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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Mo 10.01.2011 | | Autor: | raidmax |
| Aufgabe | | Ein Waldbestand beträgt zur Zeit 6900 fm (unwichtige Einheit). 12 Jahre lang wurde kein Holz geschlagen, so daß sich in dieser Zeit der Wald um 50% seines damaligen Anfangbestandes vermehren konnte. Wie groß war der bestand vor 6 Jahren und wie groß wird er in weiteren 4 Jahren, von jetzt ab gerechnet sein, wenn kein Holz geschlagen wird? |
Hallo erstmal, ja wir haben heute in der Schule mit dem Thema "Wachstumsprozesse" angefangen. Das Thema bereitet mir große Schwierigkeiten und deswegen konnte ich diese Hausaufgabe niht lösen. Ich bitte um Hilfe.
Ich habe einen Ansatz:
[mm] \Delta [/mm] N
---- = 0,5 * 69000
[mm] \Delta [/mm] t
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo raidmax,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Für das exponentielle Wachstum gilt allgemein:
$N(t) \ = \ [mm] N_0*e^{k*t}$
[/mm]
Für unseren Fall gilt [mm] $N_0 [/mm] \ = \ 6900$ sowie $N(12) \ = \ [mm] 1{,}50*N_0$ [/mm] .
Kannst Du nun die Konstante $k_$ bestimmen und damit die anderen Teillösungen bestimmen?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Mo 10.01.2011 | | Autor: | raidmax |
Hallo Loddar,
danke erstmal für deine schnelle Antwort,
ich muss kurz sagen, dass ich einen Tippfehler bemerkt habe:
Anstatt 6900 muss 69000 hin
----
Wir hatten im Unterricht schon den anfang der Aufgabe mit dem Lehrer gemacht (den ich auch nicht verstanden habe):
[mm] \Delta [/mm] N
--- = 0,5 * 69000
[mm] \Delta [/mm] t
Mein Lehrer hat gemeint, dass N(12)= 69000 ist und deswegen man das erst *0,5 nehemen muss (wegen 50%).
So weiter bin ich aber nicht gekommen und ich habe auch deinen Ansatz leider nicht verstanden
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> Hallo Loddar,
> danke erstmal für deine schnelle Antwort,
>
>
> ich muss kurz sagen, dass ich einen Tippfehler bemerkt
> habe:
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> Anstatt 6900 muss 69000 hin
>
> ----
> Wir hatten im Unterricht schon den anfang der Aufgabe mit
> dem Lehrer gemacht (den ich auch nicht verstanden habe):
>
> [mm]\Delta[/mm] N
> --- = 0,5 * 69000
> [mm]\Delta[/mm] t
>
>
> Mein Lehrer hat gemeint, dass N(12)= 69000 ist und deswegen
> man das erst *0,5 nehemen muss (wegen 50%).
Also den Ansatz verstehe ich auch nicht. 50% von den 69.000 sagen einem gar nichts über diesen Vorgang, das ist (s. parallele Antwort) ganz einfache Prozentrechnung. Die 50% beziehen sich ja auf die Zahl, die man nicht gegeben hat.
Was stimmt: Wenn man mit N(t) die Anzahl der Festmeter nach t Jahren bezeichnet, dann weiß man N(12) = 69.000.
Allgemein: $N(t) = [mm] N_0*Wachstumsfaktor^{t}$
[/mm]
Wenn ich jetzt den Quotienten [mm] $\frac{\Delta N}{\Delta t}$ [/mm] anschaue, dann ist das ja so etwas wie die Änderungsrate des Bestandes, oder in anderen Worten, die Ableitung. Und die Änderungsrate ist nicht die Hälfte dessen, was JETZT da ist.
Das müsste also eigentlich Quatsch sein.
>
> So weiter bin ich aber nicht gekommen und ich habe auch
> deinen Ansatz leider nicht verstanden
Loddars Ansatz benutzt statt meines Vorschlags, den Wachstumsfaktor aus der 1,5 zu basteln, direkt die "schöne" Formulierung eines solchen Wachstumsgesetzes.
Man kann das nämlich immer mit Hilfe der e-Funktion schreiben.
Bei dir z.B. wäre das so:
$N(t) = 46.000 * [mm] 1,5^{t/12}$ [/mm]
(s. andere Antwort: Der Faktor ist [mm] 1,5^{1/12} [/mm] und damit musst du t-mal multiplizieren, um den Bestand nach t Jahren zu bekommen. Anm.: Klappt übrigens auch mit negativen Werten, also bei der Frage: Wie war es denn 3 Jahre, bevor dieser Bestand von 46.000fm da war?)
Nun kannst du aber eine Potenz so schreiben: [mm] $a^{b}=e^{\ln a*b}$
[/mm]
Und damit natürlich auch dein Gesetz verändern zu:
$N(t) = [mm] 46.000*e^{\frac{\ln1,5}{12}*t}$
[/mm]
Wenn du mit der e-Funktion noch nichts zu tun hattest, dann kannst du diesen Schritt aber auch erstmal weglassen - ihr werdet vermutlich noch dazu kommen.
Falls du in den nächsten Tagen eine Erklärung für den obigen Ansatz bekommst, dann könntest du den aber mal hier posten.
lg weightgainer
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Es gibt einen sehr einfachen Lösungsansatz:
Wenn du die 12 Jahre als eine Zeiteinheit ansiehst, dann sollte dir klar sein, dass der Bestand alle 12 Jahre um 50 % wächst, egal, wie groß er zu Anfang war (jeder Teil des Anfangsbestandes trägt mit 50 % Wachstum zum Endbestand bei).
Also muss alle 12 Jahre der jeweilige Bestand mit dem Faktor 1,5 multipliziert werden, um den nächsten Bestand nach weiteren 12 Jahren zu ermitteln. Als Gesamtformel erhältst du so:
[mm] N(T)=N_0*1,5^T [/mm] , T in 12-Jahres-Einheiten, [mm] N_0 [/mm] = Anfangswert
Damit erhältst du sofort den Wert für 6 Jahre, denn dann ist T=0,5 (halbe Zeiteinheit) und für 16 Jahre, dann ist T=4/3.
Willst du aber t in Jahren angeben, schreibst du
[mm] N(t)=N_0*1,5^{\bruch{t}{12}} [/mm] , t in Jahren, [mm] N_0 [/mm] = Anfangswert
Setzt du nun für t 12 ein, wir die 12 durch 12 geteilt und der Exponent ist wieder 1 wie bei T. Setzt du 6 ein, wird der Exponent durch Kürzen - auch wie bei T - wieder 1/2 usw. Der Ausdruck sieht zwar komplizierter aus, dafür musst du dir aber nicht merken, dass 12 Jahre als 1 eingegeben werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Mo 10.01.2011 | | Autor: | raidmax |
Vielen Dank für deine Antwort HJKweseleit,
eine Frage bleibt jedoch offen,
der anfangswert Also:
N(12) = 69000 --> [mm] N_{0} [/mm] = 0.5 * 69000 --> [mm] N_{0}= [/mm] 34500
da erst nach 12 Jahren der Waldbestand 69000 fm beträgt.
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> Vielen Dank für deine Antwort HJKweseleit,
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> eine Frage bleibt jedoch offen,
> der anfangswert Also:
>
> N(12) = 69000 --> [mm]N_{0}[/mm] = 0.5 * 69000 --> [mm]N_{0}=[/mm] 34500
>
> da erst nach 12 Jahren der Waldbestand 69000 fm beträgt.
>
Nein, das ist falsch.
Die Frage nach dem Anfangsbestand lässt sich mit einfacher Prozentrechnung lösen: Nach 12 Jahren sind 50% mehr da als zu Beginn, d.h. nach 12 Jahren sind 150% des Anfangsbestandes da. Das sind 69.000fm. Also waren am Anfang 69.000:150% = 46.000fm vorhanden.
Oder auch ohne %:
$Anfangsbestand + 0,5*Anfangsbestand = 69.000$
[mm] $\gdw [/mm] 1,5*Anfangsbestand = 69.000$
[mm] $\gdw [/mm] Anfangsbestand = 69.000:1,5$
Natürlich wieder die gleiche Rechnung (1,5 = 150%), also [mm] N_0=46.000.
[/mm]
Wenn ihr gerade erst damit angefangen habt, würde ich mir auch keine zu großen Sorgen über das "Verstehen" machen - das wird dann sicher noch kommen.
Für den Rest hast du zwei sehr schöne Vorschläge von HJKweseleit bekommen.
Kurz zur Erklärung:
Bei diesem Modell nimmt man als eine Voraussetzung, dass sich der Anfangsbestand in jedem Jahr um den gleichen Faktor verändert (z.B. im Gegensatz zum "linearen Modell", bei dem sich ein Bestand in jedem Jahr um den gleichen Summanden ändert). Ein typisches Beispiel dafür ist auch die Zinsrechnung mit Zinseszins.
Jetzt weißt du aber nicht, wie dieser Faktor "pro Jahr" aussieht, du weißt nur, wie der Faktor "pro 12 Jahre" aussieht, da ist er 1,5.
Das kannst du jetzt auch auf 1 Jahr herunterrechnen, denn in jedem Jahr soll es der gleiche Faktor sein und nach 12 Jahren hat man dann 12-mal mit diesem Faktor multipliziert und das muss das gleiche geben wie 1,5. In Formeln:
$Faktor*Faktor* ... *Faktor = 1,5$
[mm] $Faktor^{12} [/mm] = 1,5$
$Faktor = [mm] \wurzel[12]{1,5} [/mm] = [mm] 1,5^{\frac{1}{12}}$
[/mm]
Meistens schreibt man das nicht als Wurzel, sondern so wie in der vorhergehenden Antwort in Potenzschreibweise.
Also weißt du jetzt, dass ausgehend von den 46.000 fm sich der Bestand in jedem Jahr um diesen Faktor vergrößert.
Wenn du jetzt also wissen willst, wie es nach einer bestimmten Anzahl von Jahren (im Beispiel waren es ja 6 bzw. 16 (=12+4)) war/sein wird, dann musst du die 46.000fm eben 6-mal bzw. 16-mal mit diesem Faktor multiplizieren.
Und dann kannst du das natürlich auch schöner als Formel notieren, so wie es mein Vorredner gemacht hat.
lg weightgainer
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