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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Sa 05.05.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Durch H(f)(x)=f'(x) wird eine Abbildung H: [mm] C^1 ([0,2\pi]) [/mm] -> [mm] C([0,2\pi]) [/mm] definiert. Anhand der Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] (x) = 1/n sin(nx) zeige man, dass H nicht stetig an [mm] f_0 [/mm] (x) =0 ist, wenn man auf beiden Funkionenräumen [mm] (C^1 ([0,2\pi]) [/mm] als Teilraum von [mm] C([0,2\pi]) [/mm] die Normen [mm] ||.||_\infty [/mm] oder [mm] ||.||_2 [/mm] verwendet |
[mm] H(f_n) [/mm] (x) = [mm] f_n' [/mm] (x)
H(1/n sin(nx)) (x) = cos(nx)
[mm] ||f_n (x)||_\infty [/mm] = || sin(nx) /n [mm] ||_\infty [/mm] <= ||1/n [mm] ||_\infty [/mm]
[mm] H(f_0(x))= [/mm] cos(0)=1
Ich schaff das nicht ganz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 So 06.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
gegen welche Funktion konvergiert $( [mm] f_n [/mm] )$? Wäre [mm] $\,H$ [/mm] stetig, so müßte die Folge $ [mm] \bigl(H(f_n)\bigr)$ [/mm] gegen die Funktion
$ [mm] H(\lim f_n) [/mm] $ konvergieren. Zeige, daß dem nicht so ist.
viel Erfolg,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 So 06.05.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo;)
> gegen welche Funktion konvergiert [mm]( f_n )[/mm]?
WIe schätze ich das ab, durch betrag oder norm?
[mm] |f_n [/mm] (x)| =|sin(nx) /n |<=|1/n |
für n-> [mm] \infty
[/mm]
was gegen 0 geht
> Wäre [mm]\,H[/mm]
> stetig, so müßte die Folge [mm]\bigl(H(f_n)\bigr)[/mm] gegen die
> Funktion
> [mm]H(\lim f_n)[/mm] konvergieren. Zeige, daß dem nicht so ist.
ZZ: $ [mm] \bigl(H(f_n)\bigr)=cos(nx) [/mm] $strebt nicht gegen die Funktion $ [mm] H(\lim f_n) [/mm] $= H(0) =0
Ich werte die Funktion bei 0 aus: cos(0)=1, hier strebt sie nicht gegen 0
Angabe steht aber:
> ..., wenn man auf beiden Funkionenräumen $ [mm] (C^1 ([0,2\pi]) [/mm] $ als Teilraum von $ [mm] C([0,2\pi]) [/mm] $ die Normen $ [mm] ||.||_\infty [/mm] $ oder $ [mm] ||.||_2 [/mm] $ verwendet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 So 06.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Wir setzen [mm] g_n:=H(f_n), [/mm] also [mm] g_n(x)=cos(nx).
[/mm]
Die Frage ist, ob [mm] (g_n) [/mm] in der Norm [mm] ||*||_{\infty} [/mm] oder in der Norm [mm] ||*||_2 [/mm] gegen 0 strebt, ob also
[mm] (||g_n||_{\infty}) [/mm] eine Nullfolge ist , bzw. ob [mm] (||g_n||_{2}) [/mm] eine Nullfolge ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 So 06.05.2012 | | Autor: | sissile |
$ [mm] (||g_n||_{\infty}) [/mm] $ = sup | [mm] g_n| [/mm] = 1
->keine konvergenz.
$ [mm] (||g_n||_{2}) [/mm] $ = [mm] \sqrt()
[/mm]
Skalarprodukt von cos(nx)
[mm] \frac{1}{2\pi} [/mm] * [mm] \int_0^{2\pi} [/mm] cos(nx) * cos(nx) dx
nx=t
n dx = dt
[mm] \int \frac{cos(t)*cos(t)}{n} [/mm] dt = [mm] \frac{\frac{sin(t) * cos(t) +t}{2}}{n} [/mm] = [mm] \frac{sin(t) *cos(t) +t}{2n} [/mm] = [mm] \frac{ sin(nx) * cos(nx)+nx}{2n}
[/mm]
wenn ich die Grenzen einsetzte
[mm] \frac{1}{2\pi} *\pi= [/mm] 1/2
$ [mm] (||g_n||_{2}) [/mm] $ = [mm] \sqrt(1/2)
[/mm]
Ist das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm](||g_n||_{\infty})[/mm] = sup | [mm]g_n|[/mm] = 1
> ->keine konvergenz.
>
> [mm](||g_n||_{2})[/mm] = [mm]\sqrt()[/mm]
>
> Skalarprodukt von cos(nx)
> [mm]\frac{1}{2\pi}[/mm] * [mm]\int_0^{2\pi}[/mm] cos(nx) * cos(nx) dx
>
> nx=t
> n dx = dt
>
> [mm]\int \frac{cos(t)*cos(t)}{n}[/mm] dt = [mm]\frac{\frac{sin(t) * cos(t) +t}{2}}{n}[/mm]
> = [mm]\frac{sin(t) *cos(t) +t}{2n}[/mm] = [mm]\frac{ sin(nx) * cos(nx)+nx}{2n}[/mm]
>
> wenn ich die Grenzen einsetzte
> [mm]\frac{1}{2\pi} *\pi=[/mm] 1/2
>
> [mm](||g_n||_{2})[/mm] = [mm]\sqrt(1/2)[/mm]
>
> Ist das falsch?
Nein.
FRED
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