Stetig ergänzbar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Stetige Ergänzbarkeit in Abgängigkeit des Definitionsbereichs:
Die Funktionen in dieser Aufgabe sind in 0 nicht definiert, aber "in der Nähe davon". Es stellt sich die Frage, ob die Funktionen in 0 stetig ergänzbar sind. Wenn das geht, dann bekanntlich nur durch den Wert [mm] lim_{x\to0 \inD}g(x), [/mm] wobei D der Definitionsbereich von g ist.
a) Zeigen Sie, dass [mm] g:\IR^{2}\setminus\{0\}\to\IR^{2} [/mm] mit g(x):= [mm] \bruch{1}{|x|}\*x [/mm] in (0,0) nicht stetig ergänzbar werden kann.
b) Zeigen Sie, dass [mm] g:\{x\in\IR^{2}:x_{1}>\wurzel{x_{2}}\} \to\IR^{2} [/mm] mit g(x):= [mm] \bruch{1}{|x|}\*x [/mm] in (0,0) stetig ergänzt werden kann durch den Wert [mm] e_{1}. [/mm] |
Hallo,
also die a) habe ich schon gelöst, denke ich, indem ich [mm] (u,v)\inx [/mm] für [mm] x\in\IR^{2} [/mm] gewählt habe und verschiedene Folgen, die gegen 0 konvergieren für g(u,v) eingesetzt habe, also zum Beispiel [mm] g(0,\bruch{1}{n}) [/mm] und [mm] g(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}) [/mm] und für diese die Funktion gegen verschiedene Werte konvergiert hat.
Bei b) jedoch komme ich nicht weiter und habe dementsprechend Fragen, denn ich brauche unbedingt Tipps, wie man mit dem neuen Definitionsbereich umgeht und was er verändert, wenn ich die stetige Ergänzbarkeit zeige.
Normalerweise würde ich ja [mm] |g(x_{1},x_{2}), [/mm] g(0,0)| < [mm] \varepsilon [/mm] zeigen, diesmal wird dies denke ich nur für x aus dem Definitionsbereich gelten, also denke ich für [mm] g(x_{1},x{2})=\bruch{1}{|(x_{1},x_{2})|}\*(x_{1},x_{2}), [/mm] für die die Ungleichung gilt. Doch wie vereine ich das mit der Stetigkeitsdefinitiin und was ist mit dem Wert [mm] e_{1} [/mm] gemeint, die Exponentialfunktion oder ein beliebiges e?
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Hiho,
> also die a) habe ich schon gelöst, denke ich, indem ich [mm](u,v)\inx[/mm] für [mm]x\in\IR^{2}[/mm] gewählt habe und verschiedene
Folgen, die gegen 0 konvergieren für g(u,v) eingesetzt
habe, also zum Beispiel [mm]g(0,\bruch{1}{n})[/mm] und
[mm]g(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})[/mm] und für diese die Funktion
gegen verschiedene Werte konvergiert hat.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und was ist mit dem Wert [mm]e_{1}[/mm] gemeint, die Exponentialfunktion oder ein beliebiges e?
Damit steht und fällt die gesamte Aufgabe. [mm] e_1 [/mm] meint wohl den "ersten" Basisvektor des [mm] \IR^2 [/mm] (wobei die Notation echt unglücklich ist).
Und dann geh da mit der "normalen" Stetigkeitsdefinition ran.
Betrachte also [mm] $|g(x_1,x_2) [/mm] - [mm] e_1|$ [/mm] und dann verwende die gegebene Abschätzung um zu zeigen, dass das kleiner als Epsilon wird für [mm] $(x_1,x_2) \to [/mm] 0$
Gruß,
Gono.
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Okay, also ich habe dann ja dort stehen:
[mm] |(\bruch{x_{1}}{\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}},\bruch{x_{2}} {\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}})-e_{1}| [/mm] und das soll ich quasi dadurch abschätzen:
[mm] x_{1}>\wurzel{x_{2}} \gdw x_{1}^{2}>x_{2} [/mm] ?
Jedoch stört mich das [mm] e_{1}, [/mm] weil ich ja den ganzen Ausdruck in den Beträgen gegen [mm] (x_{1},x_{2}) \to [/mm] (0,0) schicken muss, ist [mm] e_{1}=(1,0)?
[/mm]
Ich habe jetzt zur Übersicht erst einmal versucht die im Tupel stehenden Ausdrücke einzeln abzuschätzen das ist mir nur wie folgt gelungen:
[mm] \bruch{x_{2}}{\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}} \le \bruch{x_{1}^{2}}{\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}} \le \bruch{x_{1}^{2}}{\wurzel{x_{1}^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{x_{1}^{2}}{x_{1}}= x_{1} \to [/mm] 0
[mm] \bruch{x_{1}}{\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}} \le \bruch{x_{1}}{\wurzel{x_{1}^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{x_{1}}{x_{1}} [/mm] = 1 [mm] \to [/mm] 1
Ich würde dann auf [mm] |(1,0)-(1,0)|=0<\varepsilon [/mm] hinauszukommen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 So 19.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, also ich habe dann ja dort stehen:
>
> [mm]|(\bruch{x_{1}}{\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}},\bruch{x_{2}} {\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}})-e_{1}|[/mm]
> und das soll ich quasi dadurch abschätzen:
>
> [mm]x_{1}>\wurzel{x_{2}} \gdw x_{1}^{2}>x_{2}[/mm] ?
>
> Jedoch stört mich das [mm]e_{1},[/mm] weil ich ja den ganzen
> Ausdruck in den Beträgen gegen [mm](x_{1},x_{2}) \to[/mm] (0,0)
> schicken muss, ist [mm]e_{1}=(1,0)?[/mm]
wenn ihr Elemente des [mm] $\IR^2$ [/mm] als Zeilenvektoren schreibt, und das sieht ja so
aus, so macht doch alles andere keinen Sinn. Ich verstehe hier auch die
Problematik nicht: Das ist eine gängige Notation. Tatsächlich wäre es sogar
noch besser, etwa [mm] $e_k^{(n)}$ [/mm] oder sowas zu schreiben, für $k=1,...,n,$ wenn [mm] $e_k^{(n)}$ [/mm]
den [mm] $k\,$-ten [/mm] Einheitsvektor des [mm] $\IR^n$ [/mm] bezeichnen soll. Hier ist aber eh
stets [mm] $n=2\,,$ [/mm] daher spart man sich das!
In [mm] $e_1$ [/mm] die eulersche Zahl [mm] $e\,$ [/mm] zu sehen, zumal Deine Abbildung nach [mm] $\IR^2$ [/mm] abbildet(!),
ist für mich etwa so naheliegend, wie in [mm] $\sum_{i=1}^9 i\,$ [/mm] in [mm] $i\,$ [/mm] die komplexe Einheit
zu sehen, die läuft...
> Ich habe jetzt zur Übersicht erst einmal versucht die im
> Tupel stehenden Ausdrücke einzeln abzuschätzen das ist
> mir nur wie folgt gelungen:
(I)
> [mm]\bruch{x_{2}}{\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}} \le \bruch{x_{1}^{2}}{\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}} \le \bruch{x_{1}^{2}}{\wurzel{x_{1}^{2}}}[/mm] = [mm]\bruch{x_{1}^{2}}{x_{1}}= x_{1} \to[/mm] 0
(II)
> [mm]\bruch{x_{1}}{\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}} \le \bruch{x_{1}}{\wurzel{x_{1}^{2}}}[/mm] = [mm]\bruch{x_{1}}{x_{1}}[/mm] = 1 [mm]\to[/mm] 1
>
> Ich würde dann auf [mm]|(1,0)-(1,0)|=0<\varepsilon[/mm]
> hinauszukommen?
Wegen ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 8.17 (klick!) reicht es in der Tat, Dich auf (die
reellwertigen) Koordinatenfolgen zu konzentrieren:
Wegen des Definitionsbereiches hier: [mm] $\{x\in\IR^{2}:x_{1}>\wurzel{x_{2}}\}$ [/mm] gilt [mm] $(x_1,x_2) \to [/mm] (0,0)$ genau dann,
[mm] $x_1 \to 0\,.$ [/mm] Außerdem hast Du auch richtig erkannt, dass bei [mm] $x=(x_1,x_2)$ [/mm] aus diesem
Definitionsbereich [mm] $x_1 [/mm] > 0$ und [mm] $x_2 \ge [/mm] 0$ sein müssen.
Bei der ersten Abschätzung (die ja für die ZWEITE Koordinate gilt!) sieht alles
gut aus: Da kann man noch [mm] $\sqrt{x_1^2}=|x_1|$ [/mm] ergänzen, aber das muss man
nicht: wegen [mm] $x_1 [/mm] > 0$ hast Du richtigerweise direkt [mm] $\sqrt{x_1^2}=x_1$ [/mm] benutzt!
Die zweite Abschätzung bringt Dir NICHTS (das ist die für die erste Koordinate):
Nur, weil [mm] $|(-1)^n| \le [/mm] 2$ gilt, ist [mm] $((-1)^n)_n$ [/mm] trotzdem nicht konvergent.
Du musst halt
[mm] $$\left|\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}\red{\;\;-\;\;1}\right|$$
[/mm]
abschätzen! Die rote 1 kommt daher, weil das die erste Koordinate von [mm] $e_1$
[/mm]
ist! (Es ist ja [mm] $(x,\,y)-(r,\;s):=(x-r,\;y-s)\,,$ [/mm] wobei man linkerhand für die Differenzenbildung
zweier [mm] $\IR^2$-Elemente [/mm] auch besser erstmal [mm] $\ominus$ [/mm] etwa schreiben sollte...)
Hier wäre die Idee, erstmal auszunutzen:
[mm] $$\left|\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}\red{\;\;-\;\;1}\right|=\left|\frac{x_1-\sqrt{x_1^2+x_2^2}}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}\right|=\frac{\sqrt{x_1^2+x_2^2}-x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}\le \frac{\sqrt{x_1^2+x_2^2}-\sqrt{x_2}}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}$$
[/mm]
Jetzt erweitere mit [mm] $\sqrt{x_1^2+x_2^2}+\sqrt{x_2}\,.$ [/mm] Der Zähler des Bruches,
denn Du dann siehst, wird weiterhin [mm] $>0\,$ [/mm] sein (warum) und im Nenner stehen dann
nur noch positive Summanden. Du vergößerst diesen Bruch, indem Du die
Summanden, bei denen "kein Wurzelterm" mehr steht, streichst. Ich hoffe
mal, dass das am Ende passt (ich hab's nur grob weitergerechnet)!
Gruß,
Marcel
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>
> Hier wäre die Idee, erstmal auszunutzen:
>
> [mm]\left|\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}\red{\;\;-\;\;1}\right|=\left|\frac{x_1-\sqrt{x_1^2+x_2^2}}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}\right|=\frac{\sqrt{x_1^2+x_2^2}-x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}\le \frac{\sqrt{x_1^2+x_2^2}-\sqrt{x_2}}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}[/mm]
>
Okay, ich habe das jetzt des öfteren mit deiner Abschätzng versucht, bin damit jedoch nie bis zum Ende gekommen. Habe dann aber deine Anfangsidee außer die letzte Abschätzung übernommen und dann hat es funktioniert, ich fange mal da an, bis wohin du auch gekommen warst:
(Ich schreibe es aber mit [mm] x_{1}=x [/mm] und [mm] x_{2}=y, [/mm] weil es im Latex einfacher ist.)
[mm] \bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}-x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}+y^{2}-x^{2}}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}\*(\wurzel{x^{2}+y^{2}}-x)} [/mm] = [mm] \bruch{y^{2}}{x*\wurzel{x^{2}+y^{2}}+x^{2}+y^{2}} \le \bruch{y^{2}}{x\*\wurzel{x^{2}+y^{2}}} \le \bruch{x^{2}}{\wurzel{y}*\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{y}*y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} \le \bruch{\wurzel{y}*y}{\wurzel{y^{2}}} [/mm] = [mm] \wurzel{y} \to [/mm] 0
Darf ich das so machen, oder geht das doch anders?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > Hier wäre die Idee, erstmal auszunutzen:
> >
> >
> [mm]\left|\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}\red{\;\;-\;\;1}\right|=\left|\frac{x_1-\sqrt{x_1^2+x_2^2}}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}\right|=\frac{\sqrt{x_1^2+x_2^2}-x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}\le \frac{\sqrt{x_1^2+x_2^2}-\sqrt{x_2}}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}[/mm]
>
> >
>
>
> Okay, ich habe das jetzt des öfteren mit deiner
> Abschätzng versucht, bin damit jedoch nie bis zum Ende
> gekommen.
Ja, das kann sein. Ich rechne mein's vielleicht mal zu Ende, vielleicht sehe
ich dann, warum ich zu grob abgeschätzt habe, wenn Du da recht hast!
> Habe dann aber deine Anfangsidee außer die
> letzte Abschätzung übernommen und dann hat es
> funktioniert,
Das klingt doch gut! 
> ich fange mal da an, bis wohin du auch
> gekommen warst:
> (Ich schreibe es aber mit [mm]x_{1}=x[/mm] und [mm]x_{2}=y,[/mm] weil es im
> Latex einfacher ist.)
Gute Idee, hätte ich auch schon machen sollen. 
> [mm]\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}-x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm] = [mm]\bruch{x^{2}+y^{2}-x^{2}}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}\*(\wurzel{x^{2}+y^{2}}\red{\text{ -- }}x)}[/mm]
Das rote Minus im Nenner ist sicher ein +, Du rechnest ja auch mit 'nem + weiter...!
> = [mm]\bruch{y^{2}}{x*\wurzel{x^{2}+y^{2}}+x^{2}+y^{2}} \le \bruch{y^{2}}{x\*\wurzel{x^{2}+y^{2}}} \le \bruch{x^{2}}{\wurzel{y}*\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
Wieso gilt denn [mm] $y^2 \sqrt{y} \le x^2*x$? [/mm] Das kann man sicher sagen,
wenn $0 < y < [mm] 1\,:$
[/mm]
Aus [mm] $\sqrt{y} [/mm] < [mm] x\,,$ [/mm] was wir ja nach Voraussetzung haben, folgt [mm] $y\sqrt{y} [/mm] < [mm] x^3\,.$ [/mm] Ist nun $0 < y < [mm] 1\,,$ [/mm]
so folgt [mm] $y^2 \le [/mm] y$ und damit
[mm] $$y^2 \sqrt{y} \le [/mm] y [mm] \sqrt{y} [/mm] < [mm] x^3\,.$$
[/mm]
Da machst Du aber einen gedanklichen Schnellschuss und vergisst zu erwähnen,
dass Du hier o.E. $0 < y < [mm] 1\,$ [/mm] annehmen kannst!
> = [mm]\bruch{\wurzel{y}*y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
Wieso ist jetzt [mm] $x^2/\sqrt{y} \red{\;=\;}y\sqrt{y}$?
[/mm]
> [mm]\le \bruch{\wurzel{y}*y}{\wurzel{y^{2}}}[/mm] = [mm]\wurzel{y} \to[/mm] 0
>
> Darf ich das so machen, oder geht das doch anders?
Hast Du da Verschreiber drin? Denn so sehe ich gerade nicht, wie sich das
retten läßt. Guck' nochmal drüber bitte. Ich schau' mal, ob das nicht so
zu Ende geht, wie ich es dachte...
Gruß,
Marcel
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Ja, ich habe mich verschrieben, konnte es aber leider nicht mehr bearbeite, weil du grade am Werk warst.
Ich meinte natürlich weiterhin y und vorher auch +, ich hab es jetzt einmal abfotografiert, dort ist hoffentlich kein verschreiber mehr drin:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, ich habe mich verschrieben, konnte es aber leider nicht
> mehr bearbeite, weil du grade am Werk warst.
> Ich meinte natürlich weiterhin y und vorher auch +, ich
> hab es jetzt einmal abfotografiert, dort ist hoffentlich
> kein verschreiber mehr drin:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
also soweit ich das sehe sieht das so wirklich gut aus!
(Warten wir mal ab, ob es noch jemand anderes kontrolliert!)
Und ich glaube, so, wie ich das machen wollte, wäre es tatsächlich nicht
gegangen! Schöne Lösung - und ich finde auch nicht, dass man unbedingt
einen einfacheren Weg finden muss!
Gruß,
Marcel
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