Stetig, (partiell) diff'bar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Do 24.07.2008 | | Autor: | jedi84 |
| Aufgabe | Gegeben ist [mm] f:R^2\to [/mm] R mit
[mm] f(x,y):=\bruch{x^2y}{x^2+y^2},(x,y)\not=(0,0)
[/mm]
f(x,y):=0, (x,y)=(0,0)
Ist f im Nullpunkt stetig, partiell differenzierbar, differenzierbar? |
Hallo,
die Lösungen zu der Aufgabe habe ich, was mich interessiert, ist, wie man allgemein an solche Aufgaben heran geht.
Ich erhalte für die partiellen Ableitungen
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{2xy^3}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
und
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=\bruch{x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
Nur sehe ich jetzt noch immer nicht, dass f stetig im Nullpunkt ist (was aber der Fall ist), dass f im Nullpunkt partiell differentierbar ist und das f im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.
Danke im Voraus!
Gruß Jens
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Hallo Jens,
> Gegeben ist [mm]f:R^2\to[/mm] R mit
> [mm]f(x,y):=\bruch{x^2y}{x^2+y^2},(x,y)\not=(0,0)[/mm]
> f(x,y):=0, (x,y)=(0,0)
> Ist f im Nullpunkt stetig, partiell differenzierbar,
> differenzierbar?
> Hallo,
>
> die Lösungen zu der Aufgabe habe ich, was mich
> interessiert, ist, wie man allgemein an solche Aufgaben
> heran geht.
>
> Ich erhalte für die partiellen Ableitungen
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{2xy^3}{(x^2+y^2)^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=\bruch{x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> Nur sehe ich jetzt noch immer nicht, dass f stetig im
> Nullpunkt ist (was aber der Fall ist), dass f im Nullpunkt
> partiell differentierbar ist und das f im Nullpunkt nicht
> differenzierbar ist.
Für den Stetigkeitsnachweis rechne in Polarkoordinaten, da wird alles wunderbar einfach:
Setze [mm] $x=r\cdot{}\cos(\phi)$, $y=r\cdot{}\sin(\phi)$, [/mm] wobei $r$: Länge des Vektors $(x,y)$ ist und [mm] $\phi$ [/mm] der Winkel, den $(x,y)$ mit der x-Achse einschließt.
Betrachte [mm] $\lim\limits_{r\downarrow 0} [/mm] ...$
Für den Nachweis der Existenz der partiellen Ableitungen bemühe mal die Definition:
Berechne [mm] $\lim\limits_{t\to 0}\frac{f((0,0)+t\cdot{}\vec{e}_i)-f((0,0))}{t}$, [/mm] $i=1,2$ und [mm] $\vec{e}_i$ [/mm] die Einheitsvektoren $(1,0), (0,1)$
Das ist auch nicht "wild"
Was die (totale) Diffbarkeit bzw. Nicht-Diffbarkeit in $(0,0)$ angeht, so würde ich auch da die Definition der totalen Diffbarkeit bemühen (habe ich aber jetzt noch nicht nachgerechnet)
>
> Danke im Voraus!
>
> Gruß Jens
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Do 24.07.2008 | | Autor: | jedi84 |
Erstmal danke für die schnelle Antwort.
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, setze ich in f einfach die Polarkoordinaten für x und y ein und erhalte
[mm] f(x,y)=\bruch{r^3cos^2(\phi)sin(\phi)}{r^2(cos^2(\phi)+sin^2(\phi))}=r cos^2(\phi)sin(\phi)
[/mm]
Der Grenzwert wäre dann wohl 0, auch wenn ich bisher nur vermute, dass [mm] \phi=0 [/mm] gilt für [mm] r\to [/mm] 0. Aber selbst wenn nicht, wäre ja cos*sin <= 1 und damit der Grenzwert 0.
An die Definition muss ich mich wohl nochmal setzen, denn das sagt mir im Moment noch gar nichts.
Darf man eigentlich generell immer eine Funktion so umschreiben, dass man (x,y) durch [mm] (r*cos(\phi),r*sin(\phi)) [/mm] ersetzt?
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Hallo nochmal,
> Erstmal danke für die schnelle Antwort.
> Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, setze ich in f
> einfach die Polarkoordinaten für x und y ein und erhalte
>
> [mm]f(x,y)=\bruch{r^3cos^2(\phi)sin(\phi)}{r^2(cos^2(\phi)+sin^2(\phi))}=r cos^2(\phi)sin(\phi)[/mm]
>
> Der Grenzwert für [mm] \red{r\downarrow 0} [/mm] wäre [mm] \red{\text{ist}} [/mm] dann wohl 0, auch wenn ich bisher nur
> vermute, dass [mm]\phi=0[/mm] gilt für [mm]r\to[/mm] 0. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Da kann ich dir nicht ganz folgen, entscheidend ist hier, dass der obige Limes unabhängig vom Winkel [mm] $\phi$ [/mm] gegen 0(=f((0,0))) geht !
Aber selbst wenn
> nicht, wäre ja [mm] \red{|}\cos\red{^2(\phi)}*sin\red{(\phi)|} [/mm] <= 1 und damit der Grenzwert 0.
Eben, der GW ist also unabh. vom Winkel, egal wie sehr du auch rumeierst, um dich auf (0,0) zuzubewegen, der GW ist unabhängig vom Rumgeeiere 0
>
> An die Definition muss ich mich wohl nochmal setzen, denn
> das sagt mir im Moment noch gar nichts.
>
> Darf man eigentlich generell immer eine Funktion so
> umschreiben, dass man (x,y) durch [mm](r*cos(\phi),r*sin(\phi))[/mm]
> ersetzt?
Im [mm] $\IR^2$ [/mm] schon, im [mm] $\IR^3$ [/mm] hat du zB. auch Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten (räumliche Polarkoordis) - das kann man auch auf höhere Dimensionen verallgemeinern
Schaue doch mal ![[]](/images/popup.gif) hier vorbei ..
LG
schachuzipus
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