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Stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:09 Mi 03.12.2014
Autor: Skippy05

Aufgabe
Hallo,

Ich verstehe nicht warum diese Funktion stetig ist.


[mm] $f(x):[0,1]\to \IR,$ n\in \IN, f(x)=x^n$ [/mm]


Kann mir jmd das bitte erklären, Danke!

        
Bezug
Stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:38 Do 04.12.2014
Autor: andyv

Hallo,

das kann man etwa aus [mm] $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k$ [/mm] folgern.

Vielleicht ist auch bekannt, dass Produkte stetiger Funktionen stetig sind. Daraus folgt die Stetigkeit von f induktiv, denn g(x)=x ist trivialerweise stetig.

Liebe Grüße

Bezug
        
Bezug
Stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:59 Do 04.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> Ich verstehe nicht warum diese Funktion stetig ist.
>  
>
> [mm]$f(x):[0,1]\to \IR,$ n\in \IN, f(x)=x^n$[/mm]

da sollte $f [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] stehen, nicht [mm] $f\red{(x)} \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR\,.$ [/mm]

Nebenbei: Die Funktion ist sogar stetig auf [mm] $\IR\,.$ [/mm]

Die Stetigkeit (sogar auf [mm] $\IR$) [/mm] folgt direkt mit "stetig=folgenstetig":
Sei [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] und es konvergiere [mm] $(x_k)_k$ [/mm] gegen [mm] $x_0\,.$ [/mm] Dann ist

    [mm] $\lim_{k \to \infty}f(x_k)=\lim_{k \to \infty} ({x_k}^n)=(\lim_{k \to \infty}x_k)^n={x_0}^n=f(x_0)=f(\lim_{k \to \infty}x_k)\,.$ [/mm]

Die zweite Gleichheit ist eine bekannte Rechenregel für (eine) konvergente
Folge(n).

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:12 Do 04.12.2014
Autor: fred97

Mit dem Tipp von andyv kannst Du folgern:

$ |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] n*|x-y|$  für alle $x.y [mm] \in [/mm] [0,1]$.

Das bedeutet: $f$ ist auf [0,1] nicht nur stetig, sondern dort auch Lipschitzstetig.

FRED

Bezug
        
Bezug
Stetig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:23 Do 04.12.2014
Autor: Skippy05

Vielen Dank an alle!!

Bezug
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