Stetig fortsetzen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f [mm] \in [/mm] C([a,b]) [mm] \cap [/mm] D((a,b))
Ang f'(x) lässt sich stetig nach [a,b) fortsetzten.
-> f in a differenzierbar und f' stetig auf [a,b) |
Hallo
In SKriptum steht leider keine Definition für den Begriff "Stetig Fortsetzten", was bedeutet dieser mathematisch formuliert denn genau?
Wie ich das den beweis entnommen haben ist f'(x) an a stetig forsetztbar wenn [mm] lim_{h>0,h->0} [/mm] f'(a+h) existiert?
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Hallo,
> f [mm]\in[/mm] C([a,b]) [mm]\cap[/mm] D((a,b))
> Ang f'(x) lässt sich stetig nach [a,b) fortsetzten.
> -> f in a differenzierbar und f' stetig auf [a,b)
> Hallo
> In SKriptum steht leider keine Definition für den Begriff
> "Stetig Fortsetzten", was bedeutet dieser mathematisch
> formuliert denn genau?
Eine Funktion $f: D [mm] \to \IR$ [/mm] ist stetig fortsetzbar auf [mm] $\hat [/mm] D$, wenn eine stetige Funktion [mm] $\hat f:\hat [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] existiert mit $f = [mm] \hat [/mm] f$ auf $D$.
> Wie ich das den beweis entnommen haben ist f'(x) an a
> stetig forsetztbar wenn [mm]lim_{h>0,h->0}[/mm] f'(a+h) existiert?
Ja. Das ist sozusagen einfach die Stetigkeitsdefinition von $f'$ an der Stelle a. Entsprechend wird f' dann bei a durch $f'(a) := [mm] \lim_{h\to 0, h > 0}f'(a+h)$ [/mm] stetig fortgesetzt.
Viele Grüße,
Stefan
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Danke für die Definition, aber wieso ist so wichtig dass h>0 ist.? Das ich doch dann nur der einseitige Grenzwert?Der Grenzwert auf der anderen seite existiert doch dann gar nicht, weil die Funktion keine werte hat.So kann keine differenzierbarkeit von f' in a möglich sein oder?
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Hallo,
> Danke für die Definition, aber wieso ist so wichtig dass
> h>0 ist.?
Weil die Funktion nur dort definiert ist.
Gewissermaßen ist es nur eine zusätzliche Information. Der Grenzwert kann ohnehin nur auf dem Definitionsbereich der Funktion f gebildet werden.
> Das ich doch dann nur der einseitige
> Grenzwert?
Ja, weil die Funktion nur dort definiert ist.
> Der Grenzwert auf der anderen seite existiert
> doch dann gar nicht, weil die Funktion keine werte hat.So
> kann keine differenzierbarkeit von f' in a möglich sein
> oder?
Doch. Sobald man schreibt [mm] $\lim_{x\to x_0}f(x)$ [/mm] mit einer Funktion [mm] $f:D\to \IR$, [/mm] meint man eigentlich immer [mm] $\lim_{x\to x_0, x \in D}f(x)$. [/mm] Man kann Grenzwerte nur dort bilden, wo auch der Ausdruck im Grenzwert Sinn hat.
Daher ist das "h > 0" im Grenzwert zunächst nur als Ausformulierung der Def. des Grenzwerts zu sehen.
Siehe z.B. auch hier: ![[]](/images/popup.gif) GW auf Wiki
Viele Grüße,
Stefan
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