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Hallo!
in Mathematikbuch EdM 11/12, Ausgabe Niedersachsen, steht auf S. 59 eine Definition für Stetigkeit. Diese enthält auch den Fall "weder stetig noch unstetig (bei [mm] $x_0$)".
[/mm]
Für letzteren Fall ist das Schaubild einer Funktion eingezeichnet, die eine Sprungstelle besitzt - Grafverlauf in etwa: ungefähr der Funktionswert $y=1$ für Werte [mm] $x
Nun wird vorher geschrieben: eine Funktion sei stetig bei [mm] $x_0$, [/mm] wenn [mm] $\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)$ [/mm] existiert und [mm] $\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$. [/mm]
Meiner Meinung nach, ist deshalb obiges Beispiel auf jeden Fall nicht stetig, da [mm] $\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)$ [/mm] nicht existiert, denn zB [mm] $\limes_{x\uparrow x_0}f(x)=1\neq2=\limes_{x\downarrow x_0}f(x)$.
[/mm]
Was meint Ihr?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 Mi 15.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
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> in Mathematikbuch EdM 11/12, Ausgabe Niedersachsen, steht
> auf S. 59 eine Definition für Stetigkeit. Diese enthält
> auch den Fall "weder stetig noch unstetig (bei [mm]x_0[/mm])".
ohjemine. Was ist denn das für ein Buch? Da steht Unsinn: Man spricht
nur von Stetigkeit oder Unstetigkeit einer Funktion an einer Stelle, wenn
die Stelle auch Teil des Definitionsbereichs ist.
> Für letzteren Fall ist das Schaubild einer Funktion
> eingezeichnet, die eine Sprungstelle besitzt
Da gibt es durchaus unstetige Funktionen, die Sprungstellen haben.
> - Grafverlauf
> in etwa: ungefähr der Funktionswert [mm]y=1[/mm] für Werte [mm]x
> und für Werte [mm]x_0
> [mm]y=2[/mm] an. Bei [mm]x_0[/mm] befindet sich eine Definitionslücke.
> Nun wird vorher geschrieben: eine Funktion sei stetig bei
> [mm]x_0[/mm], wenn [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)[/mm] existiert und
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)[/mm].
> Meiner Meinung nach, ist deshalb obiges Beispiel auf jeden
> Fall nicht stetig, da [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)[/mm] nicht
> existiert, denn zB [mm]\limes_{x\uparrow x_0}f(x)=1\neq2=\limes_{x\downarrow x_0}f(x)[/mm].
Zunächst einmal existiert [mm] $f(x_0)$ [/mm] gar nicht, daher macht es keinen Sinn, zu
fragen, ob die Funktion stetig in [mm] $x_0$ [/mm] ist. Man könnte sich fragen, ob die
Funktion an [mm] $x_0$ [/mm] stetig erweitert werden kann, und da ist Dein Argument,
dass [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)$ [/mm] gar nicht existiert, die passende Antwort dafür, dass
das nicht gehen kann.
Jetzt halten wir uns mal an die unsinnige obige Definition, und dann hast
Du meiner Meinung nach durchaus recht damit, wenn Du sagst, dass die
Funktion nach dieser Definition unstetig ist:
Dort steht ja
stetig in [mm] $x_0$ $\iff$ $\lim_{x \to x_0}f(x)$ [/mm] existiert UND [mm] $f(x_0)=\lim_{x \to x_0}f(x)$
[/mm]
Demnach sollte "unstetig in [mm] $x_0$" [/mm] als "nicht (stetig in [mm] $x_0$)" [/mm] definiert werden,
und
[mm] $\neg ($\exists \lim_{x \to x_0}f(x)$ [/mm] und [mm] $f(x_0)=\lim_{x \to x_0}f(x))$
[/mm]
ist nichts anderes als
[mm] $\nexists \lim_{x \to x_0}f(x)$ [/mm] ODER [mm] $f(x_0)\neq\lim_{x \to x_0}f(x)$
[/mm]
Da $A [mm] \vee [/mm] B$ wahr ist, wenn [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist oder [mm] $B\,$ [/mm] wahr ist, ist die Funktion
nach obiger Definition unstetig in [mm] $x_0\,.$
[/mm]
Das Problem oben wäre aber: Die Funktion wäre auch nicht stetig, wenn man
sie links der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] auf 2 und rechts der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] auf 2 halten würde,
wenn [mm] $x_0$ [/mm] nicht zum Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] gehört. Hier haben wir zwar
nicht das Problem, dass [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)$ [/mm] nicht existieren würde, dieser
Grenzwert wäre existent und wäre [mm] $=2\,,$ [/mm] aber die Gleichheit [mm] $f(x_0)=2$ [/mm] wäre
sinnlos, weil [mm] $f(x_0)$ [/mm] gar nicht definiert ist.
Die Gleichheit [mm] $f(x_0)=2$ [/mm] kann nicht wahr sein, denn andernfalls wäre ja [mm] $f(x_0)$
[/mm]
doch definiert.
Die Gleichheit [mm] $f(x_0)=2$ [/mm] kann aber auch nicht falsch sein, denn das würde [mm] $f(x_0) \not=2$
[/mm]
bedeuten, womit also [mm] $f(x_0)$ [/mm] auch definiert sein müßte.
Die Frage, ob die Gleichung [mm] "$f(x_0)=2$" [/mm] wahr ist, ist damit quasi "nicht
entscheidbar"!
Gerade wegen solchen Problematiken sagt man: Der Begriff, ob eine Funktion
stetig oder unstetig in einem Punkt ist, macht nur dann Sinn, wenn der
Punkt zum Definitionsbereich der Funktion gehört. Das gehört mit in die
Definition des Stetigkeitsbegriffs, siehe etwa auch:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Verallgemeinerung:_Stetige_Funktionen_zwischen_metrischen_R.C3.A4umen
Sei $f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ und [mm] $\red{\;D \subseteq X\,}\,.$ $f\,$ [/mm] heißt dann stetig in [mm] $x_0 \red{ \;\in D},$ [/mm] wenn ...
Und, wie gesagt: In obigem Beispiel wäre die von Dir genannte Funktion
nicht stetig ergänzbar in [mm] $x_0\,.$
[/mm]
Nebenbei: Eine Funktion heißt stetig, wenn sie stetig in allen [mm] $x\,$ [/mm] ihres Definitionsbereichs
ist.
Und damit ist sofort klar, dass etwa, entgegen der Meinung mancher
Lehrer, die Funktion
$f [mm] \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR$
[/mm]
mit
$f(x):=1/x$ für $x [mm] \in \IR \setminus \{0\}$
[/mm]
stetig ist.
Sie ist auch keineswegs "an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] unstetig", denn es macht hier
keinen Sinn, davon zu reden, da diese Stelle nicht zum Definitionsbereich
der Funktion gehört.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:59 Mi 15.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Marcel,
> Nebenbei: Eine Funktion heißt stetig, wenn sie stetig in
> allen [mm]x\,[/mm] ihres Definitionsbereichs
> ist.
>
> Und damit ist sofort klar, dass etwa, entgegen der Meinung
> mancher
> Lehrer, die Funktion
>
> [mm]f \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR[/mm]
>
> mit
>
> [mm]f(x):=1/x[/mm] für [mm]x \in \IR \setminus \{0\}[/mm]
>
> stetig ist.
> Sie ist auch keineswegs "an der Stelle [mm]0\,[/mm] unstetig", denn
> es macht hier
> keinen Sinn, davon zu reden, da diese Stelle nicht zum
> Definitionsbereich
> der Funktion gehört.
Ich musste gut lachen, denn das war eine Prüfungsfrage in meiner
Analysis Prüfung. Meine Antwort war:
"Nein, sie ist in [mm] $0\$ [/mm] weder stetig noch unstetig, denn sie ist
dort nicht definiert. Heuser sprach in so einem Fall in seinem
Buch über eine gewisse "Zerrissenheit".
Mein Prof hatte ein Lachen im Gesicht. Bis heute weiß ich leider
nicht wieso. Vielleicht kannte er ihn? 
Gruß
DieAcht
Antwort war:
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:13 Mi 15.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
>
> > Nebenbei: Eine Funktion heißt stetig, wenn sie stetig in
> > allen [mm]x\,[/mm] ihres Definitionsbereichs
> > ist.
> >
> > Und damit ist sofort klar, dass etwa, entgegen der Meinung
> > mancher
> > Lehrer, die Funktion
> >
> > [mm]f \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR[/mm]
> >
> > mit
> >
> > [mm]f(x):=1/x[/mm] für [mm]x \in \IR \setminus \{0\}[/mm]
> >
> > stetig ist.
> > Sie ist auch keineswegs "an der Stelle [mm]0\,[/mm] unstetig",
> denn
> > es macht hier
> > keinen Sinn, davon zu reden, da diese Stelle nicht zum
> > Definitionsbereich
> > der Funktion gehört.
>
> Ich musste gut lachen, denn das war eine Prüfungsfrage in
> meiner
> Analysis Prüfung. Meine Antwort war:
>
> "Nein, sie ist in [mm]0\[/mm] weder stetig noch unstetig, denn sie
> ist
> dort nicht definiert. Heuser sprach in so einem Fall in
> seinem
> Buch über eine gewisse "Zerrissenheit".
>
> Mein Prof hatte ein Lachen im Gesicht. Bis heute weiß ich
> leider
> nicht wieso. Vielleicht kannte er ihn?
wenn Fred Deinen Prof. kannte/kennt, kann er Dir das vielleicht beantworten.
Deine Antwort war übrigens nicht ganz korrekt, und dennoch würde ich sie
Dir auch so durchgehen lassen, da Du das richtige gemeint hast. Du kannst
nämlich nicht sagen, dass die Funktion stetig in [mm] $0\,$ [/mm] wäre, das folgt per Definitionem
des Begriffs. Der Begriff der Unstetigkeit schließt aber auch mit ein, dass der
betrachtete Punkt zum Definitionsbereich gehört. Strenggenommen
(Edit: Das Durchgestrichene habe ich nachträglich als Quatsch erkannt. )
Es wäre aber vielleicht besser gewesen, sowas zu sagen, wie:
Die Frage, ob die Funktion stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist, ist nicht *sinnvoll*
entscheidbar, weil der Punkt [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht zum Definitionsbereich gehört.
Oder Du sagst: Die Beantwortung dieser Frage ist sinnlos, da die Voraussetzung,
dass der betrachtete Punkt zum Definitionsbereich gehört, die man aber
braucht, um die Frage per Definitionem beantworten zu können, nicht
gegeben ist.
(Edit: Der nachträgliche Grund, warum die Funktion hier weder stetig noch unstetig
in [mm] $0\,$ [/mm] ist: Wenn sie stetig in [mm] $0\,$ [/mm] wäre, dann müßte insbesondere [mm] $0\,$ [/mm] zum
Definitionsbereich gehören. Das ist aber nicht der Fall.
Wäre sie andererseits unstetig in [mm] $0\,,$ [/mm] so würde auch [mm] $0\,$ [/mm] zum Definitionsbereich
gehören. Das ist aber nicht der Fall.
Diese *akademische Definition* bringt also das obige Problem der Schulbuchdefinition
gar nicht mit sich!!
Was man hier also beachten muss, ist, dass die Voraussetzung eigentlich
eine *universelle UND-Bedingung* bei den Begriffen ist, grob gesagt! Bei
mir war aber gerade im Kopf ein *Schalter*, der automatisch gesagt hat:
Fragen, für die wir die Voraussetzungen gar nicht haben, sind in ihrer
Beantwortung sinnlos. Was ja auch stimmt: Es sind *langweilige* Fragen...)
Und ich glaube, Dein Prof. mußte wegen der "Zerrissenheit" grinsen, denn
diese [mm] "$1/x\,$-Funktion" [/mm] ist an der Stelle 0 ja auch optisch (im Sinne des Verlaufs
des Graphen) *zerrissen*.
Vielleicht hat er mit dieser Frage aber auch schon viele in seiner Prüfung
*zerrissen*... 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:13 Mi 15.10.2014 | | Autor: | fred97 |
>
> > Mein Prof hatte ein Lachen im Gesicht. Bis heute weiß ich
> > leider
> > nicht wieso. Vielleicht kannte er ihn?
>
> wenn Fred Deinen Prof. kannte/kennt, kann er Dir das
> vielleicht beantworten.
Ja, Heuser kannte ich, Heuser ist mein Doktorvater. Wenn die Acht mir verrät, wer sein Prof. war, kann ich sagen , ob ich ihn kenne/kannte.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:23 Mi 15.10.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Moin Fred,
> >
> > > Mein Prof hatte ein Lachen im Gesicht. Bis heute weiß ich
> > > leider
> > > nicht wieso. Vielleicht kannte er ihn?
> >
> > wenn Fred Deinen Prof. kannte/kennt, kann er Dir das
> > vielleicht beantworten.
>
>
> Ja, Heuser kannte ich, Heuser ist mein Doktorvater. Wenn
> die Acht mir verrät, wer sein Prof. war, kann ich sagen ,
> ob ich ihn kenne/kannte.
Gleich einmal deine Dissertation in der Bibo bestellt. Mal schauen was ich so über den Atkinson-Operator lerne.
>
> FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:34 Mi 15.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Moin Fred,
>
> > >
> > > > Mein Prof hatte ein Lachen im Gesicht. Bis heute weiß ich
> > > > leider
> > > > nicht wieso. Vielleicht kannte er ihn?
> > >
> > > wenn Fred Deinen Prof. kannte/kennt, kann er Dir das
> > > vielleicht beantworten.
> >
> >
> > Ja, Heuser kannte ich, Heuser ist mein Doktorvater. Wenn
> > die Acht mir verrät, wer sein Prof. war, kann ich sagen ,
> > ob ich ihn kenne/kannte.
>
> Gleich einmal deine Dissertation in der Bibo bestellt. Mal
> schauen was ich so über den Atkinson-Operator lerne.
Lerne auch etwas über FREDholm- Operatoren
FRED
>
> >
> > FRED
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Mi 15.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred,
> > > Mein Prof hatte ein Lachen im Gesicht. Bis heute weiß ich
> > > leider
> > > nicht wieso. Vielleicht kannte er ihn?
> >
> > wenn Fred Deinen Prof. kannte/kennt, kann er Dir das
> > vielleicht beantworten.
>
>
> Ja, Heuser kannte ich, Heuser ist mein Doktorvater. Wenn
> die Acht mir verrät, wer sein Prof. war, kann ich sagen ,
> ob ich ihn kenne/kannte.
Analysis: FREDi Tröltzsch (Link).
Er war aber, soweit ich weiß, sehr von Dirk Ferus geprägt. Dieser
ist allerdings schon emeritiert, aber seine Skripte werden immer
wieder empfohlen.
Ansonsten kann ich für alle TU-Berlin Studenten die Vorlesungen
von Professor König empfehlen.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Mi 15.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Fred,
>
>
> > > > Mein Prof hatte ein Lachen im Gesicht. Bis heute weiß ich
> > > > leider
> > > > nicht wieso. Vielleicht kannte er ihn?
> > >
> > > wenn Fred Deinen Prof. kannte/kennt, kann er Dir das
> > > vielleicht beantworten.
> >
> >
> > Ja, Heuser kannte ich, Heuser ist mein Doktorvater. Wenn
> > die Acht mir verrät, wer sein Prof. war, kann ich sagen ,
> > ob ich ihn kenne/kannte.
>
> Analysis: FREDi Tröltzsch
> (Link).
jetzt musste ich lachen: Da geht es um Analysis, und schon ist der Fred
irgendwie mit zugange, und sei es nur im Namen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Mi 15.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
den letzten Link solltest Du als Unterschrift hier verwenden. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Ich glaube, über ein paar Ecken sind wir verwandt. Immerhin hatte ich einen
Großonkel namens Al-FRED. ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Mi 15.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> den letzten Link solltest Du als Unterschrift hier
> verwenden.
>
> Ich glaube, über ein paar Ecken sind wir verwandt.
> Immerhin hatte ich einen
> Großonkel namens Al-FRED. ^^
Donnerwetter, ich auch !
FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:23 Mi 15.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
achso, nur mal ergänzend, wieso ich diese "Antwortformulierungen" so
gewählt habe, ein etwas trivialeres, aber analoges Beispiel:
Wir sagen, dass eine ganze Zahl gerade sei, wenn sie durch [mm] $2\,$ [/mm] teilbar ist,
und dass sie ungerade sei, wenn sie nicht durch [mm] $2\,$ [/mm] teilbar ist.
Würde ich Dich jetzt etwa fragen:
"Sag' mal, ist [mm] $\pi$ [/mm] eigentlich gerade oder ungerade?"
Dann wäre doch sicher die *schnellste* Reaktion:
"Sach' mal, hast Du sie noch alle? Was soll diese Frage? [mm] $\pi$ [/mm] ist doch gar keine
ganze Zahl..."
Entsprechend, wenn man $f [mm] \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR$ [/mm] mit $f(x)=1/x$ ($x [mm] \in \IR \setminus \{0\}$) [/mm] hat,
sollte *eigentlich* die *schnellste* Reaktion auf die Frage, ob die Funktion
stetig in [mm] $0\,$ [/mm] ist, sein:
"Sach' mal, hast Du sie noch alle? Was soll diese Frage? [mm] $0\,$ [/mm] gehört doch gar nicht
zum Definitionsbereich von [mm] $f\,$..."
[/mm]
P.S. Wie ich gerade
nachgelesen
habe, sagt Heuser das eigentlich doch mit fast genau Deinen Worten.
Eigentlich finde ich das ein wenig merkwürdig, aber andererseits könnte
man oben auch sagen: Weil [mm] $\pi$ [/mm] gar keine ganze Zahl ist, ist [mm] $\pi$ [/mm] weder
gerade noch ungerade...
Mhm... ist heute wohl 'n bisschen spät ^^
Ich glaube, ich nehm' das, was ich oben sagte, zurück. Deine Antwort war
so dann doch korrekt, ich hatte nur 'n Knoten im Gehirn.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke für ausführliche Antwort. Die restlichen Beiträge hätten auch in einem privaten Chat gut Platz gefunden..
Also wenn ich dies jetzt zusammenfasse, liegt das Problem bei der Nicht-Definiertheit in [mm] $x_0$, [/mm] daraus folgt also automatisch, dass keine Aussage getroffen wird. Demnach ist "weder stetig noch unstetig" eigentlich richtig, wie in Deiner Anekdote [mm] "$\pi$ [/mm] weder gerade noch ungerade" ist.
Ob der Limes gegen [mm] $x_0$ [/mm] existiert, stellt sich als Frage also nicht, wenn [mm] $x_0$ [/mm] nicht im Def.-Bereich liegt.
Leider machen die Buchautoren, dann doch einen Fehler, indem sie anfangs (eigentlich sinnvoll) voraussetzen/behaupten: "Eine Funktion f sein an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] definiert. " Dann aber eine Funktion mit "Fehlstelle" bei [mm] $x_0$ [/mm] zeichnen.
Naja, viele kritisierten bereits an weiteren Stellen, dass das EdM 11,12 etwas vorschnell in Druck gekommen sei..
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