Stereometrie Pyramidenstumpf < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweise, dass der Rauminhalt eines Pyramidenstumpf:
V = [mm] \bruch{1}{3} \* [/mm] h [mm] \* (G1+\wurzel{G1\*G2} [/mm] + G2)
Hinweise
a) Stelle den Rauminhalt zunächst als Differenz zweier Rauminhalte dar und bringe sie auf die Form
V = [mm] \bruch{1}{3} \*(G1\*h+(G1-G2)\*x
[/mm]
b) setze den Ausdrück für x ein und benutze die binomische Formel
Anm.:
H= Höhe zwischen Grundfläche 1 und Grundfläche 2
x = Höhe der Ergänzungspyramide |
Hallo,
ich hänge bei dieser Aufgabe an einer Stelle der Umformung fest.
Ich bin mir recht sicher, dass meine bisheriegen Schritte ganz in ordnung waren und bin bei :
[mm] V=\bruch{1}{3} \*(G1\*h+\bruch{(G1-G2)\*\wurzel{G2}\*h}{\wurzel{G1-G2}}
[/mm]
gelandet. Bin mir nun relativ sicher, dass ich nun die binomische Formel anwenden muss, und lande dann bei :
[mm] V=\bruch{1}{3} \*(G1\*h+\bruch{(\wurzel{G1-G2})\*(\wurzel{G1+G2})\*\wurzel{G2}\*h}{\wurzel{G1-G2}}
[/mm]
Der nächste Schritt lautet laut Lösungsheft :
[mm] \bruch{1}{4} \*h\*( [/mm] G1 + [mm] \wurzel{G1\*G2} )\* [/mm] G2
diesen Schritt kann ich nun garnicht mehr nachvollziehen.
Es würde mich freuen, wenn sich jemand findet, der mir diesen ausführlich erklären kann.
Greets Mark
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 So 28.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Beweise, dass der Rauminhalt eines Pyramidenstumpf:
>
> V = [mm]\bruch{1}{3} \*[/mm] h [mm]\* (G1+\wurzel{G1\*G2}[/mm] + G2)
>
> Hinweise
> a) Stelle den Rauminhalt zunächst als Differenz zweier
> Rauminhalte dar und bringe sie auf die Form
>
> V = [mm]\bruch{1}{3} \*(G1\*h+(G1-G2)\*x[/mm]
>
> b) setze den Ausdrück für x ein und benutze die
> binomische Formel
>
>
> Anm.:
> H= Höhe zwischen Grundfläche 1 und Grundfläche 2
> x = Höhe der Ergänzungspyramide
> Hallo,
> ich hänge bei dieser Aufgabe an einer Stelle der
> Umformung fest.
> Ich bin mir recht sicher, dass meine bisheriegen Schritte
> ganz in ordnung waren und bin bei :
>
> [mm]V=\bruch{1}{3} \*(G1\*h+\bruch{(G1-G2)\*\wurzel{G2}\*h}{\wurzel{G1-G2}}[/mm]
>
> gelandet. Bin mir nun relativ sicher, dass ich nun die
> binomische Formel anwenden muss, und lande dann bei :
>
> [mm]V=\bruch{1}{3} \*(G1\*h+\bruch{(\wurzel{G1-G2})\*(\wurzel{G1+G2})\*\wurzel{G2}\*h}{\wurzel{G1-G2}}[/mm]
Bis hier ist alles korrekt, auch deine Gedanken dazu.
>
>
> Der nächste Schritt lautet laut Lösungsheft :
>
> [mm]\bruch{1}{4} \*h\*([/mm] G1 + [mm]\wurzel{G1\*G2} )\*[/mm] G2
>
> diesen Schritt kann ich nun garnicht mehr nachvollziehen.
Okay, dann schrittweise:
Du hast:
$$ [mm] V=\bruch{1}{3}\left(G_{1}h+\bruch{(\wurzel{G_{1}-G_{2}})(\wurzel{G_{1}+G_{2}})\wurzel{G_{2}}h}{\wurzel{G_{1}-G_{2}}}\right) [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{\text{Kürzen}}{=}\bruch{1}{3}\left(G_{1}h+\wurzel{G_{1}+G_{2}}\wurzel{G_{2}}h\right) [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{\text{Zusammenfassen}}{=}\bruch{1}{3}\left(G_{1}h+\wurzel{(G_{1}+G_{2})G_{2}}h\right) [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{\text{h ausklammern}}{=}\bruch{1}{3}h\left(G_{1}+\wurzel{(G_{1}+G_{2})G_{2}}\right) [/mm] $$
Viel weiter komme ich jetzt aber auch nicht.
> Es würde mich freuen, wenn sich jemand findet, der mir
> diesen ausführlich erklären kann.
> Greets Mark
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 So 28.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo
>
> > Beweise, dass der Rauminhalt eines Pyramidenstumpf:
> >
> > V = [mm]\bruch{1}{3} \*[/mm] h [mm]\* (G1+\wurzel{G1\*G2}[/mm] + G2)
> >
> > Hinweise
> > a) Stelle den Rauminhalt zunächst als Differenz zweier
> > Rauminhalte dar und bringe sie auf die Form
> >
> > V = [mm]\bruch{1}{3} \*(G1\*h+(G1-G2)\*x[/mm]
> >
> > b) setze den Ausdrück für x ein und benutze die
> > binomische Formel
> >
> >
> > Anm.:
> > H= Höhe zwischen Grundfläche 1 und Grundfläche 2
> > x = Höhe der Ergänzungspyramide
> > Hallo,
> > ich hänge bei dieser Aufgabe an einer Stelle der
> > Umformung fest.
> > Ich bin mir recht sicher, dass meine bisheriegen
> Schritte
> > ganz in ordnung waren und bin bei :
> >
> > [mm]V=\bruch{1}{3} \*(G1\*h+\bruch{(G1-G2)\*\wurzel{G2}\*h}{\wurzel{G1-G2}}[/mm]
>
> >
Hallo,
das kann nicht stimmen. Da in deinem Term [mm] \wurzel{G1-G2} [/mm] vorkommt, muss G1>G2 sein, also ist G1 die Grundfläche der ganzen Pyramide, von der die Spitze abgeschnitten wird.
Da bereits die ganze Pyramide das Volumen [mm] \bruch{1}{3} \*G1\*h [/mm] besitzt, muss der Stumpf ein kleineres Volumen haben. Hier werden aber noch weitere Bestandteile addiert, obwohl man subtrahieren muss.
Gruß Abakus
> > gelandet. Bin mir nun relativ sicher, dass ich nun die
> > binomische Formel anwenden muss, und lande dann bei :
> >
> > [mm]V=\bruch{1}{3} \*(G1\*h+\bruch{(\wurzel{G1-G2})\*(\wurzel{G1+G2})\*\wurzel{G2}\*h}{\wurzel{G1-G2}}[/mm]
>
> Bis hier ist alles korrekt, auch deine Gedanken dazu.
> >
> >
> > Der nächste Schritt lautet laut Lösungsheft :
> >
> > [mm]\bruch{1}{4} \*h\*([/mm] G1 + [mm]\wurzel{G1\*G2} )\*[/mm] G2
> >
> > diesen Schritt kann ich nun garnicht mehr nachvollziehen.
>
> Okay, dann schrittweise:
>
> Du hast:
>
> [mm]V=\bruch{1}{3}\left(G_{1}h+\bruch{(\wurzel{G_{1}-G_{2}})(\wurzel{G_{1}+G_{2}})\wurzel{G_{2}}h}{\wurzel{G_{1}-G_{2}}}\right)[/mm]
>
> [mm]\stackrel{\text{Kürzen}}{=}\bruch{1}{3}\left(G_{1}h+\wurzel{G_{1}+G_{2}}\wurzel{G_{2}}h\right)[/mm]
>
> [mm]\stackrel{\text{Zusammenfassen}}{=}\bruch{1}{3}\left(G_{1}h+\wurzel{(G_{1}+G_{2})G_{2}}h\right)[/mm]
> [mm]\stackrel{\text{h ausklammern}}{=}\bruch{1}{3}h\left(G_{1}+\wurzel{(G_{1}+G_{2})G_{2}}\right)[/mm]
>
> Viel weiter komme ich jetzt aber auch nicht.
>
> > Es würde mich freuen, wenn sich jemand findet, der mir
> > diesen ausführlich erklären kann.
> > Greets Mark
>
> Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 So 28.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast Fehler in deiner Formelfür x
im Nenner steht nicht [mm] \wurzel{G1-G2} [/mm] sondern [mm] \wurzel{G1}-\wurzel{G2}
[/mm]
ebenso ist G1-G2 als Binom falsch geschrieben.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hm, ja auf
[mm] \bruch{1}{3}\*(G1\*h+\wurzel{G1}+\wurzel{G2}\*h)
[/mm]
bin ich auch gekommen.War mir nicht sicher, on das richtig ist, den wie kommt man von dieser Formel, durchj Umformung nun auf :
[mm] \bruch{1}{3}\*h \*(G1+\+\wurzel{G1\*G2}+G2) [/mm] ????
Danke euch schonmal für euere bisherige Unterstützung
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 So 28.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]\bruch{1}{3}\*(G1\*h+\wurzel{G1}+\wurzel{G2}\*h)[/mm]
wie du auf die Formel kommst ist mir schleierhaft, auf jeden Fall ist sie falsch.
ich hab das doch auch nirgends mit bewusstsein hingeschrieben warum sgst du dann "auch"
Was ist denn dein x aus der Anleitung?
rechne doch mal Schritt für Schritt vor.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ok, also
V = [mm] \bruch{1}{3}\*G1(h+x)-\bruch{1}{3}\*G2\*x
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}\*G1\*h+G1\*x-\bruch{1}{3}\*G2\*x
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}\*G1\*h+(G1-G2)\*x
[/mm]
nun setze ich den Term für x ein
= [mm] \bruch{1}{3}\*(G1\*h+\bruch{(G1-G2)\*\wurzel{G2}\*h}{\wurzel{G1}-\wurzel{G2}}
[/mm]
nun verwende ich die binomische Formel
= = [mm] \bruch{1}{3}\*(G1\*h+\bruch{(\wurzel{G1}-\wurzel{G2})\*(\wurzel{G1}+\wurzel{G2)}\wurzel{G2}\*h}{\wurzel{G1}-\wurzel{G2}}
[/mm]
nun würde ich kürzen:
= [mm] \bruch{1}{3}\* (G1\*h+\wurzel{G1}+\wurzel{G2}\*h)
[/mm]
Hm, wenn ich einen fehler gemacht habe, kann mir jemand sagen, wo er liegt und wie ich nun weiter komme bis zu
V = [mm] \bruch{1}{3}\*h\*(G1+\wurzel{G1\*G2}+G2)
[/mm]
?
Bin für jede Unterstützung dankbar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mo 29.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Windbeutel
> ok, also
>
> V = [mm]\bruch{1}{3}\*G1(h+x)-\bruch{1}{3}\*G2\*x[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{3}\*G1\*h+G1\*x-\bruch{1}{3}\*G2\*x[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{3}\*G1\*h+(G1-G2)\*x[/mm]
>
> nun setze ich den Term für x ein
>
> =
> [mm]\bruch{1}{3}\*(G1\*h+\bruch{(G1-G2)\*\wurzel{G2}\*h}{\wurzel{G1}-\wurzel{G2}}[/mm]
>
> nun verwende ich die binomische Formel
>
> = =
> [mm]\bruch{1}{3}\*(G1\*h+\bruch{(\wurzel{G1}-\wurzel{G2})\*(\wurzel{G1}+\wurzel{G2)}\wurzel{G2}\*h}{\wurzel{G1}-\wurzel{G2}}[/mm]
bis hierher alles richtig.
> nun würde ich kürzen:
>
> = [mm]\bruch{1}{3}\* (G1\*h+\wurzel{G1}+\wurzel{G2}\*h)[/mm]
Das ist falsch, 1. fehlt eine Klammer, 2. ein Faktor
richtig ist:
[mm]\bruch{1}{3}\* (G1\*h+(\wurzel{G1}+\wurzel{G2})\*\wurzel{G2}\*h)[/mm]
Dass das falsch war, konnt man auch an den geachten Einhieten sehen.: G*h ist ein Volumen, dazu addierst du [mm] \wurzel{G} [/mm] eine Länge, dann [mm] \wurzel{G}*h [/mm] eine Fläche!
und was soll Volumen+Länge +Fläche sein.
(so seh ich sofort, wenn etwas schlimm falsch ist! dann such ich gezieltr den Fehler, dein eine Zeile darüber stand da noch alle Summanden mit derselben Einheit. Merk dir die Art der Fehlersuche, die man bei Anwendungsaufgaben immer verwenden kann)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:14 Di 30.03.2010 | | Autor: | Windbeutel |
Danke für deine Hilfe
|
|
|
|
