Stetige ZV Dichte + Verteilung < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:38 So 24.06.2012 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Moin Moin!
Ich hoffe, ich habe das passende Unterforum gewählt?!
Gegeben sei folgende Funktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} 2ax, & \mbox{für } 0 < x < 1 \\ 3a - ax, & \mbox{für } 1 \le x < 3 \\ 0, & \mbox{sonst.} \end{cases}
[/mm]
a) Welchen Wert muss der Parameter a annehmen, so dass f die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X ist?
b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F von X.
c) Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
P(X =1)
P(X [mm] \le [/mm] 2)
P(0,5 < X < 2)
P(X [mm] \le [/mm] 2 | X > 0,5)
d) Berechnen Sie den Erwartungswert von X. |
Moin,
zu a) Welchen Wert muss der Parameter a annehmen, so dass f die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X ist?
Reicht hier die Bedingung, dass die Dichtefunktion stetig sein muss, d.h.
dass der Grenzwert an der Stelle 1 und an der Stelle 3 im linken wie im rechten Intervall übereinstimmen müssen?
2a*1 = 3a -a*1 dies ist für jedes a erfüllt; weiter
3a - -a*3 = 0 dies ist für jedes a erfüllt... so komme ich nicht weiter.
Wie kann ich sonst vorgehen?
Die Frage ist, welche Bedingung muss erfüllt sein, damit f(x) eine Dichtefunktion der Zufallsvariablen X ist???
zu b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F von X.
[mm] F(x)=\begin{cases} ax^2, & \mbox{für } 0 < x < 1 \\ 3ax - 0,5*ax^2, & \mbox{für } 1 \le x < 3 \\ 1, & \mbox{sonst.} \end{cases}
[/mm]
zu c) Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
Hier bin ich noch nicht fertig...
P(X =1) = 0 (muss m.E. immer gleich null sein; die Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert einer stetigen ZV)
P(X [mm] \le [/mm] 2) = [mm] \integral_{- \infty}^{0}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{f(x) dx} [/mm]
P(X [mm] \le [/mm] 2) = 0 + [mm] [a*1^2 -a*0^2] [/mm] +[(3a*2 [mm] -0,5*a*2^2) [/mm] - (3a*1 [mm] -0,5*a*1^2)]
[/mm]
= a +4a -2,5a = 2,5a
zu d) Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
E(X) = [mm] \integral_{- \infty}^{+ \infty}x*{f(x) dx}
[/mm]
E(X) = [mm] \integral_{- \infty}^{0}x*{0 dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}x*{(2ax) dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{3}x*{(3a -ax) dx} [/mm] + [mm] \integral_{3}^{+ \infty}x*{0 dx}
[/mm]
E(X) = 0 + [mm] [\bruch{2}{3}a*1^3 -\bruch{2}{3}a*0^3] [/mm] + [mm] [(\bruch{3}{2}*a*3^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*a*3^3) [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}*a*1^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*a*1^3)] [/mm] + 0
E(X) = 4a
Danke für eure Hilfe!
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Hiho,
> Reicht hier die Bedingung, dass die Dichtefunktion stetig sein muss
Wer sagt, dass sie das sein muss? Muss sie im Normalfall gar nicht....
Was weißt du bei einer Dichte denn über
[mm] $\integral_{-\infty}^\infty [/mm] f(x) [mm] \, [/mm] dx$ ?
> zu b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F von X.
>
> [mm]F(x)=\begin{cases} ax^2, & \mbox{für } 0 < x < 1 \\ 3ax - 0,5*ax^2, & \mbox{für } 1 \le x < 3 \\ 1, & \mbox{sonst.} \end{cases}[/mm]
Nein. Erstens kennst du die erst genau, wenn du dein a bestimmt hast.
Zweitens findest du die Verteilungsfunktion nicht, indem du einfach den Bereich der Dichte integrierst, in dem du dich gerade befindest. Vielmehr musst du über den gesamten "vorherigen" Bereich integrieren:
Deine Verteilungsfunktion ist doch $F(c) = [mm] \integral_{-\infty}^c f(x)\,dx$
[/mm]
Berechne also [mm] $\integral_{-\infty}^c f(x)\,dx$ [/mm] in dem du jeweils über die Einzelbereiche integierst.
> P(X =1) = 0 (muss m.E. immer gleich null sein; die
> Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert einer stetigen ZV)
Du hast hier aber nicht unbedingt eine stetige ZV. Das hängt ja von a ab.
Wenn du deine Verteilungsfunktion bestimmt hast, schau mal genau hin, was an der Stelle 1 passiert. Dann kommst du deiner Antwort schon näher 
> P(X [mm]\le[/mm] 2) = [mm]\integral_{- \infty}^{0}{f(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx} \integral_{1}^{2}{f(x) dx}[/mm]
Ja, kannst du aber auch einfach ablesen, wenn du deine Verteilungsfunktion bestimmt hast. Denn so wie du es hier machst, bestimmst du auch deine Verteilungsfunktion
> E(X) = 4a
Sah bis hierhin gut aus, aber sieht auch anders aus, wenn du dein a bestimmt hast 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mo 25.06.2012 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
zu a) Bestimmung des Parameters a.
Bedingung
[mm] \integral_{- \infty}^{+ \infty}{f(x) dx} [/mm] = 1
[mm] \integral_{- \infty}^{0}{0 dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{2ax dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{3}{(3a -ax) dx} [/mm] + [mm] \integral_{3}^{+ \infty}{0 dx} [/mm] = 1
[mm] [ax^2]^1_0 [/mm] + [3ax [mm] -0,5ax^2]^3_1 [/mm] = 1
a - 0 + (9a - 4,5a) - (3a - 0,5a) = 1
3a = 1
a = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
> > zu b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F von X.
> >
> > [mm]F(x)=\begin{cases} ax^2, & \mbox{für } 0 < x < 1 \\ 3ax - 0,5*ax^2, & \mbox{für } 1 \le x < 3 \\ 1, & \mbox{sonst.} \end{cases}[/mm]
>
> Nein. Erstens kennst du die erst genau, wenn du dein a
> bestimmt hast.
Ok. Also ich habe mein a bestimmt... a = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] .
> Zweitens findest du die Verteilungsfunktion nicht, indem
> du einfach den Bereich der Dichte integrierst, in dem du
> dich gerade befindest. Vielmehr musst du über den gesamten
> "vorherigen" Bereich integrieren:
>
> Deine Verteilungsfunktion ist doch [mm]F(c) = \integral_{-\infty}^c f(x)\,dx[/mm]
>
> Berechne also [mm]\integral_{-\infty}^c f(x)\,dx[/mm] in dem du
> jeweils über die Einzelbereiche integierst.
d.h. ich müsste so anfangen...
1. Bereich
für x < 0
F(x) = [mm] \integral_{- \infty}^{0}{f(x) dx}
[/mm]
2. Bereich
für 0 [mm] \le [/mm] x < 1
F(x) = [mm] \integral_{- \infty}^{0}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
F(x) = [mm] \bruch{1}{3}*x^2
[/mm]
3. Bereich
für 1 [mm] \le [/mm] x < 3
F(x) = [mm] \integral_{- \infty}^{0}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{3}{f(x) dx}
[/mm]
F(x) = [mm] \bruch{1}{3}*x^2 [/mm] +x - [mm] \bruch{1}{6}*x^2
[/mm]
F(x) = [mm] \bruch{1}{6}*x^2 [/mm] +x
Ist das so richtig?
Frage mich nur, warum (wenn ich da 3 einsetze) etwas herauskommt was größer ist als 1??!
Es spricht viel dafür, dass die folgende Funktion die Gesuchte ist:
[mm] F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } \mbox{ x < 0} \\ 1/3x^2, & \mbox{für } \mbox{ 0 <= x < 1} \\ x - 1/6 x^2, & \mbox{für } \mbox{ 1 <= x < 3} \\ 1, & \mbox{für } \mbox{ x >= 3} \end{cases}
[/mm]
?!
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Hiho,
> Bedingung
>
> [mm]\integral_{- \infty}^{+ \infty}{f(x) dx}[/mm] = 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\integral_{- \infty}^{0}{0 dx}[/mm] + [mm]\integral_{0}^{1}{2ax dx}[/mm]
> + [mm]\integral_{1}^{3}{(3a -ax) dx}[/mm] + [mm]\integral_{3}^{+ \infty}{0 dx}[/mm]
> = 1
>
> [mm][ax^2]^1_0[/mm] + [3ax [mm]-0,5ax^2]^3_1[/mm] = 1
>
> a - 0 + (9a - 4,5a) - (3a - 0,5a) = 1
>
> 3a = 1
>
> a = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> d.h. ich müsste so anfangen...
>
> 1. Bereich
> für x < 0
>
> F(x) = [mm]\integral_{- \infty}^{0}{f(x) dx}[/mm]
Nein. Das x in deiner Verteilungsfunktion muss doch die oberste Integralgrenze sein. Und damit du Integrationsgrenzen und Integrationsvariable nicht gleich nennst, achten wir ein bisschen auf die Bezeichnung und stellen fest:
$F(x) = [mm] \integral_{- \infty}^{x}{f(t) dt}$
[/mm]
Das gilt allgemein, wenn man eine Dichte gegeben hat!
Unabhängig vom aktuellen Bereich.
Allerdings kann man, je nach Bereich das konkret hier ausrechnen, das hast du gut erkannt.
> 2. Bereich
> für 0 [mm]\le[/mm] x < 1
> F(x) = [mm]\integral_{- \infty}^{0}{f(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> F(x) = [mm]\bruch{1}{3}*x^2[/mm]
Hier auch wieder der Fehler: Die oberste Integrationsgrenze muss x lauten.
Mal ganz davon ab, wie kann in deiner "Lösung" hier nen x vorkommen, wenn du nur bestimmte Integrale berechnest?
Aber deine Idee ist richtig, es gilt:
$F(x) = [mm] \integral_{- \infty}^{0}{f(t) dt} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*x^2$
[/mm]
> 3. Bereich
> für 1 [mm]\le[/mm] x < 3
>
> F(x) = [mm]\integral_{- \infty}^{0}{f(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{1}^{3}{f(x) dx}[/mm]
>
> F(x) = [mm]\bruch{1}{3}*x^2[/mm] +x - [mm]\bruch{1}{6}*x^2[/mm]
> F(x) = [mm]\bruch{1}{6}*x^2[/mm] +x
Auch hier wieder: Integrationsgrenzen falsch. Wie es richtig geht, hab ich dir ja bereits gezeigt. Korrigier das hier nun mal selbst.
Dann hast du auch nicht so ein x-Geschwurbel.
> Frage mich nur, warum (wenn ich da 3 einsetze) etwas
> herauskommt was größer ist als 1??!
Das erledigt sich, wenn du es richtig machst.
MFG,
Gono.
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