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| Aufgabe | $V(z):=cy + [mm] \frac{y}{\pi} \integral_{\mathbb{R}}\frac{t^2 +1}{(t-x)^2 +y^2}d\mu(t) [/mm] $ Im z > 0.
Zeige, dass V stetig ist. |
Hallo,
Ist V nicht offensichtlich stetig als Zusammensetzung stetiger Abbildungen?
Offensichtlich sit cy stetig , ebenfalls [mm] \frac{y}{\pi} [/mm]
und auch der Integrand ist als Quotient aus stetigen Abbildungen stetig - sofern also dieses Integral existiert erhält es natürlich die Stetigkeit -
was meint ihr?
Lg
Peter
Ps: Das Maß [mm] \mu [/mm] ist übrigens ein endliches Maß
PPS: hmm wobei bei t=x und y=0 könnte es prob. geben
Edit: nein doch nicht da ja y > 0 , da Im z > 0 lt. Angabe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 So 16.11.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
soll da wirklich V(z) stehen, oder V(y) oder was?
In deinem Funktionenterm kommt kein z vor....
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 16.11.2014 | | Autor: | Peter_123 |
Hallo Gono,
Es ist z = x+iy
Lg Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 So 16.11.2014 | | Autor: | Peter_123 |
Also wie gesagt... stetiger Integrand wird nach endlcihem Maß integriert - kann da denn überhaupt was unstetig werden?
Lg Peter
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Hiho,
> und auch der Integrand ist als Quotient aus stetigen Abbildungen stetig - sofern also dieses Integral existiert erhält es natürlich die Stetigkeit -
Warum sollte es das tun?
Ich denke du wirfst hier einige deiner Dinge in einen Topf, die du im Laufe deiner Vorlesungen mal gehört hast, die aber nicht zusammengehören (bzw dir nicht klar sind, warum sie zusammengehören)
Aber natürlich stimmt die Aussage, dass V stetig ist.
Zeige dazu: V ist folgenstetig (und damit stetig).
Dann wirst du beim Umformen auch merken, wo dein Problem liegt 
Gruß,
Gono
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Hallo,
Hmm also du meinst ich soll mir eine gegen z konvergente Folge [mm] z_{n} [/mm] nehmen - wūrde heißen eine Folge [mm] x_{n} \to [/mm] x und [mm] y_{n} \to [/mm] y.
Dann müsste ich eigentlich nur begründen wieso ich Integral und Grenzwert vertauschen kann oder ? Beispielsweise über den Satz der majorisierten Konvergenz ...
Lg Peter
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Hiho,
> Dann müsste ich eigentlich nur begründen wieso ich
> Integral und Grenzwert vertauschen kann oder ?
> Beispielsweise über den Satz der majorisierten Konvergenz
> ...
na dann mach doch mal.
Gruß,
Gono
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Also :
[mm] \limes_{x_{n} \to x,y_{n} \to y}V(x_{n}+iy_{n}) =\limes \integral_{\mathh{R}} \frac{1+t^2}{(t-x_{n})^2 + y_{n}^2} [/mm] = [mm] \integral_{\mathh{R}} \limes [/mm] (.) = [mm] V(\limes(.))
[/mm]
Wobei : [mm] x_{n} \to [/mm] x , [mm] y_{n} \to [/mm] y habe ich beim Limes ( da ich das Handy verwende ) nicht immer dazugeschrieben - Vertauschen von limes und integral wird mit dem Satz von Lebesque gerechtfertigt.
Lg Peter
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Hiho,
erstmal: du schreibst nur deine halbe Funktion aus, ok, das schieben wir mal aufs Handy.
Dann sagst du zwar, dass du den Satz von Lebesgue benutzt, aber du hast noch nirgends begründet, dass du ihn auch begründen darfst!
Wie sieht denn deine integrierbare Majorante aus?
Gruß
Gono
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Hallo,
Also integrierbar ist die Funktion auf alle Fälle , da [mm] \mu [/mm] endlich ist könnte ich das dann einfach durch das endliche Maß [mm] \mu(\mathbb{R}) [/mm] abschätzen. ?
Lg Peter
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Hiho,
> Also integrierbar ist die Funktion auf alle Fälle,
warum?
> da [mm]\mu[/mm] endlich ist könnte ich das dann einfach durch das endliche Maß [mm]\mu(\mathbb{R})[/mm] abschätzen. ?
Das steht und fällt mit obigem warum.
So wie du es gerade formulierst, klingt es fast so, als wäre jede Funktion bezüglich eines endlichen Maßes immer integrierbar.
Da würden sich die Stochastiker aber freuen....
Gruß,
Gono
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