Stetig und Differenzierbar < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:16 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Definition:Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle [mm] x_{0},falls \limes_{x\rightarrow\x_{0}} f(x)=f(x_{0}).
[/mm]
Zeige,dass eine an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] differenzierbare Funktion dort auch stetig ist,die Umkehrung im Allgemeinen jedoch nicht gilt.
Anleitung:Beachte,dass [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} f(x)=f(x_{0}) [/mm] gleichbedeutend mit [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} (f(x)-f(x_{0}))=0 [/mm] ist. |
Hallo ^^
Ich versuche grad diese Aufgabe zu rechnen.Ich wieß aber nicht ob meine Ansätze so stimmen.
Ich hab zunächst eine Funktion ausgesucht,hab mal einfach [mm] x^{2} [/mm] genommen und soll ja zeigen,dass wenn sie an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar ist,dann ist sie auch dort stetig.
Also hab ich mal mit demm Diff-Quotienten angefangen.
[mm] \bruch{x^{2}-(x_{0})^{2}}{x-x_{0}}=\bruch{(x-x_{0})*(x+x_{0})}{x-x_{0}}=x+x_{0}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} [/mm] --> [mm] x_{0}+x_{0}=2x_{0}.
[/mm]
Ok,damit weiß ich schon mal,dass die Funktion differenzierbar ist.
Dann steht da,dass eine Funktion stetig ist,wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} (f(x)-f(x_{0}))=0 [/mm] ist. Also setz ich einfach [mm] x^{2} [/mm] ein.
Dann hab ich doch [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}}(x^{2}-(x_{0})^{2})=0
[/mm]
= [mm] (x_{0})^{2})-(x_{0})^{2})=0
[/mm]
Das heißt also,dass die Funktion in [mm] x_{0} [/mm] auch stetig ist.
Stimmt das bis hierhin so?
Jetzt weiß ich aber nicht,wie ich zeigen soll,dass die Umkehrung im Allgemeinen nicht gilt ???
lg
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> Definition:Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle
> [mm]x_{0},falls \limes_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0}).[/mm]
>
> Zeige,dass eine an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] differenzierbare
> Funktion dort auch stetig ist,die Umkehrung im Allgemeinen
> jedoch nicht gilt.
> Anleitung:Beachte,dass [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})[/mm]
> gleichbedeutend mit [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} (f(x)-f(x_{0}))=0[/mm]
> ist.
> Hallo ^^
>
> Ich versuche grad diese Aufgabe zu rechnen.Ich wieß aber
> nicht ob meine Ansätze so stimmen.
> Ich hab zunächst eine Funktion ausgesucht,hab mal einfach
> [mm]x^{2}[/mm] genommen und soll ja zeigen,dass wenn sie an der
> Stelle [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar ist,dann ist sie auch dort
> stetig.
> Also hab ich mal mit demm Diff-Quotienten angefangen.
>
> [mm]\bruch{x^{2}-(x_{0})^{2}}{x-x_{0}}=\bruch{(x-x_{0})*(x+x_{0})}{x-x_{0}}=x+x_{0}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] --> [mm]x_{0}+x_{0}=2x_{0}.[/mm]
>
> Ok,damit weiß ich schon mal,dass die Funktion
> differenzierbar ist.
> Dann steht da,dass eine Funktion stetig ist,wenn
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} (f(x)-f(x_{0}))=0[/mm] ist. Also
> setz ich einfach [mm]x^{2}[/mm] ein.
> Dann hab ich doch
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}(x^{2}-(x_{0})^{2})=0[/mm]
Hallo,
==> [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}(x^{2})= x_0^2=f(x_0)
[/mm]
>
> Das heißt also,dass die Funktion in [mm]x_{0}[/mm] auch stetig ist.
>
> Stimmt das bis hierhin so?
Das würde so im Wesentlichen stimmen, wenn Du zeigen solltest, daß aus der Differenzierbarkeit der Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] deren Stetigkeit folgt.
Aber die Aufgabe ist allgemeiner gestellt: Du sollst zeigen, daß irgendeine beliebige Funktion, von der die Eigenschaft "differenzierbar in [mm] x_0" [/mm] bekannt ist, automatisch an der Stelle [mm] x_0 [/mm] stetig ist, daß also aus der Differenzierbarkeit stets die Stetigkeit folgt.
Du mußt also das, was Du oben mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] getan hast, ganz allgemein für f(x) durchführen.
So kannst Du anfangen: die Funktion f sei differenzierbar im Punkt [mm] x_0.
[/mm]
Dann gibt es den Differentialquotienten im Punkt [mm] x_0, [/mm] dh. es gibt eine Zahl a so, daß
[mm] a=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
[/mm]
==> [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*\limes_{x\rightarrow x_0}(x-x_0)
[/mm]
==> ???
==> ???
>
> Jetzt weiß ich aber nicht,wie ich zeigen soll,dass die
> Umkehrung im Allgemeinen nicht gilt ???
Um zu zeigen, daß irgendetwas nicht gilt, bringt amn am besten ein Gegenbeispiel.
Du sollst ja zeigen, daß aus der Stetigkeit nicht die Diffbarkeit folgt.
Du brauchst also eine Funktion, die an irgendeinem Punkt stetig ist, aber nicht diffbar in diesem Punkt.
Ein Tip zur Erleichterung der Suche: daß stetige Funktionen irgendwo nicht diffbar sind, erkennt man daran, daß der Graph an dieser Stelle nicht glatt ist, sondern einen Knick hat. Sieh Dich mal ein bißchen bei den Dir bekannten Funktionen um. (Und wenn Du keine findest, mußt Du eben eine bauen. das bekommst Du hin, wenn Du eine abschnittweise definierte Funktion so definierst, daß an einer Stelle zwei Geraden verschiedener Steigung zusammenstoßen.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:51 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Definition:Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle
> > [mm]x_{0},falls \limes_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0}).[/mm]
>
> >
> > Zeige,dass eine an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] differenzierbare
> > Funktion dort auch stetig ist,die Umkehrung im Allgemeinen
> > jedoch nicht gilt.
> > Anleitung:Beachte,dass [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})[/mm]
> > gleichbedeutend mit [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} (f(x)-f(x_{0}))=0[/mm]
> > ist.
> > Hallo ^^
> >
> > Ich versuche grad diese Aufgabe zu rechnen.Ich wieß aber
> > nicht ob meine Ansätze so stimmen.
> > Ich hab zunächst eine Funktion ausgesucht,hab mal
> einfach
> > [mm]x^{2}[/mm] genommen und soll ja zeigen,dass wenn sie an der
> > Stelle [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar ist,dann ist sie auch dort
> > stetig.
> > Also hab ich mal mit demm Diff-Quotienten angefangen.
> >
> >
> [mm]\bruch{x^{2}-(x_{0})^{2}}{x-x_{0}}=\bruch{(x-x_{0})*(x+x_{0})}{x-x_{0}}=x+x_{0}[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] --> [mm]x_{0}+x_{0}=2x_{0}.[/mm]
> >
> > Ok,damit weiß ich schon mal,dass die Funktion
> > differenzierbar ist.
> > Dann steht da,dass eine Funktion stetig ist,wenn
> > [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} (f(x)-f(x_{0}))=0[/mm] ist. Also
> > setz ich einfach [mm]x^{2}[/mm] ein.
> > Dann hab ich doch
> > [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}(x^{2}-(x_{0})^{2})=0[/mm]
>
> Hallo,
>
> ==> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}(x^{2})= x_0^2=f(x_0)[/mm]
>
> >
> > Das heißt also,dass die Funktion in [mm]x_{0}[/mm] auch stetig ist.
> >
> > Stimmt das bis hierhin so?
>
> Das würde so im Wesentlichen stimmen, wenn Du zeigen
> solltest, daß aus der Differenzierbarkeit der Funktion
> [mm]f(x)=x^2[/mm] deren Stetigkeit folgt.
>
> Aber die Aufgabe ist allgemeiner gestellt: Du sollst
> zeigen, daß irgendeine beliebige Funktion, von der die
> Eigenschaft "differenzierbar in [mm]x_0"[/mm] bekannt ist,
> automatisch an der Stelle [mm]x_0[/mm] stetig ist, daß also aus der
> Differenzierbarkeit stets die Stetigkeit folgt.
>
> Du mußt also das, was Du oben mit [mm]f(x)=x^2[/mm] getan hast, ganz
> allgemein für f(x) durchführen.
>
> So kannst Du anfangen: die Funktion f sei differenzierbar
> im Punkt [mm]x_0.[/mm]
>
> Dann gibt es den Differentialquotienten im Punkt [mm]x_0,[/mm] dh.
> es gibt eine Zahl a so, daß
>
> [mm]a=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.[/mm]
>
> ==> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*\limes_{x\rightarrow x_0}(x-x_0)[/mm]
>
> ==> ???
>
> ==> ???
ok,ist dann
==> 0=a*0
==> 0 ?
Ich versteh aber nicht so ganz.warum man jetzt dieses a braucht?
> >
> > Jetzt weiß ich aber nicht,wie ich zeigen soll,dass die
> > Umkehrung im Allgemeinen nicht gilt ???
>
> Um zu zeigen, daß irgendetwas nicht gilt, bringt amn am
> besten ein Gegenbeispiel.
>
> Du sollst ja zeigen, daß aus der Stetigkeit nicht die
> Diffbarkeit folgt.
>
> Du brauchst also eine Funktion, die an irgendeinem Punkt
> stetig ist, aber nicht diffbar in diesem Punkt.
> Ein Tip zur Erleichterung der Suche: daß stetige
> Funktionen irgendwo nicht diffbar sind, erkennt man daran,
> daß der Graph an dieser Stelle nicht glatt ist, sondern
> einen Knick hat. Sieh Dich mal ein bißchen bei den Dir
> bekannten Funktionen um. (Und wenn Du keine findest, mußt
> Du eben eine bauen. das bekommst Du hin, wenn Du eine
> abschnittweise definierte Funktion so definierst, daß an
> einer Stelle zwei Geraden verschiedener Steigung
> zusammenstoßen.)
Ja ich kenne lxl (Betrag von x).Die hat ja einen Knick in der Mitte.
Ich hab ja jetzt ein Gegenbeispiel,ist das dann schon damit bewiesen?
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> > > Definition:Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle
> > > [mm]x_{0},falls \limes_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0}).[/mm]
>
> >
> > >
> > > Zeige,dass eine an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] differenzierbare
> > > Funktion dort auch stetig ist,die Umkehrung im Allgemeinen
> > > jedoch nicht gilt.
> > > Anleitung:Beachte,dass [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})[/mm]
> > > gleichbedeutend mit [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} (f(x)-f(x_{0}))=0[/mm]
> > > ist.
> > > Hallo ^^
> > >
> > > Ich versuche grad diese Aufgabe zu rechnen.Ich wieß aber
> > > nicht ob meine Ansätze so stimmen.
> > > Ich hab zunächst eine Funktion ausgesucht,hab mal
> > einfach
> > > [mm]x^{2}[/mm] genommen und soll ja zeigen,dass wenn sie an der
> > > Stelle [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar ist,dann ist sie auch dort
> > > stetig.
> > > Also hab ich mal mit demm Diff-Quotienten
> angefangen.
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{x^{2}-(x_{0})^{2}}{x-x_{0}}=\bruch{(x-x_{0})*(x+x_{0})}{x-x_{0}}=x+x_{0}[/mm]
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] --> [mm]x_{0}+x_{0}=2x_{0}.[/mm]
> > >
> > > Ok,damit weiß ich schon mal,dass die Funktion
> > > differenzierbar ist.
> > > Dann steht da,dass eine Funktion stetig ist,wenn
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} (f(x)-f(x_{0}))=0[/mm] ist. Also
> > > setz ich einfach [mm]x^{2}[/mm] ein.
> > > Dann hab ich doch
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}(x^{2}-(x_{0})^{2})=0[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > ==> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}(x^{2})= x_0^2=f(x_0)[/mm]
> >
> > >
> > > Das heißt also,dass die Funktion in [mm]x_{0}[/mm] auch stetig ist.
> > >
> > > Stimmt das bis hierhin so?
> >
> > Das würde so im Wesentlichen stimmen, wenn Du zeigen
> > solltest, daß aus der Differenzierbarkeit der Funktion
> > [mm]f(x)=x^2[/mm] deren Stetigkeit folgt.
> >
> > Aber die Aufgabe ist allgemeiner gestellt: Du sollst
> > zeigen, daß irgendeine beliebige Funktion, von der die
> > Eigenschaft "differenzierbar in [mm]x_0"[/mm] bekannt ist,
> > automatisch an der Stelle [mm]x_0[/mm] stetig ist, daß also aus der
> > Differenzierbarkeit stets die Stetigkeit folgt.
> >
> > Du mußt also das, was Du oben mit [mm]f(x)=x^2[/mm] getan hast, ganz
> > allgemein für f(x) durchführen.
> >
> > So kannst Du anfangen: die Funktion f sei differenzierbar
> > im Punkt [mm]x_0.[/mm]
> >
> > Dann gibt es den Differentialquotienten im Punkt [mm]x_0,[/mm] dh.
> > es gibt eine Zahl a so, daß
> >
> > [mm]a=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.[/mm]
> >
>
> > ==> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*\limes_{x\rightarrow x_0}(x-x_0)[/mm]
>
> >
> > ==> ???
> >
> > ==> ???
>
> ok,ist dann
>
> ==> 0=a*0
>
> ==> 0 ?
>
> Ich versteh aber nicht so ganz.warum man jetzt dieses a
> braucht?
Hallo,
dies a brauchst Du für die Differenzierbarkeit.
Wie habt Ihr denn "Differenzierbarkeit" definiert?
Eine Funktion ist doch diffbar in [mm] x_0, [/mm] wenn der Differentialquotient, also der Limes des Differenzenquotienten an dieser Stelle existiert. Wenn er existiert, hat er einen Wert, und das ist mein a.
Vielleicht hättest Du es besser verstanden, wenn ich statt a lieber [mm] f'(x_0) [/mm] geschrieben hätte:
Die Funktion ist diffbar in [mm] x_0, [/mm] wenn die Ableitung - also der Limes des Differenzenquotienten - an dieser Stelle existiert.
> > ==> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*\limes_{x\rightarrow x_0}(x-x_0)[/mm]
Hieraus folgt nicht, wie Du oben schreibst
> ==> 0=a*0.
Die rechte Seite ist in Ordnung, aber wir wissen ja gar nicht, ob [mm] \lim_{x\to x_0}f(x) [/mm] überhaupt [mm] =f(x_0) [/mm] ist. Dazu müßten wir ja schon wissen, daß die Funktion stetig ist, und wir stehen ja auf dem Standpunkt, daß wir die Diffarkeit vorausgsetzt haben und die Stetigkeit erst zeigen wollen.
Aus [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*\limes_{x\rightarrow x_0}(x-x_0)[/mm] folgt
[mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*0=0[/mm]
==> [mm] 0=\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)-\limes_{x\rightarrow x_0}f(x_0) =\limes_{x\rightarrow x_0}f(x) [/mm] - ...
==> ???
==> ???
>
>
> Ja ich kenne lxl (Betrag von x).Die hat ja einen Knick in
> der Mitte.
> Ich hab ja jetzt ein Gegenbeispiel,ist das dann schon
> damit bewiesen?
Ja, genau an diese Funktion hatte ich auch gedacht.
Ob's bewiesen ist, hängt davon ab, was im Unterricht bereits behandelt wurde.
Habt Ihr gezeit, daß die betragsfunktion stetig ist im Punkt x=0?
Habt Ihr gezeigt, daß sie an dieser Stelle nicht differenzierbar ist?
Wenn ja, bist Du fertig. da hast Du ein Gegenbeispiel, mit welchem Du die Aussage "stetig ==> diffbar" widerlegen kannst.
Wenn die eiden Eigenschaften der Betragsfunktion nicht gezeigt wurden, mußt Du's noch tun. Normalerweise wird's aber im Unterrricht gemacht.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > ==> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*\limes_{x\rightarrow x_0}(x-x_0)[/mm]
>
> Hieraus folgt nicht, wie Du oben schreibst
>
> > ==> 0=a*0.
>
> Die rechte Seite ist in Ordnung, aber wir wissen ja gar
> nicht, ob [mm]\lim_{x\to x_0}f(x)[/mm] überhaupt [mm]=f(x_0)[/mm] ist. Dazu
> müßten wir ja schon wissen, daß die Funktion stetig ist,
> und wir stehen ja auf dem Standpunkt, daß wir die
> Diffarkeit vorausgsetzt haben und die Stetigkeit erst
> zeigen wollen.
>
> Aus [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*\limes_{x\rightarrow x_0}(x-x_0)[/mm]
> folgt
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*0=0[/mm]
Aber warum ist denn jetzt nur die rechte Seite 0?Bei der linken ist es doch quasi das selbe ???
> ==> [mm]0=\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)-\limes_{x\rightarrow x_0}f(x_0) =\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)[/mm]
> - ...
>
> ==> ???
>
> ==> ???
Ich versteh jetzt nicht was man da noch weiter rechnen soll.In der Aufgabe steht ja dass eine Funktion f stetig heißt wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} [/mm] ist und das ist ja das selbe wie [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} (f(x)-f(x_{0}))=0.Und [/mm] das haben wir ja schon stehn,also ist es doch bewiesen oder nicht?
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> > > > ==> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*\limes_{x\rightarrow x_0}(x-x_0)[/mm]
>
> >
> > Hieraus folgt nicht, wie Du oben schreibst
> >
> > > ==> 0=a*0.
> >
> > Die rechte Seite ist in Ordnung, aber wir wissen ja gar
> > nicht, ob [mm]\lim_{x\to x_0}f(x)[/mm] überhaupt [mm]=f(x_0)[/mm] ist. Dazu
> > müßten wir ja schon wissen, daß die Funktion stetig ist,
> > und wir stehen ja auf dem Standpunkt, daß wir die
> > Diffarkeit vorausgsetzt haben und die Stetigkeit erst
> > zeigen wollen.
> >
> > Aus [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*\limes_{x\rightarrow x_0}(x-x_0)[/mm]
> > folgt
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*0=0[/mm]
>
> Aber warum ist denn jetzt nur die rechte Seite 0?Bei der
> linken ist es doch quasi das selbe ???
>
> > ==> [mm]0=\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)-\limes_{x\rightarrow x_0}f(x_0) =\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)[/mm] - ...
> >
> > ==> ???
> >
> > ==> ???
>
> Ich versteh jetzt nicht was man da noch weiter rechnen
> soll.In der Aufgabe steht ja dass eine Funktion f stetig
> heißt wenn
[mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm][mm] f(x)=f(x_0)
[/mm]
> ist und das ist ja
> das selbe wie [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}} (f(x)-f(x_{0}))=0.Und[/mm]
> das haben wir ja schon stehn,also ist es doch bewiesen oder
> nicht?
Diese Mitteileung in Deiner Aufgabe ist m.E. so zu verstehen, daß Du weiterrechnen sollst, wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} (f(x)-f(x_{0}))=0 [/mm] dasteht.
Dir sit klar, daß [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} (f(x)-f(x_{0}))=0 [/mm] <==> [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} f(x)-\limes_{x\rightarrow\x_{0}}(f(x_{0})=0.
[/mm]
Und was ist [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}}(f(x_{0})? [/mm] Wenn Du nicht drauf kommst, überleg Dir, daß [mm] f(x_0) [/mm] ja irgendeine konstante Zahl ist.
Nach einem kl. Schritt hast Du dann [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm]f(x)=f(x_0), [/mm] und hieraus folgt di Stetigkeit.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> >
> > > > > ==> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*\limes_{x\rightarrow x_0}(x-x_0)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hieraus folgt nicht, wie Du oben schreibst
> > >
> > > > ==> 0=a*0.
> > >
> > > Die rechte Seite ist in Ordnung, aber wir wissen ja gar
> > > nicht, ob [mm]\lim_{x\to x_0}f(x)[/mm] überhaupt [mm]=f(x_0)[/mm] ist. Dazu
> > > müßten wir ja schon wissen, daß die Funktion stetig ist,
> > > und wir stehen ja auf dem Standpunkt, daß wir die
> > > Diffarkeit vorausgsetzt haben und die Stetigkeit erst
> > > zeigen wollen.
> > >
> > > Aus [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*\limes_{x\rightarrow x_0}(x-x_0)[/mm]
> > > folgt
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*0=0[/mm]
Hier hab ich noch ne Frage.
Warum ist denn jetzt nur die rechte Seite 0?Bei der
inken ist es doch quasi das selbe ???
> > > ==> [mm]0=\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)-\limes_{x\rightarrow x_0}f(x_0) =\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)[/mm]
> - ...
> > >
> > > ==> ???
> > >
> > > ==> ???
> >
> Diese Mitteileung in Deiner Aufgabe ist m.E. so zu
> verstehen, daß Du weiterrechnen sollst, wenn
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}} (f(x)-f(x_{0}))=0[/mm] dasteht.
>
> Dir sit klar, daß [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}} (f(x)-f(x_{0}))=0[/mm]
> <==> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}} f(x)-\limes_{x\rightarrow\x_{0}}(f(x_{0})=0.[/mm]
>
> Und was ist [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}}(f(x_{0})?[/mm] Wenn Du
> nicht drauf kommst, überleg Dir, daß [mm]f(x_0)[/mm] ja irgendeine
> konstante Zahl ist.
Ist [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}}(f(x_{0})=0?
[/mm]
>
> Nach einem kl. Schritt hast Du dann [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm][mm] f(x)=f(x_0),[/mm] [/mm]
> und hieraus folgt di Stetigkeit.
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> > > > Aus [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*\limes_{x\rightarrow x_0}(x-x_0)[/mm]
> > > > folgt
> > > >
> > > > [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a*0=0[/mm]
> Hier
> hab ich noch ne Frage.
> Warum ist denn jetzt nur die rechte Seite 0?Bei der
>l inken ist es doch quasi das selbe ???
Hallo,
nein, auf der linken Seite hast Du ein Problem:
Du weißt bisher nicht, was [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)) [/mm] ist!kommt da nur bei
[mm] f(x_0) [/mm] kommt da nur bei Funktionen raus, die stetig sind in [mm] x_0. [/mm] Aber daß f dort stetig ist, wissen wir noch nicht. Das zeigen wir ja erst.
Mal ein Beispiel.
Sei [mm] g(x)=\begin{cases} 3, & \mbox{für } x\not=5 \mbox{} \\ 7, & \mbox{für } x=5 \mbox{} \end{cases}.
[/mm]
Der Grenzwert von g(x) für [mm] x\to [/mm] 5 ist [mm] \limes_{x\rightarrow 5}(g(x)) [/mm] =3, das ist aber nicht der Funktionswert an der Stelle x=5, denn g(5) ist ja =7.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Okay,jetzt hab ichs verstanden.Damit sind wir doch dann fertig oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 Do 04.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo mandy
Ja, bis auf die Zusatzfrage von onthenightshift.
Gruss leduart
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also, meine frage ist warum gilt das:
$ [mm] a=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. [/mm] $
==> $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a\cdot{}\limes_{x\rightarrow x_0}(x-x_0) [/mm] $
[mm] \bruch{f(x)}{g(x)}
[/mm]
da ja gilt [mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow a}f(x)}{\limes_{x\rightarrow a}g(x)} [/mm]
wenn [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] g(x) ungleich 0 und [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] x-a = 0
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das gilt wohl weil :
[mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] g(x) * [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] [g(x) * f(x)]
nvm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Do 04.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Frage ist gut und berechtigt.
die Schreibweise des Beweises darf man so nicht machen.
es gilt:
$ [mm] a=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. [/mm] $
und es gilt:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] $ x-a = 0
jetzt muss man sagen: (Widerspruchsbeweis)
angenommen es gilt $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0)) \ne0
[/mm]
dann koennte der Grenzwert des Quotienten nicht endlich sein!
da wir aber wissen, dass er endlich ist muss gelten:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=0
[/mm]
Das wurde dann zu knapp, und damit eigentlich falsch aufgeschrieben.
(damit dus auch anschaulich verstehst, wenn eine fkt an einer stelle eine eindeutige Tangente hat, kann man sie in einer Umgebung des Punktes durch ihre Tangente ersetzen, und eine Gerade ist immer stetig (bis auf Parallelen zur y-Achse)
Anderer Weg, falls du die Schreibwiese kennst: ist f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar gilt:
[mm] f(x)=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)+k*(x-x_0)^2 [/mm] k endliche Zahl
Gruss leduart
Gruss leduart
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??? noch mal die frage, gilt das nicht doch da:
bedingung ist ja das f'(a) existiert
ich nehme an [mm] \bruch{f(x)-f(a)}{x-a} [/mm] = g(x) =>
[mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] g(x) = f'(a) = b
x-a = h(x)
[mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] x-a existiert und <=> [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] h(x)
=>
f'(a) = b
[mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] g(x) = b
[mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] h(x) * [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] g(x) = b * [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] h(x)
[mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] [h(x) * g(x)] = b * [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] h(x)
[mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] [f(x) - f(a)] = b * 0
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> ??? noch mal die frage, gilt das nicht doch da:
Hallo,
daran, daß die Aussage [mm] \lim_{x \to x_0}(f(x)-f(x_0))=0 [/mm] letztendlich gilt, hat ja auch leduart keinen Zweifel.
Es würde halt ein paar Schritte dazwischengehören.
Der Stein des Anstoßes ist doch dieser: ich hatte (angesiedelt irgendwo zwischen naßforsch und dumm) geschrieben
" $ [mm] a=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. [/mm] $
==> $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=a\cdot{}\limes_{x\rightarrow x_0}(x-x_0) [/mm] $",
was so, wie es jetzt dasteht, im Grunde falsch ist - auch wenn das Ergebnis stimmt.
Gruß v. Angela
>
> bedingung ist ja das f'(a) existiert
>
> ich nehme an [mm]\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}[/mm] = g(x) =>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] g(x) = f'(a) = b
>
>
> x-a = h(x)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] x-a existiert und <=>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] h(x)
>
> =>
>
> f'(a) = b
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] g(x) = b
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] h(x) * [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm]
> g(x) = b * [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] h(x)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] [h(x) * g(x)] = b *
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] h(x)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] [f(x) - f(a)] = b * 0
>
> ...
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