Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Sa 11.01.2014 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Zeige die Stetigkeit der Funktion f : [mm] \IR^2 [/mm] ----> [mm] \IR,
[/mm]
[mm] f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{4x^2+y}{x^2+y^2}, & (x,y) ungleich 0 \\
0, & (x,y) =0
\end{matrix}\right. [/mm] |
Hallo,
Habe ein Problem bei dieser Aufgabe.
Also f ist außerhalb des Nullpunktes als Komposition stetiger Funktionen stetig. Mit Polarkoordinaten gilt weiter:
x= r cos(phi)
y= r sin(phi)
f(r cos(phi),r sin (phi) = [mm] \bruch{4r^3cos^2(phi)+sin(phi)}{r^2(sin^2(phi)+cos^2(phi)}
[/mm]
[mm] sin^2(phi)+cos^2(phi) [/mm] = 1 und [mm] 4r^3 [/mm] mit [mm] r^2 [/mm] gekürzt ergibt
[mm] 4rcos^2(phi)+sin(phi)
[/mm]
was wäre jetzt der nächste Schritt?
Ein Kollege meinte:
4r [mm] cos^2(phi)+sin(phi) [/mm] ---> 0 ( r --> 0 )
und damit ist f überall stetig.
Aber falls es richtig ist den letzen Schritt verstehe ich nicht.
Könnte mir den einer erklären?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo capri!
Zunächst zu der Aussage Deines Kollegen. Es gilt: [mm]\limes_{r\rightarrow 0}\left[4r*\cos^2(\varphi)+\sin(\varphi)\right] \ = \ 0+\sin(\varphi) \ = \ \sin(\varphi)[/mm] .
Jedoch ist das für diese Aufgabe eher irrelevant.
> f(r cos(phi),r sin (phi) = [mm]\bruch{4r^3cos^2(phi)+sin(phi)}{r^2(sin^2(phi)+cos^2(phi)}[/mm]
Wie kommst Du denn hier auf diesen Zähler des Bruches?
Der ist schlicht und ergreifend falsch.
> [mm]sin^2(phi)+cos^2(phi)[/mm] = 1 und [mm]4r^3[/mm] mit [mm]r^2[/mm] gekürzt ergibt
Und auch das Kürzen wäre hier eindeutig fehlerhaft, gemäß der bekannten Regel:
"Aus Differenzen und Summen kürzen nur die ... Wenigerschlauen!".
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Sa 11.01.2014 | | Autor: | capri |
Das ist die Lösungsskizze einer alten Klausur vom Professor.
Könnte ja sein, dass er evtl dort was falsch gemacht hat. Er hat nicht alles aufgeschrieben, deswegen war es bisschen komisch für mich.
Ich hatte eigentlich das raus
[mm] \bruch{4(r cos(phi))^2+rsin(phi)}{(rcos(phi))^2+(rsin(phi))^2}
[/mm]
wusste aber nicht mehr weiter und hab mir die Lösung angeschaut, und da war es halt völlig anders.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo capri!
> Ich hatte eigentlich das raus [mm]\bruch{4(r cos(phi))^2+rsin(phi)}{(rcos(phi))^2+(rsin(phi))^2}[/mm]
Soweit ist auch alles richtig. Also: weiter geht's ...
Im Nenner [mm] $r^2$ [/mm] ausklammern und Herrn Pythagoras befragen.
Im Zähler lässt sich "dummerweise" nur $r_$ ausklammern.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Sa 11.01.2014 | | Autor: | capri |
ich bin mir zwar nicht so sicher aber ich habe das raus
[mm] \bruch{4r(cos^2(phi)+sin(phi)}{r^2(cos^2(phi)+sin^2(phi)} [/mm] =
[mm] \bruch{4r(cos^2(phi)+sin(phi))}{r^2}
[/mm]
richtig oder?
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Hallo capri,
> ich bin mir zwar nicht so sicher aber ich habe das raus
>
> [mm]\bruch{4r(cos^2(phi)+sin(phi)}{r^2(cos^2(phi)+sin^2(phi)}[/mm]
> =
Es muss hier lauten:
[mm]\bruch{4r^{\blue{2}}cos^2(phi)+r sin(phi)}{r^2(cos^2(phi)+sin^2(phi))}[/mm]
>
> [mm]\bruch{4r(cos^2(phi)+sin(phi))}{r^2}[/mm]
>
> richtig oder?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Sa 11.01.2014 | | Autor: | capri |
ich sollte doch im Zähler nur r ausklammern?
was wäre denn der nächste Schritt?
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Hallo capri,
> ich sollte doch im Zähler nur r ausklammern?
>
Ja.
> was wäre denn der nächste Schritt?
>
[mm]\bruch{r(4\blue{r}cos^2(phi)+ sin(phi))}{r^2(cos^2(phi)+sin^2(phi))}[/mm]
Jetzt kanst Du ein "r" kürzen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Sa 11.01.2014 | | Autor: | capri |
Nachdem ich gekürzt habe und unten [mm] cos^2(phi)+sin^2(phi)=1 [/mm] eingesetzt habe. bekomme ich
[mm] \bruch{(4rcos^2(phi)+ sin(phi))}{r}
[/mm]
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Hallo capri,
> Nachdem ich gekürzt habe und unten [mm]cos^2(phi)+sin^2(phi)=1[/mm]
> eingesetzt habe. bekomme ich
>
> [mm]\bruch{(4rcos^2(phi)+ sin(phi))}{r}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Sa 11.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallp
Fesstellung, also nicht stetig!
du kannst auch die Folge [mm] (1/\sqrt{n},1/n) [/mm] n gegen [mm] \infty [/mm] einsetzen wogegen konvergiert das?
direkt sollte man sehen dass was verschiedenes raus kommt wenn man auf der Geraden x=0 oder y=0 in den Nullpkt läuft!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Sa 11.01.2014 | | Autor: | capri |
Hallo,
nochmal langsam bitte,
also bin ich dort schon fertig, weil ich es nicht mehr umformen kann.
Und woran erkenne ich jetzt, dass es nicht stetig ist?
Den Grenzwert bestimmen?! gegen 0 oder unendlich? was passiert mit r? oder lass ich r gegen 0 bzw unendlich laufen was passiert denn mit phi?
tut mir leid, dass ich jetzt zu viele offene Fragen habe, aber die sofortige Schlussfolgerung habe ich nicht verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Sa 11.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du willst die Stetigkeit bei 0 beweisen. Vielleicht schreibst du mal auf, was das bedeutet, (auch für r und [mm] \phi) [/mm] dann erst kann dir klar werden, was du eigentlich machst.
setz einmal [mm] \phi=0 [/mm] und einmal [mm] \pi/2
[/mm]
was siehst du?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Sa 11.01.2014 | | Autor: | capri |
Hallo,
also für phi= 0 bekomme ich 4 raus.
bei phi = pi halbe bekomme ich 1 durch r.
und da beides verschieden ist und nicht dasselbe rauskommt ist es nicht stetig?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Sa 11.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du mal die Def von Stetigkeit in (0,0) hinschriebst müsstest du nicht fragen, sondern selbst feststellen warum die fkt nicht stetig ist. Also schreib die Def. auf. Damit sollte man sowieso IMMER anfangen, und immer wieder im Verlauf der Rechnung ansehen.
Do verrennst du dich in Details und weist nicht mehr, was das eigentliche Ziel ist!
Gruß leduart
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