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Forum "Stetigkeit" - Stetige Ergänzung
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Stetige Ergänzung: aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Do 28.01.2010
Autor: monstre123

Aufgabe
Gegeben sei eine die Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} e^{3x}, & \mbox{für } x<0 \\ x^{3}-4a, & \mbox{für } x>0 \end{cases} a\in\IR. [/mm]

(a) Bestimmen Sie [mm] \limes_{x\rightarrow0}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow0}f(x) [/mm] in Abhängigkeit von a. (soll heißen linksseitiger und rechtseitiger Grenzwert für x-->0)

(b) Für welchen Wert von a lässt sich die Funktion an der Stelle x=0 stetig ergänzen?

(a) wie soll man das ohne taschenrechner auf lins-und rechtsseitig überprüfen?

(b) ???

        
Bezug
Stetige Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Do 28.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo monstre,

> Gegeben sei eine die Funktion [mm]f(x)=\begin{cases} e^{3x}, & \mbox{für } x<0 \\ x^{3}-4a, & \mbox{für } x>0 \end{cases} a\in\IR.[/mm]
>  
> (a) Bestimmen Sie [mm]\limes_{x\red{\downarrow} 0}f(x)[/mm] und
> [mm]\limes_{x\red{\uparrow} 0}f(x)[/mm] in Abhängigkeit von a. (soll
> heißen linksseitiger und rechtseitiger Grenzwert für
> x-->0)
>  
> (b) Für welchen Wert von a lässt sich die Funktion an der
> Stelle x=0 stetig ergänzen?
>  (a) wie soll man das ohne taschenrechner auf lins-und
> rechtsseitig überprüfen?

Mit Zettel und Stift!

Für $x<0$ ist [mm] $f(x)=e^{3x}$ [/mm]

Also [mm] $\lim\limits_{x\uparrow 0}f(x)=\lim\limits_{x\uparrow 0}e^{3x}=e^0=1$ [/mm]

Für $x>0$ ist [mm] $f(x)=x^3-4a$ [/mm]

Also [mm] $\lim\limits_{x\downarrow 0}f(x)=\lim\limits_{x\downarrow 0}(x^3-4a)=0^3-4a=-4a$ [/mm]

>  
> (b) ???

Was muss denn für den linksseitigen und rechtsseitigen Limes gelten, damit Stetigkeit vorliegt?

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Stetige Ergänzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:13 Do 28.01.2010
Autor: monstre123

(a) ist zwar banal, aber ich wäre nie darauf gekommen, ohne taschenrechner :-(


> Was muss denn für den linksseitigen und rechtsseitigen
> Limes gelten, damit Stetigkeit vorliegt?

Es muss ein linksseitiger grenzwert vorhanden sein.

muss man die irgendwie gleichsetzen oder so, ich meine: 1=-4a  --> a=-1/4

Bezug
                        
Bezug
Stetige Ergänzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 Do 28.01.2010
Autor: monstre123

(a) ist zwar banal, aber ich wäre nie darauf gekommen, ohne taschenrechner :-(


> Was muss denn für den linksseitigen und rechtsseitigen
> Limes gelten, damit Stetigkeit vorliegt?

Es muss ein linksseitiger grenzwert vorhanden sein.

muss man die irgendwie gleichsetzen oder so, ich meine: 1=-4a  --> a=-1/4

Bezug
                                
Bezug
Stetige Ergänzung: gleiche Grenzwerte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:20 Do 28.01.2010
Autor: Loddar

Hallo monstre!


> > Was muss denn für den linksseitigen und rechtsseitigen
> > Limes gelten, damit Stetigkeit vorliegt?
>  
> Es muss ein linksseitiger grenzwert vorhanden sein.

Das auch! Aber rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert müssen übereinstimmen.


> muss man die irgendwie gleichsetzen oder so, ich meine:
> 1=-4a  --> a=-1/4

[ok]


Gruß
Loddar


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