Stetige Funktion mit Periode < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] f:\IR \to \IR [/mm] steitg. Wir nennen a>0 eine Periode von f, falls gilt:
f(x+a) = f(x) für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
Wir nennen f periodisch, wenn eine Periode a>0 von f existiert.
Es sei f periodisch. Zeigen Sie: f ist konstant, oder es geibt eine kleinste Periode a0 > 0 von f |
Okay ich bin nun wie folgt vorgegangen.
Ich definiere mir die Menge M:={ a>0 | a ist eine Periode von f}
Nun gilt: Eine kleinste Periode existiert genau dann, wenn das Minimum von M existiert.
für Teil 1) Nehme ich dann f konstant an und zeige, dass dann gilt: infM=0. Also existiert per Konstruktion keine kleinste Periode.
nun zu Teil 2) Ich nehme jetzt an f sei nicht konstant. Ich zeige inf(M) > 0 und dann inf(M):=C [mm] \in [/mm] M
Da f nicht konstant [mm] \exists [/mm] a,b mit a<b und [mm] f(a)\not=f(b)
[/mm]
Wegen Stetigkeit [mm] \exists [/mm] c mit a<c<b
[mm] \Rightarrow f(x)\not=f(a) [/mm] für alle x mit c<x<b (Zwischenwertsatz?)
Sei [mm] T\in(c-a,b-a) [/mm] eine Periode
[mm] \Rightarrow [/mm] c<a+T<b
[mm] \Rightarrow f(a+T)\not=f(a) [/mm] Also ein Widerspruch.
Folglich kann T nicht in diesem Intervall liegen.
Nun zeige ich, wenn T1,T2 in M liegen dann liegt auch T1+T2 in M. Also liegen auch alle vielfachen einer Periode in der Menge M.
Das Interval (c-a,b-a) hat eine Länge b-a-(c-a) = b-c.
Also gilt für T < b-c, es existiert ein vielfaches T´ von T s.d., T´ [mm] \in [/mm] (c-a,b-a) gilt. Also ein Widerspruch zu T bzw. T´Periode von f.
[mm] \Rightarrow [/mm] T>b-c>0 [mm] \Rightarrow [/mm] C:=inf(M) > 0
Also existiert eine Folge von Perioden die gegen C konvergieren. [mm] y_{k}:=T_{k} \to [/mm] C [mm] (k\to\infty)
[/mm]
Dann gilt wegen der Stetigkeit von f für ein beliebes [mm] x_{0}:
[/mm]
[mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] f(x_{0}+y_{k}) [/mm] (für alle k aus [mm] \IN)
[/mm]
= [mm] f(\limes_{l\rightarrow\infty}(x_{0}+y_{k}) [/mm] = [mm] f(x_{0}+C) [/mm]
Also C=Min(M).
Ich bin mir hier jedoch nicht sicher, ob das so alles richtig ist vorallem am Ende des Beweises. Eventuell kann ja ma jemand drüberschauen und paar Tipps / Vorschläge geben.
LG,
Struppi
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Hiho,
dein Beweis ist überflüssig, weil er nicht den zu zeigenden Satz beweist, sondern eben die von dir getroffene Aussage.
Du sollst zeigen: Es gibt eine kleinste Periode oder f ist konstant.
Du hast also zwei Möglichkeiten vorzugehen:
1. Du nimmst an es gibt keine kleinste Periode und zeigst dann, dass f konstant ist.
2. Du nimmst an f ist nicht konstant und zeigst dann, dass eine kleinste Periode existiert.
Einfacher ist sicherlich 1. weil sich das schnell zeigen lässt.
Mach dir klar, dass die Annahme "Es gibt keine kleinste Periode" dir eine Nullfolge [mm] (a_n) [/mm] liefert, so dass [mm] $f(x+a_n)=f(x)$ [/mm] gilt. Zeige damit und der Stetigkeit von f dass dann für jedes [mm] y\in\IR [/mm] gilt $f(0)=f(y)$
Gruß,
Gono
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Hallo, danke für deine Hilfe erstmal. Allerdings sind mir ein paar Sachen unklar.
Hab ich 2. nicht gezeigt bereits?
Naja trotzdem interessiert mich der Teil 1, weil ich hab hier irgendwie einen Denkfehler. Also ich weiss, wenn ich eine Periode habe, befindet sich jedes (ganze) Vielfache dieser Periode ebenfalls in der Menge. Da ich jetzt eine beliebig kleine Periode habe, folgt, dass die Perioden dicht in R liegen, weil ich ja in jeder Umgebung von x dann eine Periode finde.
Daraus folgt aber, dass es für ein beliebiges x aus R eine Folge aus Perioden gibt, die gegen dieses x konvergieren.
dann gilt f(x) = [mm] f(x-T_{n}+T_{n}) [/mm] = [mm] f(x-T_{n}) [/mm] -> f(0)
Wäre das dann nicht, das was ich zeigen möchte?
Leider sehe ich grad nicht wie ich mit der Nullfolge eine Folge definieren soll, die dann liefert f(x)=f(0).
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Hiho,
> Hab ich 2. nicht gezeigt bereits?
du hast zweitens aufgeführt, wirklich sauber ist der Beweis aber noch nicht. Und da das hier schneller geht....
> Naja trotzdem interessiert mich der Teil 1, weil ich hab
> hier irgendwie einen Denkfehler. Also ich weiss, wenn ich
> eine Periode habe, befindet sich jedes (ganze) Vielfache
> dieser Periode ebenfalls in der Menge. Da ich jetzt eine
> beliebig kleine Periode habe, folgt, dass die Perioden
> dicht in R liegen, weil ich ja in jeder Umgebung von x dann
> eine Periode finde.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Damit wärst du eigentlich schon fertig.
> Daraus folgt aber, dass es für ein beliebiges x aus R eine
> Folge aus Perioden gibt, die gegen dieses x konvergieren.
>
> dann gilt f(x) = [mm]f(x-T_{n}+T_{n})[/mm] = [mm]f(x-T_{n})[/mm] -> f(0)
>
>
> Wäre das dann nicht, das was ich zeigen möchte?
Ja.
>
> Leider sehe ich grad nicht wie ich mit der Nullfolge eine
> Folge definieren soll, die dann liefert f(x)=f(0).
Das läuft letzendlich darauf hinaus, dass du dir deine "Dichtheit" konstruierst. Ich hatte da an folgendes gedacht:
Sei [mm] $a_n$ [/mm] die monotone Periodenfolge mit [mm] $a_n \to [/mm] 0$.
Gilt [mm] $\summe_{n=1}^\infty a_n [/mm] = [mm] \infty$, [/mm] so sind wir nach dem Leibniz-Kriterium und dem ![[]](/images/popup.gif) Riemannschen Umordnungssatz fertig.
Andernfalls müssen wir unsere Folge etwas "aufplustern".
Da dieser Weg aber immer funktioniert, könnten wir es auch gleich so machen 
Wir konstruieren uns nun eine Folge [mm] $k_n$ [/mm] wie folgt:
Wähle [mm] $k_1 \in \IN_0$ [/mm] so, dass [mm] $k_1a_1 \le [/mm] x [mm] \le (k_1 [/mm] + [mm] 1)a_1$
[/mm]
Wähle [mm] $k_2 \in \IN_0$ [/mm] so, dass [mm] $k_1a_1 [/mm] + [mm] k_2a_2 \le [/mm] x [mm] \le k_1a_1 [/mm] + [mm] (k_2 [/mm] + [mm] 1)a_2$
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Wähle [mm] $k_n \in \IN_0$ [/mm] so, dass [mm] $\summe_{j=1}^{n-1}k_ja_j [/mm] + [mm] k_na_2 \le [/mm] x [mm] \le \summe_{j=1}^{n-1}k_ja_j [/mm] + [mm] (k_n [/mm] + [mm] 1)a_n$
[/mm]
Dann gilt [mm] $\summe_{j=1}^\infty k_ja_j \to [/mm] x$
Gruß,
Gono
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