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Hallo,
ich hab bei folgender Aufgabe ein Problem. Ich weiß nicht, wie ich die Stetigkeit genau beweisen soll. ich hab das mit der Stetigkeitsdefinition versucht, aber ich komm leider nicht weiter.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Ich soll zeigen dass die Funktion [mm] f_{2}(x) [/mm] := [mm] \bruch{x_{1}*x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} [/mm] für x [mm] \not= [/mm] (0,0)
[mm] f_{2}(0,0) [/mm] = := 0
in x= (0,0) stetig ist.
ich hab so angefangen:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Für ein gewisses [mm] \delta [/mm] > 0 gilt: | x' - x | < [mm] \delta
[/mm]
Dann ist | [mm] f_{2}(x') [/mm] - [mm] f_{2}(x) [/mm] | = | [mm] \bruch{x'_{1}*x'_{2}^{2}}{x'_{1}^{2}+x'_{2}^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{x_{1}*x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} [/mm] |
ich komm jetzt leider nicht mehr weiter.
Wie kann ich denn jetzt weiter machen? Am Ende muss ja das ganze kleiner [mm] \varepsilon [/mm] sein. Und die Bedingung, die kleiner als [mm] \delta [/mm] ist, muss ja im Beweis eingebaut werden.
Danke für die Hilfe.
Milka
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Hi
> Hallo,
> ich hab bei folgender Aufgabe ein Problem. Ich weiß nicht,
> wie ich die Stetigkeit genau beweisen soll. ich hab das mit
> der Stetigkeitsdefinition versucht, aber ich komm leider
> nicht weiter.
> Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
> Ich soll zeigen dass die Funktion [mm]f_{2}(x)[/mm] :=
> [mm]\bruch{x_{1}*x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}[/mm] für x [mm]\not=[/mm]
> (0,0)
>
> [mm]f_{2}(0,0)[/mm] = := 0
>
> in x= (0,0) stetig ist.
>
> ich hab so angefangen:
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0. Für ein gewisses [mm]\delta[/mm] > 0 gilt: |
> x' - x | < [mm]\delta[/mm]
> Dann ist | [mm]f_{2}(x')[/mm] - [mm]f_{2}(x)[/mm] | = |
> [mm]\bruch{x'_{1}*x'_{2}^{2}}{x'_{1}^{2}+x'_{2}^{2}}[/mm] -
> [mm]\bruch{x_{1}*x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}[/mm] |
> ich komm jetzt leider nicht mehr weiter.
> Wie kann ich denn jetzt weiter machen? Am Ende muss ja das
> ganze kleiner [mm]\varepsilon[/mm] sein. Und die Bedingung, die
> kleiner als [mm]\delta[/mm] ist, muss ja im Beweis eingebaut
> werden.
> Danke für die Hilfe.
> Milka
Also die einfachste Möglichkeit die Stetigkeit in einem Punkt zu testen ist den links und rechtsseitigen Limes zu berechnen, sind die identisch, dann ist die Funktion dort stetig, wenn du es mit der Definition ausrechnen möchtest mußt du für x´auch 0 einsetzen, also für [mm] |x|<\delta [/mm] soll | [mm]\bruch{x_{1}*x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}[/mm] [mm] |<\epsiolon [/mm] sein, daß ist aber logisch, wenn [mm] x<\delta [/mm] ist.
LG
Britta
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