Stetiger Radius < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 Sa 09.11.2013 | | Autor: | talo90 |
| Aufgabe | Gegeben sei eine strikt symmetrisch fallende Funktion f,
d.h. für alle x,y mit |x|>|y| gilt f(x)< f(y).
Beweisen Sie die Existenz einer stetigen Funktion r(t), mit [mm] B_{r(t)}(0)=\{x:f(x)>t\}, [/mm] wobei [mm] B_{r(t)}(0) [/mm] den Ball mit Radius r(t) um 0 bezeichnet. |
Mir ist klar wieso [mm] \{x : f(x)>t \} [/mm] ein Ball um 0 mit einem bestimmten Radius r(t) für jedes t sein muss (Symmetrie).
Dass dieser Radius sogar stetig von t abhängt ist zwar, wenn man sich ein Bildchen malt auch anschaulich klar, ich weiß aber absolut nicht, wie ich diese Aussage formal beweisen soll.
Die Striktheit ist offenkundig das Argument, wie bringt man diese allerdings ins Spiel?
Ich würde gerne ein Tipp haben, der mich in die richtige Richtung bewegt.
Nur für Erst-Poster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei eine strikt symmetrisch fallende Funktion f,
> d.h. für alle x,y mit |x|>|y| gilt f(x)< f(y).
> Beweisen Sie die Existenz einer stetigen Funktion r(t),
> mit [mm]B_{r(t)}(0)=\{x:f(x)>t\},[/mm] wobei [mm]B_{r(t)}(0)[/mm] den Ball
> mit Radius r(t) um 0 bezeichnet.
> Mir ist klar wieso [mm]\{x : f(x)>t \}[/mm] ein Ball um 0 mit einem
> bestimmten Radius r(t) für jedes t sein muss (Symmetrie).
> Dass dieser Radius sogar stetig von t abhängt ist zwar,
> wenn man sich ein Bildchen malt auch anschaulich klar, ich
> weiß aber absolut nicht, wie ich diese Aussage formal
> beweisen soll.
> Die Striktheit ist offenkundig das Argument, wie bringt
> man diese allerdings ins Spiel?
> Ich würde gerne einen Tipp haben, der mich in die richtige
> Richtung bewegt.
Hallo talo90
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
den Begriff "strikt symmetrisch fallende Funktion" habe
ich zwar noch nie angetroffen, doch du gibst ja eine
Definition dafür an.
Dennoch eine Frage dazu: ist über den Definitionsbereich
von f nichts vorausgesetzt ? Soll der z.B. ganz [mm] \IR [/mm] sein
oder wenigstens symmetrisch bezüglich 0 ?
Soll allenfalls gar die Funktion f gerade sein, also f(-x)=f(x) ?
Stetigkeit von f scheint nicht verlangt zu sein. Oder doch ??
Du sagst: "Dass dieser Radius sogar stetig von t abhängt ist zwar,
wenn man sich ein Bildchen malt auch anschaulich klar"
Dazu hast du aber wahrscheinlich Stetigkeit von f vorausgesetzt ...
Prüfe also bitte zunächst die exakten und vollständigen Voraus-
setzungen nach !
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Sa 09.11.2013 | | Autor: | talo90 |
> Hallo talo90
>
>
>
Danke.
> den Begriff "strikt symmetrisch fallende Funktion" habe
> ich zwar noch nie angetroffen, doch du gibst ja eine
> Definition dafür an.
Ist auch ein ziemlicher Exot.
> Dennoch eine Frage dazu: ist über den Definitionsbereich
> von f nichts vorausgesetzt ? Soll der z.B. ganz [mm]\IR[/mm] sein
> oder wenigstens symmetrisch bezüglich 0 ?
Ja, tut mir Leid, du hast natürlich recht. Da ich die Aufgabe aus einem Lehrbuch habe, habe ich die im Kapitel allgemeinen geforderten Eigenschaften vergessen.
f bildet von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] ab. Eigentlich sogar vom [mm] \IR^{n} [/mm] aber die Abstraktion dahin ist meistens kein Problem und ich will mir hier schließlich nicht alles vorsagen lassen.
> Soll allenfalls gar die Funktion f gerade sein, also
> f(-x)=f(x) ?
Für strikt symmtrische abfallende Abbildungen gilt insbesondere, dass sie auch radialsymmetrisch abfallen, also aus |x|=|y| folgt f(x)=f(y) und aus |x| [mm] \le [/mm] |y| folgt f(y) [mm] \le [/mm] f(x) . Mannomann, habe ja ganz schön was an Voraussetzungen vergessen.
> Stetigkeit von f scheint nicht verlangt zu sein. Oder doch
> ??
Nein.
>
> Du sagst: "Dass dieser Radius sogar stetig von t abhängt
> ist zwar,
> wenn man sich ein Bildchen malt auch anschaulich klar"
> Dazu hast du aber wahrscheinlich Stetigkeit von f
> vorausgesetzt ...
>
Nein, aber ich muss zugeben, dass ich mir nur zwei Sprünge (symmetrisch um den Ursprung) eingezeichnet habe.
> Prüfe also bitte zunächst die exakten und vollständigen
> Voraus-
> setzungen nach !
>
Wichtig ist noch, dass f nichtnegativ und messbar ist und dass das Lebesgue Maß von der Menge [mm] \{x: |f(x)|>t\} [/mm] für alle t>0 endlich ist.
Zur Anschauung: Wir erhalten eine symmetrische Glockenfunktion um 0.
> LG , Al-Chw.
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> > Aufgabe
> > Gegeben sei eine strikt symmetrisch fallende Funktion f,
> > d.h. für alle x,y mit |x|>|y| gilt f(x)< f(y).
> > Beweisen Sie die Existenz einer stetigen Funktion r(t),
> > mit [mm]B_{r(t)}(0)=\{x:f(x)>t\},[/mm] wobei [mm]B_{r(t)}(0)[/mm] den Ball
> > mit Radius r(t) um 0 bezeichnet.
> > Mir ist klar wieso [mm]\{x : f(x)>t \}[/mm] ein Ball um 0 mit einem
> > bestimmten Radius r(t) für jedes t sein muss (Symmetrie).
> > Dass dieser Radius sogar stetig von t abhängt ist zwar,
> > wenn man sich ein Bildchen malt auch anschaulich klar, ich
> > weiß aber absolut nicht, wie ich diese Aussage formal
> > beweisen soll.
> > Die Striktheit ist offenkundig das Argument, wie bringt
> > man diese allerdings ins Spiel?
> Dennoch eine Frage dazu: ist über den Definitionsbereich
> von f nichts vorausgesetzt ? Soll der z.B. ganz $ [mm] \IR [/mm] $ sein
> oder wenigstens symmetrisch bezüglich 0 ?
f bildet von $ [mm] \IR [/mm] $ nach $ [mm] \IR [/mm] $ ab. Eigentlich sogar vom $ [mm] \IR^{n} [/mm] $ aber die
Abstraktion dahin ist meistens kein Problem und ich
will mir hier schließlich nicht alles vorsagen lassen.
> Soll allenfalls gar die Funktion f gerade sein, also
> f(-x)=f(x) ?
Für strikt symmetrische abfallende Abbildungen gilt insbesondere,
dass sie auch radialsymmetrisch abfallen, also aus |x|=|y| folgt
f(x)=f(y) und aus |x| $ [mm] \le [/mm] $ |y| folgt f(y) $ [mm] \le [/mm] $ f(x) .
Na gut, wenn wir davon ausgehen können !
> Stetigkeit von f scheint nicht verlangt zu sein. Oder doch ??
Nein.
>
> Du sagst: "Dass dieser Radius sogar stetig von t abhängt
> ist zwar, wenn man sich ein Bildchen malt auch anschaulich klar"
> Dazu hast du aber wahrscheinlich Stetigkeit von f
> vorausgesetzt ...
Nein, aber ich muss zugeben, dass ich mir nur zwei Sprünge
(symmetrisch um den Ursprung) eingezeichnet habe.
OK, Sprünge also erlaubt !
Wichtig ist noch, dass f nichtnegativ und messbar ist und
dass das Lebesgue Maß von der Menge $ [mm] \{x: |f(x)|>t\} [/mm] $
für alle t>0 endlich ist.
Zur Anschauung: Wir erhalten eine symmetrische Glockenfunktion um 0.
Ja, so hab ich mir das im Wesentlichen auch vorgestellt.
Wenn wir von der Symmetrie (Radialsymmetrie) ausgehen
können, genügt es eigentlich, die Funktion f(x) für [mm] x\ge0 [/mm] bzw.
f(r) für [mm] r\ge0 [/mm] entlang eines von O ausgehenden Strahls (im [mm] \IR^n) [/mm] zu
betrachten. Die Funktion f ist dann (gemäß Voraussetzungen)
für alle r mit [mm] r\ge0 [/mm] definiert und streng monoton fallend.
Dabei kann sie Sprünge (nach unten) vollführen, wobei
wir (falls nötig) drei Fälle unterscheiden könnten: an der
Sprungstelle [mm] r_S [/mm] ist [mm] f(r_S) [/mm] gleich dem "oberen" oder gleich
dem "unteren" Ende des Sprungintervalls oder dazwischen.
Die gesuchte Funktion r(t) ist natürlich für den Fall,
dass gar keine Sprünge auftreten (d.h. f stetig), nichts
anderes als die Umkehrfunktion von f (die wegen der
strengen Monotonie und der Stetigkeit von f existieren
muss).
Falls f Sprünge aufweist, können wir einfach die dadurch
entstandenen Lücken im Graph durch Strecken parallel
zur t-Achse füllen. Damit erhalten wir so etwas wie eine
"Pseudo-Umkehrfunktion", welche ebenfalls fallend
(allerdings nicht im strikten Sinne) ist. Über die Sprung-
intervalle auf der t-Achse hinweg ist sie jeweils stückweise
konstant.
Natürlich sollte man jetzt noch prüfen, ob die geforderten
Bedingungen (vor allem bei den Sprungstellen) wirklich
pingelig genau erfüllt sind.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 Sa 09.11.2013 | | Autor: | talo90 |
> Wenn wir von der Symmetrie (Radialsymmetrie) ausgehen
> können, genügt es eigentlich, die Funktion f(x) für
> [mm]x\ge0[/mm] bzw.
> f(r) für [mm]r\ge0[/mm] entlang eines von O ausgehenden Strahls
> (im [mm]\IR^n)[/mm] zu
> betrachten.
Wieso denn jetzt f in abhängigkeit von r?
> Die Funktion f ist dann (gemäß
> Voraussetzungen)
> für alle r mit [mm]r\ge0[/mm] definiert und streng monoton
> fallend.
> Dabei kann sie Sprünge (nach unten) vollführen, wobei
> wir (falls nötig) drei Fälle unterscheiden könnten: an
> der
> Sprungstelle [mm]r_S[/mm] ist [mm]f(r_S)[/mm] gleich dem "oberen" oder
> gleich
> dem "unteren" Ende des Sprungintervalls oder dazwischen.
>
> Die gesuchte Funktion r(t) ist natürlich für den Fall,
> dass gar keine Sprünge auftreten (d.h. f stetig), nichts
> anderes als die Umkehrfunktion von f (die wegen der
> strengen Monotonie und der Stetigkeit von f existieren
> muss).
Ich sehe leider nicht, wieso r(t) die Umkehrfunktion von f ist. Kannst du mir das bitte etwas näher bringen.
> Falls f Sprünge aufweist, können wir einfach die
> dadurch
> entstandenen Lücken im Graph durch Strecken parallel
> zur t-Achse füllen. Damit erhalten wir so etwas wie eine
> "Pseudo-Umkehrfunktion", welche ebenfalls fallend
> (allerdings nicht im strikten Sinne) ist. Über die
> Sprung-
> intervalle auf der t-Achse hinweg ist sie jeweils
> stückweise
> konstant.
> Natürlich sollte man jetzt noch prüfen, ob die
> geforderten
> Bedingungen (vor allem bei den Sprungstellen) wirklich
> pingelig genau erfüllt sind.
>
> LG , Al-Chw.
>
Zuerst ein mal, danke für deine Antwort.
Zusammengefasst:
Klar ist mir, dass r(t) monoton fallend ist, denn je größer t wird, desto weniger x erfüllen die Bedingung f(x)>t, und die Menge dieser x bestimmt den Ball mit Radius r(t) (wegen der Symmetrie) . Mir ist auch klar, wieso r(t) konstant auf dem Bereich sein muss, wo f Sprünge aufweist.
Was du mit "Pseudo-Umkehrfunktion" meinst ist mir auch klar(ich fühle mich da stark an die Inversionsmethode erinnert nur so am Rande).
Wieso der Radius aber eine Art Erweiterte Umkehrfunktion von f sein soll, sehe ich einfach noch nicht.
Wie kann ich die Behauptung formal zeigen, wenn ich das mit der Umkehrfunktion eingesehen habe, im Fall, dass f nicht stetig ist.
LG,
talo90
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Hallo talo90,
darf ich dir nahelegen, in Zukunft Rückfragen
wirklich als Fragen zu deklarieren, und nicht
als bloße Mitteilungen ?
> > Wenn wir von der Symmetrie (Radialsymmetrie) ausgehen
> > können, genügt es eigentlich, die Funktion f(x) für
> > [mm]x\ge0[/mm] bzw.
> > f(r) für [mm]r\ge0[/mm] entlang eines von O ausgehenden Strahls
> > (im [mm]\IR^n)[/mm] zu
> > betrachten.
>
> Wieso denn jetzt f in abhängigkeit von r?
r soll einfach für den Abstand vom Nullpunkt stehen, also r:=|x|
Das klappt dann sowohl in [mm] \IR [/mm] als auch im Falle, wo f auf [mm] \IR^n
[/mm]
definiert ist. Und ich vermute sehr, dass auch genau aus diesem
Grund (weil f eine radiale bzw. kugelsymmetrische Funktion ist)
das "r" in der Aufgabenstellung schon vorkommt !
> > Die Funktion f ist dann (gemäß
> > Voraussetzungen)
> > für alle r mit [mm]r\ge0[/mm] definiert und streng monoton
> > fallend.
> > Dabei kann sie Sprünge (nach unten) vollführen,
> wobei
> > wir (falls nötig) drei Fälle unterscheiden könnten:
> an
> > der
> > Sprungstelle [mm]r_S[/mm] ist [mm]f(r_S)[/mm] gleich dem "oberen" oder
> > gleich
> > dem "unteren" Ende des Sprungintervalls oder
> dazwischen.
> >
> > Die gesuchte Funktion r(t) ist natürlich für den Fall,
> > dass gar keine Sprünge auftreten (d.h. f stetig),
> nichts
> > anderes als die Umkehrfunktion von f (die wegen der
> > strengen Monotonie und der Stetigkeit von f existieren
> > muss).
> Ich sehe leider nicht, wieso r(t) die Umkehrfunktion von f
> ist. Kannst du mir das bitte etwas näher bringen.
Schau dir deine Skizze der Glockenkurve an. Nehmen
wir zuerst an, sie sei stetig (wie z.B. die Gauß-Kurve).
Bezeichnen wir passend zu unseren Bezeichnungen
die waagrechte Achse als r-Achse (wir brauchen davon
ja eigentlich nur den positiven Teil mit [mm] r\ge [/mm] 0 !) und
die senkrechte Achse als t-Achse. In diesem Fall liefert
die Funktion f eine streng monoton fallende und
deshalb auch bijektive Abbildung von [mm] \IR_0^+ [/mm] auf den
Wertebereich W, welcher ein zusammenhängendes
Intervall auf der t-Achse ist. f muss also eine eindeutig
bestimmte Umkehrfunktion haben, und dies ist tatsächlich
die gewünschte Funktion $\ [mm] t\mapsto{r(t)}$ [/mm] . Ihre Eigenschaft
bezüglich der Ursprungskugeln $ [mm] B_{r(t)}(0)=\{x:f(x)>t\}$
[/mm]
kannst du leicht nachprüfen.
> > Falls f Sprünge aufweist, können wir einfach die
> > dadurch
> > entstandenen Lücken im Graph durch Strecken parallel
> > zur t-Achse füllen. Damit erhalten wir so etwas wie
> eine
> > "Pseudo-Umkehrfunktion", welche ebenfalls fallend
> > (allerdings nicht im strikten Sinne) ist. Über die
> > Sprung-
> > intervalle auf der t-Achse hinweg ist sie jeweils
> > stückweise
> > konstant.
> > Natürlich sollte man jetzt noch prüfen, ob die
> > geforderten
> > Bedingungen (vor allem bei den Sprungstellen) wirklich
> > pingelig genau erfüllt sind.
> >
> > LG , Al-Chw.
> >
> Zuerst ein mal, danke für deine Antwort.
>
> Zusammengefasst:
> Klar ist mir, dass r(t) monoton fallend ist, denn je
> größer t wird, desto weniger x erfüllen die Bedingung
> f(x)>t, und die Menge dieser x bestimmt den Ball mit Radius
> r(t) (wegen der Symmetrie) . Mir ist auch klar, wieso r(t)
> konstant auf dem Bereich sein muss, wo f Sprünge
> aufweist.
>
> Was du mit "Pseudo-Umkehrfunktion" meinst ist mir auch
> klar(ich fühle mich da stark an die Inversionsmethode
> erinnert nur so am Rande).
> Wieso der Radius aber eine Art Erweiterte Umkehrfunktion
> von f sein soll, sehe ich einfach noch nicht.
> Wie kann ich die Behauptung formal zeigen, wenn ich das
> mit der Umkehrfunktion eingesehen habe, im Fall, dass f
> nicht stetig ist.
Formal notiert habe ich mir dies auch noch nicht, aber
ein Beweis könnte wohl etwa so gehen:
0.) Bezeichnungen einführen (r=|x| , f(r)=t , etc)
1.) stetigen Fall erledigen (wie oben vorbereitet)
2.) Für den Fall, dass f nicht stetig:
2.1.) die Unstetigkeiten können nur endliche Sprünge
nach unten sein
2.2.) es kann höchstens abzählbar viele davon geben, die
sich an Stellen [mm] r_1, r_2, r_3, [/mm] ... ereignen können
2.3.) der (ursprüngliche) Wertebereich von f enthält dann
für jeden Sprung eine Lücke. Um den Def.bereich der
Umkehrfunktion auf diese Lücken zu erweitern, zeigt
man stellvertretend für alle anderen für eine der Stellen [mm] r_k, [/mm]
wie man im entsprechenden t-Intervall die Umkehr-
funktion ergänzt.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Sa 09.11.2013 | | Autor: | talo90 |
> Hallo talo90,
>
> darf ich dir nahelegen, in Zukunft Rückfragen
> wirklich als Fragen zu deklarieren, und nicht
> als bloße Mitteilungen ?
>
Alles klar! Zur Kenntnis genommen.
> Formal notiert habe ich mir dies auch noch nicht, aber
> ein Beweis könnte wohl etwa so gehen:
> 0.) Bezeichnungen einführen (r=|x| , f(r)=t , etc)
> 1.) stetigen Fall erledigen (wie oben vorbereitet)
> 2.) Für den Fall, dass f nicht stetig:
> 2.1.) die Unstetigkeiten können nur endliche Sprünge
> nach unten sein
> 2.2.) es kann höchstens abzählbar viele davon geben,
> die
> sich an Stellen [mm]r_1, r_2, r_3,[/mm] ... ereignen können
> 2.3.) der (ursprüngliche) Wertebereich von f enthält
> dann
> für jeden Sprung eine Lücke. Um den Def.bereich der
> Umkehrfunktion auf diese Lücken zu erweitern, zeigt
> man stellvertretend für alle anderen für eine der
> Stellen [mm]r_k,[/mm]
> wie man im entsprechenden t-Intervall die Umkehr-
> funktion ergänzt.
>
> LG , Al-Chw.
>
Vielen Dank für deine Antwort, sie hat mir sehr geholfen. Ich werde dann heute Abend versuchen deine Anleitung auszuformulieren, da ich jetzt leider weg muss. Sollte es dann noch weitere Fragen geben, werde ich diese als Frage deklariert stellen .
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