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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Stetige gleichverteilung
Stetige gleichverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Stetige gleichverteilung: Aufgabenstellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 So 23.04.2006
Autor: schelm00

Aufgabe
Eine Leiste von 3 m Lange sei an einer zufalligen Stelle durchgebrochen. Bestimmen Sie
unter der Annahme einer stetigen Gleichverteilung fur die Bruchstelle die Wahrscheinlichkeit,
dass noch ein Stuck von 2 m Lange abgeschnitten werden kann.
Geben Sie einen geeignetenWahrscheinlichkeitsraum (Merkmalraum, [mm] \sigma-Algebra, [/mm] undWahrscheinlichkeitsmaß) an bevor Sie die Berechnungen ausfuhren.

Kann mir da jemand helfen, bitte?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Stetige gleichverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 So 23.04.2006
Autor: Walde

Hi schelm,

wie können wir helfen? Weisst du nicht, was die Begriffe bedeuten? (eine Wikipedia suche wirkt meist wahre Wunder). Du sollst zunächst den []Wahrscheinlichkeitsraum angeben.
Dazu gehören Die Ergebnismenge:
Was kann denn als Bruchstelle so rauskommen? [mm] 0\le a\le [/mm] 3
Und wie lange ist dann das Stück, dass du in der Hand hälst? [0,a] mit [mm] 0\le a\le [/mm] 3 würde ich sagen. Das sind die möglich Ausgänge des Experiments.
Dann musst du die [mm] \sigma-Algebra [/mm] (oder auch Ereignisalgebra) angeben.
Da nimmst du die Borelsche [mm] \sigma-Algebra. [/mm] Das ist ziemlich standard. Das ist die kleinste, die die Intervalle enthält.
Als W-mass nimmste einfach das von der Gleichverteilung auf [0,3]:
[mm] P([a,b])=\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{3}dx}=\bruch{b-a}{3} [/mm]

Jetzt musst du dir nur noch überlegen, wann du (nach einem Schnitt) noch ein Stück von 2m Länge abschneiden kannst und das dann in die W'keitsformel einsetzen.

L G walde

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Bezug
Stetige gleichverteilung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:58 So 23.04.2006
Autor: schelm00

Hi,
Danke erstmal, aber wie sieht denn der W-Raum konkret aus?
Ich wüsste jetzt nicht, wie ich das aufschreiben soll.
Also das soll ja dann so ein Tupel mit [mm] \Omega,\Sigma [/mm] und P sein,
Wäre dann [mm] \Omega [/mm] also [0,a] mit 0 <= a <= 3 ?
Borel-Algebra für [mm] \Sigma? [/mm]
P ist klar.
Aber das aufschreiben macht mir da noch probleme...

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Bezug
Stetige gleichverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 So 23.04.2006
Autor: Walde

Hi Schelm,

die Ungleichheitszeichen musst du noch rumdrehen, aber ja, ich würde sagen, dass kannst du so aufschreiben. Ich bin mir jetzt aber nicht zu 100% sicher.
Vielleicht so:
[mm] \Omega=\{a\in\IR:a\in[0,3]\}. [/mm] (Das sind die möglichen Bruchstellen).

(Die Menge auf der dein W'mass definiert ist) [mm] \Sigma [/mm] ist die [mm] Borel-\sigma-Algebra. [/mm]
Und das W'mass ist klar.

Falls dem nicht so ist, wird es dir dein Übungsleiter (oder irgendjemand, der die Aufgaben korrigiert) aber schon sagen. Ich stelle die Frage mal auf teilweise beantwortet, dann kann vielleicht noch jemand anders sagen, wie er es korrekt aufschreiben würde.

L G walde

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Stetige gleichverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 So 23.04.2006
Autor: schelm00

Prima, dankeschön!
Jetzt zum 2. Teil:
Wie kommst du auf die Formel
$ [mm] P([a,b])=\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{3}dx}=\bruch{b-a}{3} [/mm] $

Die bei wikipedia sieht aber irgendwie anders aus
Und ist das die Formel, in die ich die werte (welche?) einsetzen
muss?
Sorry, aber bei der aufgabe steh ich echt voll auf dem schlauch... :(

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Bezug
Stetige gleichverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 So 23.04.2006
Autor: Walde

hi.

falls du []diese Seite meinst, da steht zwar was anderes (ausführlicher), ist aber das gleiche, du darfst dich nicht von den Bezeichnungen irritieren lassen. Dort sind mit a,b die Grenzen des Intervalls auf dem die GLV definiert ist gemeint, bei uns 0 und 3. Dann steht da, (für 0<x<3)

[mm] F(x)=\bruch{x-0}{3-0}=\bruch{x}{3} [/mm]

In meiner Formel hatte ich die Grenzen schon berücksichtigt und mit [a,b] ein Element der [mm] \sigma-Algebra [/mm] gemeint, für das es die W'keit auszurechnen gilt:

[mm] P([a,b])=P(X\le b)-P(X\le a)=F(b)-F(a)=\bruch{b}{3}-\bruch{a}{3}=\bruch{b-a}{3} [/mm]

Die aus der Wiki ist allgemeiner (du brauchst aber nur die für die GLV auf [0,3]) und mit der Fallunterscheidung auch (natürlich) sauberer. Das kannst du ja ergänzen, ist mit Sicherheit sinnvoll.

EDIT:
Achso und ja, da setzt du Werte ein, um W'eiten zu errechnen. Wann bleibt denn ein 2m Stück übrig? Wenn du bei weniger als 1m eine Bruchstelle hast oder bei mehr als 2m. Wie gross ist  die W'keit eine Bruchstelle bei 1m oder weniger zu haben? P([0,1])
Und bei mehr als 2 m? P([2,3])
Diese W'keiten musst noch addieren, dann hast du dein Endergebnis.
Denks nochmal durch, müsste aber stimmen.

Alles klar? ;-)

L G walde



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Stetige gleichverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:07 So 23.04.2006
Autor: schelm00

Jetzt hab ichs geschnallt!
Dankeschön ;)

schelm

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Stetige gleichverteilung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Di 25.04.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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