Stetig und Differenzierbarkeit < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 So 16.07.2006 | | Autor: | Ssan |
| Aufgabe |
Bestimme a und b so, dass die Funktion f mit
f(x) = [mm] ax^2+b [/mm] für x<1
[mm] \bruch{2}{x} [/mm] für x > 1
an der Stelle xo=1 stetig und differenzierbar ist.
Kontrolle durch Zeichnung! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Okay... Mein Problem ist, dass ich nicht auf den Ansatz komme.
Mir ist bewusst, welche Bedingungen es für Stetigkeit und Differenzierbarkeit gibt, aber ich kann die Aufgabe einfach nicht lösen weil ich nicht auf den Ansatz komme.
Bitte helft mir,
Wie kann ich so einfach a und b bestimmen? Was muss ich dafür tun?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 So 16.07.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Ssan,
die Vorgaben für die Lösung Deiner Aufgabe sind ja bereits gegeben.
An der Stelle x = 1 treffen zwei Kurven aufeinander, deren Funktionswert an dieser Stelle gleich sein soll, hieraus bekommst Du einer erste Gleichung für die beiden Unbekannten a und b (a+b =1). Soll die Kurve an dieser Stelle auch differenzierbar sein, so muss auch die erste Ableitung der beiden Kurven an dieser Stelle gleich sein. Hieraus bekommst Du die zweite Gleichung. Zwei Gleichungen und zwei Unbekannte, das lässt sich einfach auflösen und die Aufgabe ist fertig.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 So 16.07.2006 | | Autor: | Ssan |
| Aufgabe | xo=1
a+b = 1
f(x) = [mm] ax^2 [/mm] + b
f'(x) = 2ax
f(x) = [mm] \bruch{2}{x}
[/mm]
f'(x) = - [mm] \bruch{2}{x^2}
[/mm]
2ax = - [mm] \bruch{2}{x2} [/mm] |
Soweit komm ich, ab da weiß ich nicht mehr weiter. Ich kann deinen letzten Satz, dass ich dann ja zwei Unbekannte und zwei Gleichungen hab nicht nachvollziehen.... Bitte gebt mir die Lösung!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 So 16.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Wenn x=1 ist, sollen Funktionswert gleich sein und Anstieg gleich sein.
Das heißt:
x=1
[mm] a\*1²+b=\bruch{2}{1} \Rightarrow [/mm] a+b=2
Außerdem müssen die Anstiege der beiden Abschnitte gegen [mm] x_{0} [/mm] die selben werden.
Wenn man beide Ableitet und gleich setzt also:
2ax=- [mm] \bruch{2}{x²}
[/mm]
Da x ja auch hier 1 ist bleibt also nur stehen
2a=-2
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 So 16.07.2006 | | Autor: | Ssan |
| Aufgabe | Bestimme a und b so, dass die Funktion f mit
f(x) = [mm] ax^2 [/mm] + b für x < 1
[mm] \bruch{2}{x} [/mm] für x > 1
an der Stelle x0= 1 stetig und differenzierbar ist.
Kontrolle durch Zeichnung. |
Vielen Dank dafür!
Nur verstehe ich immernoch nicht, was jetzt 2a = - 2 damit zutun hat, dass ich a und b so bestimmen soll, dass die Funktion stetig und differenzierbar ist... Ich komm damit einfach nicht klar, ich weiß nicht wie man das anwenden muss. Kann ich bitte die Lösung zu der Aufgabe kriegen?
Ich krieg es alleine nicht auf die Reihe, ich kann die einzelnen Aufgabenteile nicht verbinden, bitte!
Dann die Zeichnung, was soll ich denn Zeichnen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 So 16.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Wenn die Funktion an dieser Stelle [mm] x_{0} [/mm] stetig sein soll, müssen beide "Teile" der Funktion auf einen Funktionswert zulaufen. Beide "Teile" auf den selben. Deshalb setzt du sie gleich, un weil [mm] x_{0} [/mm] ja in deiner Aufgabe 1 ist, kannst du für x=1 einsetzen.
Wenn die differenzierbar sein soll in [mm] x_{0}, [/mm] müssen die Anstiege von beiden "Teilen" der Funktion gegen [mm] x_{0} [/mm] gegen den selben Wert gehen, damit man immer eine Tangente anlegen könnte. Das heißt, dass beide Funktionsteile in [mm] x_{0} [/mm] den selben Anstieg haben müssen.
Denn wenn die eine Funktion da in [mm] x_{0} [/mm] einen Anstieg von 4 hat und die andere von -3, dann könnte man keien Tangente anlegen.
Sagen wir ax²+b=g(x) und [mm] \bruch{2}{x}=h(x).
[/mm]
Also muss gelten:
g(1)=h(1)
und
g'(1)=h'(1)
Damit Funktionswerte und Anstiege bei [mm] x_{0}=1 [/mm] gleich sind. Hoffe bis hierher hast dus jetzt besser verstanden :) Und weil du ja imemr nur die Stelle [mm] x_{0}=1 [/mm] betrachtest, kannst du für x immer 1 einsetzen.
Du kannst es so sehen:
g(x) und h(x) sollen die selben Funktionswerte haben, wenn x=1 ist.
Bei h(x) macht es dir ja kein problem zu sagen, wie der Funktionswert ist, wenn x=1 ist, nämlich 2. Da die Funktionswerte beide gleich sein sollen, muss g(x)=ax²+b auch gleich 2 sein.
[mm] \Rightarrow [/mm] ax²+b=2
Außerdem sollen g(x) und h(x) bei x=1 auch sein selben Anstieg haben.
Bei h(x) lässt es sich wieder leicht sagen, da du nur ableiten musst und dann kannst du ja den Anstieg einfach sehen, nämlich -2.
Und g(x) soll an der Stelle genau den selben Anstieg haben, also muss
g'(1)=2a auch gleich -2 sein, genau wie h'(x).
[mm] \Rightarrow [/mm] 2a=-2.
Damit kommst du auf a=-1 und b=3.
Damit kannst du deine Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} -x²+3, & \mbox{für } x \mbox{ <1} \\ \bruch{2}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases}
[/mm]
zeichnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 So 16.07.2006 | | Autor: | Ssan |
Vielen vielen Dank Teufel, jetzt hab ich das Prinzip verstanden UND kann sogar Zeichen, tausend Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 So 16.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem :) gern geschehn.
|
|
|
|
