Stetigk. in 0 , -1; alles ok? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] durch
x [mm] \to \begin{cases} x, & \mbox{für } x>0, x \in \IQ \\ x-2x^{3}, & \mbox{für } x>0, x \not\in \IQ \\ -x, & \mbox{für } x<0, x \in \IQ \\ x^{2}, & \mbox{für } x<0, x \not\in \IQ \\ 0, & \mbox{für } x=0, \\ \end{cases}
[/mm]
gegeben. Zeigen sie das f genau in 0 und -1 stetig ist. |
Meine Vorgehensweise:
Funktionswert in f einsetzen, und Wert mit links, und rechtsseitigem Grenzwert vergleichen. Sind alle 3 Werte identisch => f in dem Punkt stetig.
Also:
Fall 0
f(0) = 0 (per Definition)
Bezeichne 0L bzw 0R, den links- bzw rechtsseitigen Grenzwert.
z.z.: [mm] \limes_{x\rightarrow0L}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0R}f(x) [/mm] = 0
Behauptung:
Für x [mm] \not= [/mm] 0 gilt: in [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von 0 ist x [mm] \not\in \IQ [/mm] (sondern in [mm] \IR)
[/mm]
(gilt das als Begründung?)
Sei nun x>0
=> [mm] \limes_{x\rightarrow0L}f(x) [/mm] = [mm] (-x)^{2} [/mm] = [mm] x^{2} \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0L
Ebenso folgt
[mm] \limes_{x\rightarrow0R}f(x) [/mm] = [mm] x-2x^{3} \to [/mm] 0-0 = 0 für x [mm] \to [/mm] 0R
Da f(0) [mm] =\limes_{x\rightarrow0L}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0R}f(x)
[/mm]
=> f stetig in 0
--------------------------------
Fall -1
f(-1) = -(-1) = 1
z.z. [mm] \limes_{x\rightarrow-1L}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow-1R}f(x) [/mm] = 1
[mm] \limes_{x\rightarrow-1L}f(x) [/mm] = [mm] x^{2} \to (-1)^{2} [/mm] = 1 für x [mm] \to [/mm] -1L
[mm] \limes_{x\rightarrow-1R}f(x) [/mm] = [mm] x^{2} \to (-1)^{2} [/mm] = 1 für x [mm] \to [/mm] -1R
=> wie oben => stetigkeit von f in -1
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Di 12.02.2008 | | Autor: | puehlong |
du kannst in jeder beliebig kleinen Umgebung um 0 eine rationale Zahl finden, denn [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist eine rationale Zahl und geht gegen Null für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}. [/mm] Ebenso gibt es glaub ich in jedem beliebig kleinen Intervall unendlich viele reelle Zahlen. Insofern ist dein Ansatz, es gebe in einer epsilon-Umgebung keine rationale Zahlen mE nicht ganz richtig. Ob der Rest deiner Argumentation damit falsch wird, weiß ich gerad nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Di 12.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Es sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] durch
>
> x [mm]\to \begin{cases} x, & \mbox{für } x>0, x \in \IQ \\ x-2x^{3}, & \mbox{für } x>0, x \not\in \IQ \\ -x, & \mbox{für } x<0, x \in \IQ \\ x^{2}, & \mbox{für } x<0, x \not\in \IQ \\ 0, & \mbox{für } x=0, \\ \end{cases}[/mm]
>
> gegeben. Zeigen sie das f genau in 0 und -1 stetig ist.
> Meine Vorgehensweise:
> Funktionswert in f einsetzen, und Wert mit links, und
> rechtsseitigem Grenzwert vergleichen. Sind alle 3 Werte
> identisch => f in dem Punkt stetig.
>
> Also:
> Fall 0
> f(0) = 0 (per Definition)
>
> Bezeichne 0L bzw 0R, den links- bzw rechtsseitigen
> Grenzwert.
>
> z.z.: [mm]\limes_{x\rightarrow0L}f(x)[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow0R}f(x)[/mm] = 0
>
> Behauptung:
> Für x [mm]\not=[/mm] 0 gilt: in [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung von 0 ist x
> [mm]\not\in \IQ[/mm] (sondern in [mm]\IR)[/mm]
Das reicht nicht als Begründung - es ist falsch.
In jeder noch so kleinen [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung einer beliebigen rationalen oder irrationalen reellen Zahl gibt es sowohl unendlich viele rationale als auch irrationale Zahlen.
/Die Menge der reellen Zahlen ist genau die Vereinigungsmenge von rationalen und irrationalen Zahlen)
Die genannte Fünktion ist an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] stetig wenn sowohl für jede Folge von rationalen Zahlen als auch für jede Folge irrationaler Zahlen bei Annäherung an [mm] x_0 [/mm] die zugehörigen Funktionswerte gegen den Grenzwert [mm] f(x_0) [/mm] konvergieren.
Bei Annäherung an Null gehen sowohl die Werte von x als auch die Werte von [mm] x-2x^3 [/mm] gegen den Funktionswert 0.
Der Funktionswert von -1 ist -(-1)=1. Sowohl die Teilfunktionen y=-x als auch [mm] y=x^2 [/mm] konvergieren für ihre (rationalen oder irrationalen) x-Werte bei Annäherung an -1 gegen +1.
> (gilt das als Begründung?)
>
> Sei nun x>0
>
> => [mm]\limes_{x\rightarrow0L}f(x)[/mm] = [mm](-x)^{2}[/mm] = [mm]x^{2} \to[/mm] 0
> für x [mm]\to[/mm] 0L
>
> Ebenso folgt
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0R}f(x)[/mm] = [mm]x-2x^{3} \to[/mm] 0-0 = 0 für x
> [mm]\to[/mm] 0R
>
> Da f(0) [mm]=\limes_{x\rightarrow0L}f(x)[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow0R}f(x)[/mm]
> => f stetig in 0
> --------------------------------
> Fall -1
> f(-1) = -(-1) = 1
>
> z.z. [mm]\limes_{x\rightarrow-1L}f(x)[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow-1R}f(x)[/mm] = 1
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-1L}f(x)[/mm] = [mm]x^{2} \to (-1)^{2}[/mm] = 1 für x
> [mm]\to[/mm] -1L
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-1R}f(x)[/mm] = [mm]x^{2} \to (-1)^{2}[/mm] = 1 für x
> [mm]\to[/mm] -1R
>
> => wie oben => stetigkeit von f in -1
>
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