Stetig differenzierbare Funkt < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle [mm] \phi \varepsilon C^{\infty}(R^{2}) [/mm] mit kompakten Träger, also
[mm] \forall \phi \varepsilon C^{\infty}(R^{2}) [/mm] : [mm] -\integral_{}^{}{u(x-y,0)*(\bruch{\partial\phi(x,y)}{\partial x}+\bruch{\partial\phi(x,y)}{\partial y}) dxdy}=0
[/mm]
gilt - u(x-y,0) ist auf jeder kompakten Menge integrierbar, aber nicht unbedingt differenzierbar. |
Also mein Problem ist, dass ich gar nicht verstehe was erstens die aussage ist, warum das immer gelten soll und wie ich den Beweis beginnen kann!?
Danke schon mal für eure hilfe!!
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Mo 08.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Zeigen Sie, dass für alle [mm]\phi \varepsilon C^{\infty}(R^{2})[/mm]
> mit kompakten Träger, also
> [mm]\forall \phi \varepsilon C^{\infty}(R^{2})[/mm] :
> [mm]-\integral_{}^{}{u(x-y,0)*(\bruch{\partial\phi(x,y)}{\partial x}+\bruch{\partial\phi(x,y)}{\partial y}) dxdy}=0[/mm]
>
> gilt - u(x-y,0) ist auf jeder kompakten Menge integrierbar,
> aber nicht unbedingt differenzierbar.
> Also mein Problem ist, dass ich gar nicht verstehe was
> erstens die aussage ist, warum das immer gelten soll und
> wie ich den Beweis beginnen kann!?
Die Aussage ist, dass das oben genannte Integral 0 ist.
Wenn $u(x-y,0)$ stetig diff'bar ist, kannst du die Aussage leicht per partieller Integration beweisen.
Bleibt also noch die Verallgemeinerung auf nicht diff'bare Funktionen.
Viele Grüße
Rainer
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Also ich habe es jetzt mal probiert und hänge bei dem term. ich habe das integral zuerst aufgeteilt und dann den teil [mm] mit\bruch{\partial\phi(x,y)}{\partial x} [/mm] partiell nach x integriert und den anderen nach y:
[mm] -\integral_{}^{}{u(x-y,0)\cdot{}\phi dy}+\integral_{}^{}{\bruch{\partial u(x-y,0)}{\partial x}\cdot{}\phi dxdy}-\integral_{}^{}{u(x-y,0)\cdot{}\phi dx}+\integral_{}^{}{\bruch{\partial u(x-y,0)}{\partial y}\cdot{}\phi dxdy}=...
[/mm]
wie komm ich da nun weiter oder bin ich hier schon falsch?
und wie soll das gehen wenn ich nicht nach u differenzieren darf?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Mo 08.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich habe es jetzt mal probiert und hänge bei dem
> term. ich habe das integral zuerst aufgeteilt und dann den
> teil [mm]mit\bruch{\partial\phi(x,y)}{\partial x}[/mm] partiell nach
> x integriert und den anderen nach y:
>
> [mm]-\integral_{}^{}{u(x-y,0)\cdot{}\phi dy}+\integral_{}^{}{\bruch{\partial u(x-y,0)}{\partial x}\cdot{}\phi dxdy}-\integral_{}^{}{u(x-y,0)\cdot{}\phi dx}+\integral_{}^{}{\bruch{\partial u(x-y,0)}{\partial y}\cdot{}\phi dxdy}=...[/mm]
>
> wie komm ich da nun weiter oder bin ich hier schon falsch?
> und wie soll das gehen wenn ich nicht nach u
> differenzieren darf?!
Deine Umformung ist richtig, wenn u stetig diff'bar ist. Jetzt wendest du die Kettenregel auf die partiellen Ableitungen von u an.
Zum allgemeinen Fall: Untersuche die Symmetrieeigenschaften des Integranden unter Vertauschung von x und y!
Viele Grüße
Rainer
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ok die zwei terme mit der ableitung fallen dann wirklich ganz einfach raus aber warum ergeben die zwei anderen 0?
[mm] -\integral_{}^{}{u(x-y,0)\cdot{}\phi dy}-\integral_{}^{}{u(x-y,0)\cdot{}\phi dx}=0 [/mm] ??
und den allgemeinen fall um den es eigentlich geht versteh ich nicht ganz. ich kann schon bei der anfangsgleichung ohne partielle integration durch vergleichen der symmetrien etwas erkennen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 10.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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