Stetig ergänzbar (?) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mo 03.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | | Es sei [mm] f:\IC\backslash\{0\}\to\IC [/mm] mit [mm] f(z)=\bruch{Re(z)^{2}}{|z|^{2}}. [/mm] ist f im punkt z=0 stetig ergänzbar? |
Hallo,
Das ist der erste Teil einer Aufgabe.
Man müsste hier doch zeigen, dass der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist? Aber der komplexe Zahlbereich verwirrt mich.
Wenn ich im Reellen wäre und müsste z.B. an der stelle x=3 untersuchen, so würde ich doch einmal 3+h (h>0) einsetzen und h dann gegen 0 gehn lassen und dann analog mit 3-h oder?
Den Gedankengang hab ich nicht aus der Vorlesung, sondern lediglich aus Büchern und bin daher mit dem Thema noch nicht SO vertraut.
Aber diese Aufgabe versteh ich nicht ganz oder mir fällt einfach die Anwendung schwer.
Danke vielmals. Gruß
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> Es sei f: [mm]\IC/{0} \to \IC[/mm] mit f(z) =
> [mm]\bruch{Re(z)^{2}}{|z|^{2}}.[/mm] ist f im punkt z=0 stetig
> ergänzbar?
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> Hallo,
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> Das ist der erste Teil einer Aufgabe.
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> Man müsste hier doch zeigen, dass der linksseitige
> Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist? Aber der
> komplexe Zahlbereich verwirrt mich.
>
> Wenn ich im Reellen wäre und müsste z.B. an der stelle
> x=3 untersuchen, so würde ich doch einmal 3+h (h>0)
> einsetzen und h dann gegen 0 gehn lassen und dann analog
> mit 3-h oder?
>
> Den Gedankengang hab ich nicht aus der Vorlesung, sondern
> lediglich aus Büchern und bin daher mit dem Thema noch
> nicht SO vertraut.
>
> Aber diese Aufgabe versteh ich nicht ganz oder mir fällt
> einfach die Anwendung schwer.
>
> Danke vielmals. Gruß
Wenn dir die komplexen Zahlen hier etwas Mühe bereiten:
wie wär's dann zum Beispiel mit Polarkoordinaten ?
Setze $\ z=x+i*y$ , [mm] |z^2|=x^2+y^2=r^2 [/mm] , $\ x=Re(z)$ und
[mm] \frac{x}{r}=cos(\varphi) [/mm] .
Aus $\ f(z)$ wird dann [mm] (cos(\varphi))^2 [/mm] .
Schau dann, wie dieser Ausdruck sich verhält, wenn man
$\ z$ (bzw. den Betrag $\ [mm] |z|=r\,$) [/mm] gegen Null streben lässt !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mo 03.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..geht das nicht auch auf dem "normalen" Wege? Sry XD Nur komme ich mit Polarkoordinaten noch weniger klar. Ich versuch aber nochmal, dein beispiel zu verstehn. Aber geht das nicht irgendwie anders?
EDIT: Ich versteh zwar, wie du auf die "neue" Funktion kommst, aber da hab doch einen winkel, wie soll ich da den betrag von z einsetzen?
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> Hmm..geht das nicht auch auf dem "normalen" Wege? Sry XD
> Nur komme ich mit Polarkoordinaten noch weniger klar. Ich
> versuch aber nochmal, dein beispiel zu verstehn. Aber geht
> das nicht irgendwie anders?
Es geht natürlich auch anders. Bekanntlich führen viele
Wege nach Rom - und glücklicherweise auch an andere
Destinationen ...
In der gaußschen Ebene kannst du dich dem Nullpunkt
beispielsweise auf geradlinigen Wegen nähern - und dies
aus einer beliebigen Richtung, also mit beliebigem
(jeweils konstant gehaltenen) Winkel [mm] \varphi [/mm] und mit gegen
Null strebendem Abstand $\ r$ .
Diese Betrachtung (und die der entsprechenden Cosinus-
werte) sollte zur Beantwortung der Frage genügen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mo 03.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Naja, ich versteh ja schon, was du da schreibst, aber ich versuch irgendwie zu verstehn, wie man das sauber formal hinschreibt (nicht dass deins jetzt unverständlich war ;)) Sry.
Also, bei den Polarkoordinaten von eben versteh ich schon, wie du auf f(x) = [mm] cos(\varphi)^{2} [/mm] kommst. Aber wie prüft man dann, ob das stetig ergänzbar ist. Bisher ist da ja "nur" eine Umformung. Muss ich da jetzt [mm] \varphi [/mm] +h (h>0) einsetzen? Wie beim reellen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Hans11 |
Hallo
Du hast jetzt aber nicht wie im Reellen eine Funktion von einer reellen Veränderlichen, sondern von zwei Reellen.
Dein Ziel ist es jetzt zu überprüfen, ob der Grenzwert für z-->0 existiert. z-->0 kannst du durch r-->0 realisieren (Wenn der Betrag der Zahl klein wird, geht die Zahl gegen 0).
Dein Ausdruck für f(z) (in Polarkoordinaten) ist aber unabhängig von r, was passiert also im Limes r-->0?
Das Argument der komplexen Zahl ist übrigens beliebig, kannst dich ja von verschiedenen Richtungen der komplexen Null annähern.
Gruß
Hans
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mo 03.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke erstmal.
Hmm..wenn r jetzt gegen 0 geht, dann ändert sich an f(z) doch garnichts. Dann ist es doch egal, von welcher Richtung ich da komme? Also kann man daraus folgern, dass f im Punkt z=0 stetig ergänzbar ist.
Versteh ich das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Hans11 |
Ja, das ist richtig, an f(z) ändert sich dann nichts.
Aber wieso sollte es egal sein, von welcher Richtung du kommst?
Betrachte doch mal zwei verschiedene Richtungen, mit denen man sich z=0 annähern kann. Setze also für den Winkel geeignete Werte ein.
Kommt beides mal dasselbe heraus?
Gruß
Hans
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mo 03.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Also, wenn man verschiedene Werte für den Winkel einsetzt, dann sollte nicht dasselbe rauskommen. Aber betrachtet man bei der Stetigkeit in dem Fall den Grenzwert und der wäre doch gleich, also immer (cos [mm] \varphi)^{2}
[/mm]
Oder hab ich da was falsch verstanden? Wie würde man denn jetzt begründen, dass f im Punkt z=0 stetig ergänzbar ist? Danke vielmals.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Hans11 |
Das ist richtig, dass da nicht dasselbe herauskommen muss.
Aber was heißt denn das jetzt, wenn ich mich z=0 von verschiedenen Seiten nähere, aber nicht dasselbe herausbekomme.
Existiert der Grenzwert?
Gruß
Hans
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mo 03.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Naja, der Grenzwert müsste eindeutig sein, aber in dem Fall wäre dem nicht so. Dann wäre f bei z= 0 aber gerade nicht stetig ergänzbar?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Hans11 |
Das sehe ich auch so.
Als Zusatzaufgabe könntest du noch versuchen, dass kartesisch zu rechnen und zu prüfen, ob das konsistent mit dieser Rechnung ist.
Gruß
Hans
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 03.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..wie würde man denn da herangehn? Ich würde das gerne mal so versuchen. Danke übrigens nochmal für deine Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Hans11 |
Du kannst erst schreiben f(x,y)=x²/(x²+y²)
Dann kannst du dir mal zwei verschiedene gegen (0,0) konvergente Folgen anschauen.
Was macht dann die Bildfolge?
Gruß
Hans
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Mi 05.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Für positives t ist
f(t) = 1
und
f(it)=0.
Hilft das ?
FRED
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