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Stetigkeit: Stetigkeit erkennen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:03 Di 04.04.2017
Autor: PeterSteiner

Aufgabe
g(x,y,z)=  x+xy-z

Hallo zusammen, tue mir ein bisschen schwer zu erkennen ob die Funktion stetig ist oder nicht. Kann mir jemand erklären warum diese Funktion stetig ist und wie kann ich das überprüfen ?

Mit freundlichen Grüßen
Peter

        
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Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Di 04.04.2017
Autor: Diophant

Hallo,

Summe, Differenz und Produkt stetiger Funktionen sind ebenfalls stetig. Mehr braucht es hier nicht.

Gruß, Diophant

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Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Mi 05.04.2017
Autor: PeterSteiner

Hallo vielen Dank für die Antwort.
Und wie verhält es sich bei folgendem Bruch :

[mm] \bruch{e^x}{x^2y^2+z^2+3} [/mm]

Mfg

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Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Mi 05.04.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo vielen Dank für die Antwort.
> Und wie verhält es sich bei folgendem Bruch :

>

> [mm]\bruch{e^x}{x^2y^2+z^2+3}[/mm]

>

speziell für diesen Bruch genauso. Generell für Brüche aber nicht. Überlege dir, weshalb!

Gruß, Diophant

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Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Mi 05.04.2017
Autor: PeterSteiner

Grundsätzlich komme ich in diesem Fall nicht dahinter.
Im Prinzip kann ich ja jeden Bruch als Produkt darstellen.

Ich könnte mir in diesem Fall vorstellen das die e Funktion dominiert?

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Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Mi 05.04.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Grundsätzlich komme ich in diesem Fall nicht dahinter.
> Im Prinzip kann ich ja jeden Bruch als Produkt
> darstellen.

>

> Ich könnte mir in diesem Fall vorstellen das die e
> Funktion dominiert?

Nein, hier geht es um etwas anderes. Der Bruch bringt die Division ins Spiel, und damit die Frage, ob der Nenner Null werden kann.

In deinem obigen Beispiel ist dies nicht der Fall, also gilt der von mir angeführte Satz über die Komposition stetiger Funktionen.

Generell muss man aber die Stetigkeit für solche Funktionen, an denen es zu Nennernullstellen kommen kann, an diesen Stellen gesondert untersuchen.


Gruß, Diophant

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Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Mi 05.04.2017
Autor: PeterSteiner

Hallo danke für die Antwort.
Aber warum kann der Nenner nicht null werden?

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Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Mi 05.04.2017
Autor: angela.h.b.


> Hallo danke für die Antwort.
>  Aber warum kann der Nenner nicht null werden?

Hallo,

[mm] a^2 [/mm] ist doch für jede reelle Zahl a nichtnegativ.

LG Angela


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Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:18 Mi 05.04.2017
Autor: PeterSteiner

Ok, danke.
Aber warum ist die Funktion stetig wenn der Nenner nicht 0 wird?
Ich tu mi da ein bisschen schwer.

Bezug
                                                                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:58 Mi 05.04.2017
Autor: ChopSuey

Hallo,

[mm] $x^2y^2+z^2 [/mm] + 3 = 0\ [mm] \gdw [/mm] \ [mm] x^2y^2+z^2 [/mm] = -3$ was für  $x,y,z [mm] \in \IR$ [/mm] nicht möglich ist.

LG,
ChopSuey

Bezug
                                                                                
Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Do 06.04.2017
Autor: PeterSteiner

Danke für die Antwort. Aber warum betrachte ich nur ob der Nenner nicht 0 wird?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Do 06.04.2017
Autor: M.Rex


> Danke für die Antwort. Aber warum betrachte ich nur ob der
> Nenner nicht 0 wird?

Weil diese Stellen aus dem Definitionsbereich der Funktion ausgeschlossen werden müssen. Und nur an solchen Stellen ist es möglich, dass die Funktion nicht stetig ist.

Marius

Bezug
                                                                                                
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:36 Sa 08.04.2017
Autor: angela.h.b.


> > Danke für die Antwort. Aber warum betrachte ich nur ob
> der
>  > Nenner nicht 0 wird?

>  
> Weil diese Stellen aus dem Definitionsbereich der Funktion
> ausgeschlossen werden müssen. Und nur an solchen Stellen
> ist es möglich, dass die Funktion nicht stetig ist.
>  
> Marius

Hallo,

an Stellen, die nicht im Definitionsbereich sind, müssen wir uns über Stetigkeit keinerlei Gedanken machen. Da sie dort nicht definiert ist, ist die Funktion dort weder stetig noch unstetig.
Auf ihrem Definitionsbereich sind Quotienten stetiger Funktionen stetig.

Gedanken machen kann man sich aber darüber, ob sie an diesen Stellen stetig ergänzbar ist, ob man also an den Definitionslücken Funktionswerte so einfügen kann, daß die neue Funktion stetig ist - vermutlich hattest Du, Marius, genau dies im Hinterkopf.

Für Dich, Peter Steiner, mal zwei kleine Beispiele:

1.
[mm] f:\IR\setminus \{0\} \to \IR [/mm]
[mm] f(x):=\bruch{1}{x} [/mm]
Diese Funktion ist stetig, denn sie ist ein Quotient stetiger Funktionen.

Man kann sich nun fragen, ob man an der Stelle x=0 einen passenden Funktionswert einfügen kann, so daß die neu entstehende Funktion mit dem Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] stetig ist, z.B. so:

[mm] g:\IR\to \IR [/mm]

[mm] g(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 13, & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm]

Bei dieser Funktion weiß man sofort, daß sie für [mm] x\not=0 [/mm] stetig ist,
für die Stelle x=0 muß man die Stetigkeit untersuchen.
(Ergebnis: nicht stetig)

Überlegt man weiter, so bemerkt man, daß man kein a findet, so daß die Funktion
[mm] g_a:\IR\to \IR [/mm]

[mm] g_a(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x\not=0 \\ a, & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm]
stetig ist.

Die Funktion f kann also nicht stetig ergänzt werden,
wenn man den Verlauf des Graphen im Kopf hat, ist dies natürlich sofort klar.


2.
[mm] f:\IR\setminus \{0\} \to \IR [/mm]
[mm] f(x):=\bruch{x^2}{x} [/mm]
Diese Funktion ist stetig auf ihrem Definitionsbereich, denn sie ist ein Quotient stetiger Funktionen.

Man kann sich nun auch hier fragen, ob man an der Stelle x=0 einen passenden Funktionswert einfügen kann, so daß die neu entstehende Funktion mit dem Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] stetig ist.

Nehmen wir
[mm] g:\IR\to \IR [/mm]

[mm] g(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 13, & \mbox{für } x=0 \end{cases}, [/mm]

so stellen wir fest: nicht stetig an der Stelle x=0.
(An allen anderen Stellen steht die Stetigkeit außer Frage.)


Nehmen wir jedoch
[mm] h:\IR\to \IR [/mm]

[mm] h(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}, [/mm]
so ist diese Funktion stetig.
f ist an der Stelle x=0 stetig ergänzbar.

LG Angela




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