bzw. links verschieben? Beschreiben
> Sie die unterschiedlichen Fälle.
> c) Wie viele unterschiedliche Zahlen können Sie legen,
> wenn Sie vier (fünf) Plättchen zur Verfügung haben und
> die entstehende Zahl vierstellig sein soll?
Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, kann man
sie so veranschaulichen:
Man hat ein "Rechenbrett" mit vier nebeneinander liegenden
Fächern T,H,Z,E und 4 Erbsen, welche man nun auf beliebige
Weise in die 4 Fächer verteilt. Jede einzelne Erbse erhält je
nachdem, in welchem Fach sie liegt, einen Wert, nämlich 1
im Fach E, 10 im Fach Z, 100 im Fach H und 1000 im Fach T.
Der Gesamtwert aller 4 Erbsen ergibt eine maximal 4-stellige
Zahl. Die kleinste so darstellbare Zahl ist 4 (alle 4 Erbsen in E),
die größte ist 4000 (alle 4 Erbsen in T).
Zur Lösung von a) wird ja ein "experimentelles" Vorgehen vor-
geschlagen. Anstatt Erbsen zu zeichnen können wir natürlich
die entstehenden Zahlen z.B. der Größe nach auflisten:
4000
3100
3010
3001
2200
2110
2101
2020
....
....
....
0013
0004
Mit etwas systematischer Betrachtung kann man die Anzahl
dieser Zahlen relativ leicht bestimmen. Eine Formel, die die
Anzahl ganz direkt liefert, ist mir im Moment nicht präsent.
Zu den Lösungen:
a) ich habe (für 4 Plättchen bzw. Erbsen) einen anderen
Wert erhalten
Korrektur: 35 müsste doch stimmen
b) für 5 Plättchen ist die Differenz $\ [mm] 9*10^4$ [/mm] nicht möglich.
Ferner können die Differenzen natürlich positiv oder
negativ sein, je nachdem in welche Richtung die Ver-
schiebung erfolgt.
c) man kann hier von der Anzahl aus a) die Anzahl jener
Zahlen subtrahieren, welche mit einer 0 beginnen
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Do 14.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
wenn das die richtige Deutung der Aufgabe ist, dann ist die Formel folgende:
[mm] m=\vektor{n+k-1\\n}
[/mm]
wobei m die Zahl der Möglichkeiten angibt, n die Zahl der (nicht unterscheidbaren) Plättchen und k die Zahl der zu belegenden Fächer.
Bei 4 Fächern gäbe es mit 4 Plättchen also tatsächlich 35 Möglichkeiten, bei 5 Plättchen sogar 56.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ich denke, dass man das Problem auf das Urnenmodell zurückführen kann. Zumindest haben es die anderen auch so gemacht.
Also mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Damit erhalte ich genau die Werte.
Bei der c) sind es für 5 Plättchen dann genau wieder die Anzahl an Möglichkeiten wie bei a) für 4 Plättchen usw.
Danke für eure Hilfe.
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> Ich denke, dass man das Problem auf das Urnenmodell
> zurückführen kann. Zumindest haben es die anderen auch so
> gemacht.
> Also mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der
> Reihenfolge. Damit erhalte ich genau die Werte.
> Bei der c) sind es für 5 Plättchen dann genau wieder die
> Anzahl an Möglichkeiten wie bei a) für 4 Plättchen usw.
>
> Danke für eure Hilfe.
Nun, bei der Formel, die reverend angegeben hat, handelt es
sich tatsächlich um eine aus der Kombinatorik bekannte
Formel, nämlich die für die Anzahl der Kombinationen (unge-
ordnete Stichproben) einer festen Länge k mit beliebigen
Wiederholungen aus einer Grundmenge mit n Elementen:
[mm] $\overline{C}_{n,k}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{n+k-1\\k}$ [/mm] (***)
Im Beispiel ist n=4 und k=4 (1.Fall) , eine mögliche geord-
nete Ziehung wäre etwa <Z,E,T,Z>, also einmal T, kein E,
zweimal Z und ein E, als Zahl geschrieben 1021 .
Herleitungen der obigen Formel (***) kann man unter
"Kombinationen mit Wiederholungen" im Netz finden.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:08 So 17.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
die Formel hatte ich eigentlich nur präsent, weil ich sie gerade hier ausführlicher behandelt habe. Ansonsten kann ich sie mir irgendwie schlecht merken...
Grüße
reverend
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